定积分之几何应用-弧长曲率.ppt

§7.8 §7.8 定积分之几何应用定积分之几何应用 －－－－－－弧长弧长一、平面曲线弧长的概念一、平面曲线弧长的概念在曲线光滑的条件下可求长．在曲线光滑的条件下可求长．弧长元素弧长元素弧长弧长二、直角坐标情形二、直角坐标情形解解所求弧长为所求弧长为解解曲线弧为曲线弧为弧长弧长三、参数方程情形三、参数方程情形解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为根据对称性根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长证证根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知故原结论成立故原结论成立.曲线弧为曲线弧为弧长弧长四、极坐标情形四、极坐标情形解解解解平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下弧微分的概念弧微分的概念求弧长的公式求弧长的公式五、小结五、小结曲曲 率率一、曲率及其计算公式一、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量))弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大转角越大越大转角越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲程度越大1.曲率的定义曲率的定义)（设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，（定义定义曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率2.曲率的计算公式曲率的计算公式注意注意: 直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;例例1 1解解显然显然,例例2 2解：解：圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲且半径越小曲率越大率越大.二、曲率圆与曲率半径二、曲率圆与曲率半径定义定义1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数曲率互为倒数.注意注意: :2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处曲线在该点处的曲率越小的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲率曲率越大越大(曲线越弯曲曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).三、小结三、小结基本概念基本概念: 弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圆曲率圆.曲线弯曲程度的描述曲线弯曲程度的描述——曲率曲率;曲线弧的近似代替曲率圆曲线弧的近似代替曲率圆(弧弧).思考题思考题 椭圆椭圆 上哪上哪些点处曲率最大？些点处曲率最大？作业作业 (数学分析学习指导书数学分析学习指导书 （四）第（四）第42页页)习题习题6.7 8; 9 ; 10; 13; 14.思考题解答思考题解答要使要使 最大，最大， 必有必有 最小，最小，此时此时 最大，最大，。