数学史上的著名猜想之(一).doc

数学文化 中学数学文摘 2006年第3期数学史上的著名猜想之（一） —―被否定的数学猜想过伯祥 数学史上，长时期未能解决的数学猜想特别多！并且很多都是世界级的难题，其中数论方面的问题又占多数.它们表面上是那么的浅显，好像不难解决似的，其实，若无深厚的数学功底，即使想接近它也十分困难本章特作较多的介绍，使数学爱好者有一个初步了解.如果你有志要攻克这些猜想，就必须作好长期艰苦跋涉的思想准备.1．被否定的数学猜想（1）试证第五公设的漫长历程 几何是从制造器皿、测量容器、丈量土地等实际问题中产生和发展起来的. 几何学的发展历程中，有两个重大的历史性转折.其一是,大约从公元前7世纪到公元前3世纪，希腊数学从素材到框架，已经为几何学的理论大厦的建造准备了足够的条件.欧几里得在前人毕达哥拉斯、希波克拉底和欧多克斯等人的工作基础上，一举完成了统治几何学近2000年的极其伟大的经典著作《几何原本》.它使几何学发展成为一门独立的理论学科，是几何学史上的一个里程碑.其二，也正是由于《几何原本》的问世，才带来了一个使无数人困惑和兴奋的著名问题--欧几里得第五公设问题. 在《几何原本》的第一卷中，规定了五条公设和五条公理.著名的欧几里得第五公设： “若两条直线被第三条直线所截，如有两个同侧内角之和小于两直角，则将这两直线向该侧适当延长后必定相交.”就是这五条公设中的最后一条.由于它在《几何原本》中引用得很少（直到证明关键性的第29个定理时才用到它）；而且，它的辞句冗长，远不如前四条公设那样简单明了.于是给后人的印象是：似乎欧几里得本人也想尽量避免应用第五公设. 于是，一代又一代的数学家猜测:大概不用花费很多力气就能证明欧几里得第五公设.就这样，数学家们开始了试证第五公设的历程. 这是个始料未及的漫长历程！真正是前赴后继，几乎每个时代的大数学家都做过这一件工作. 然而，满以为非常简单，只不过是举手之劳的一件事，谁料历时两千年仍未解决. 第五公设问题几乎成了“几何原理中的家丑”（达朗贝尔）. 直至19世纪，人们才逐渐意识到“欧氏第五公设可以证明”是一个错误的猜想,但它却引导数学家们得到了有意义的结果.所以说：错误的猜想有时也是极有意义的！ “在我们试图证明某个猜想的时候，如果使尽各种招数仍无进展，就应去查一查这个猜想本身有没有毛病.” （2）引出一个大胆猜想第五公设的一个又一个试证，总是发生“偷用”某个与第五公设等价的“假设”去代替的毛病，这逐渐地使几位思想较开阔而又有远见的数学家高斯、亚诺什•鲍耶、罗巴契夫斯基意识到:“欧几里得第五公设是不能从《几何原本》的其余公设、公理中导出.”也即与其它公设公理不相依赖，并且提出了一个新的大胆猜想：“欧几里得几何不是惟一的几何;任何一组假设如果彼此之间不导致矛盾的话，一定提供一种可能的几何.”罗巴契夫斯基、鲍耶正是在此想法的基础上开展了一系列工作，才发现了非欧几何的.虽然，他们的工作约有30年之久被人们所忽视；非欧几何的相容性问题在其后的40年中仍然悬而未决，然而，从某数学家的头脑中首先形成这大胆的猜想——与第五公设相矛盾的公理，也许仍可建立逻辑上相容的新几何——的那一刻起，就注定了即将发生几何学发展的又一次历史性的大转折：将迎来的是，几何学思想的大解放，几何学大发展的新时代.形成欧几里得第五公设问题猜想可以用其他公理公设证明它两千年的试证，以失败而告终提出新的猜想，欧氏几何不是唯一的几何引来了几何思想的大解放，几何学的大发展可以说，在19世纪所有复杂的技术创造中间，最深刻的一个——非欧几何的创造，就是起源于两千年试证第五公设的失败而日渐形成的大胆的猜想，非欧几何是在欧几里得几何领域中，一系列的长期努力所达到的一个新顶点。

我们可以把这段历史发展画成如下的简明框图：(3）费尔马猜想我们知道：，，都是素数.一天，法国数学家费尔马似乎有所悟,他继续试验，，经检验，它们也都是素数.那么“形如（为非负整数）的数（是不是）都是素数.”这是费尔马在1640年提出的一个猜想. 时间过去了100年，到了1732年，国数学家欧拉指出： , 一个反例就否定了一个猜想，于是，就宣告了费尔马的这个猜想不成立. 以后，人们又陆续找到了不少反例，如也是合数. 如今，人们把形如的数叫费尔马数.一些年来，人们共研究了46个的费尔马数，竟连一个素数都没再找到.于是有人作出了相反的猜想：只有有限个费尔马数是素数.这个猜想是否正确还有待于证明. （4）关于型数对的猜想 数学家迪布凡耳（De Bouvelles）在1509年曾注意到，在形如与的数对5、7，11、13，17、19，23、25，29、31，35、37，41、43，…中，当取前几个自然数时，都至少有一个数是素数.由此他提出猜想: “对于任何自然数，和这两个数中都至少有一个是素数.” 时隔不久，有人就举出了反例：最小一个使结论不成立的自然数是20.而且，一般地，取，都能使和分别地含有因数7和11，因为,. （5）的因式特征的猜想 数学家契巴塔廖夫曾由下面的因式分解： ， ， … … ，… …提出猜想：“把分解为不可再分解的具有整系数的因式以后，各系数的绝对值都不超过1。

要否定这个猜想可不太容易，它需要有极大的耐心——最小一个与猜想不合的是105，是被数学家依万诺夫找到的.在的分解式的一个因式中，和的系数都是，它们的绝对值超过了1. （未完待续） （柯正摘自《猜想与合情推理》，大象出版社，1999年）数学史上的著名猜想之（二） —―被证明了的数学猜想过伯祥（1）没能找到“费尔马的绝妙证明” 我国早在商周时代（约公元前1100年）就已经知道了不定方程：至少有一组正整数解：.古希腊数学家丢番图已求得上述不定方程的一般解：,其中m、n（是任意正整数. 费尔马是一位博览群书见多识广的学者，他将其一生中的全部精力都花费在钻研数学和物理问题上了.1621年费尔马买到了丢番图著的《算术》一书，对于书中的数论问题产生了浓厚的兴趣.闲余之时，对希腊数学家的一些问题进行研究和推广.当他读到第II卷第8命题“将一个平方数分为两个平方数的和”时，他想到了更一般的问题。

研讨之后，费尔马在页边空白处写下了如下的一段话： “将一个立方数分为两个立方数的和，一个四次方数分为两个四次方数的和，或者一般将一个次方数分为两个同次方数的和，这是不可能的.关于此，我确信已找到了一个真正奇妙的证明，可惜这儿的空白太小，写不下.”这段叙述用现代数学语言来说，就是：“当整数时，方程没有正整数解.”这就是费尔马猜想，中国人通称为费尔马大定理.费尔马死后，他儿子整理了他的全部遗稿和书信，始终也没有找到那个“绝妙的证明”.于是，这个猜想的正确与否，就成了一桩数学疑案.由于找不到费尔马的“证明”，也由于著名数学家欲给出它的证明的企图一次次受挫，才激发起了历代数学家对费尔马猜想的极大兴趣.300多年来，不知有多少人为它绞尽了脑汁，也曾经有过多次悬赏征解，奖给能够证明它的人：法国科学院曾经两次悬赏；布鲁塞尔科学院也曾以重金悬赏；1908年德国数学家佛尔夫斯克尔遗言，悬赏10万马克巨款，奖给第一个证明费尔马大定理的人，这项奖金的限期为100年.（2）这是一只会生金蛋的母鸡很多著名数学家，如欧拉、狄里赫莱、拉梅、库默尔、法尔廷斯等都做了很多有重要意义的工作.他们的工作不仅使费尔马问题取得了一定的进展，而且他们所创造的方法也推动了数学的发展.然而所有这些工作只是对于某些个别的或满足某些条件的证明了费尔马大定理.1995年5月，当代最权威的数学杂志普林斯顿《数学年刊》，一整期发表了震惊世界数学界的两篇论文，宣告：困扰数学界长达350多年，“比哥德巴赫猜想更有名气”的数学难题，费尔马大定理.终于被英国数学家安德鲁·维尔斯（Andrew Wiles）所证明.舆论认为，这确是近代数学发展中的一个巨大里程碑.希尔伯特曾认为，猜想、问题的价值，“最终的判断取决于科学从该问题获得的收益”.当年的希尔伯特就曾断言，解决费尔马大定理的过程中将能给数学发展创造许多新途径.费尔马猜想是“一只经常为我们生出金蛋的母鸡”.在人类解决费尔马大定理的漫长历程中，先后作出重大贡献的数学家法尔廷斯、谷山、费雷、维尔斯等人的伟大实践证明了这一点，他们都用了当代许多名家的思想、结果和技巧.特别是维尔斯的工作，无疑是一项意义深远的贡献，它将会给纯数学中的许多重要问题的解决带来曙光.始终没能找到费尔马的“绝妙证明”试证又一次次受挫，命题就成为著名的费尔马大定理三次悬赏征解.这是一只会生金蛋的母鸡1995年终于被英国数学家维尔斯彻底攻克，1996年3月维尔斯因此荣膺沃尔夫奖这段历史发展也可画成如下的简明框图： （3）素数个数的猜想 一眼可以看出，开头一些素数2,3,5,7,11,13,17,19,组成的序列，不符合任何一种简单规律。

序列的构造是非常复杂的. 还在欧几里得出生以前，人们已开始思考素数序列最后是否有终结的问题.有数学家提出了“素数个数是无限的” 猜想. 好的猜想犹如一个合适的引路人，人们在解决素数个数的猜想及其推广的过程中，发现与创造了一些巧妙的新方法，为当时数学的发展带来了大推动. 欧几里得在《几何原本》中为解决这个猜想设计了一个绝妙的证明.它不是去求任一已知素数后面紧跟的那个素数（那将是万分困难的），而是用某一个大得多的素数去代替后面的下一个素数： 令为任一素数，作出由2到的全部素数的乘积再加1，写成 显然，素数2,3,5,,中没有一个可以整除.这样，或者本身是素数（大于的），或者的全部素因子都和2,3,5,,不同，并且大于. 不论是何种情形，一个大于的素数已经找到.因此，不管有多么大，总有更大的素数存在. 接着，人们想到：除了素数2，剩下的素数，不是形如的数，就是形如的数；除了素数3，剩下的素数，不是形如的数，就是形如的数；于是，又纷纷有人提出猜想： ①形如的素数个数是无限的. ②形如的素数个数是无限的. ③形如的素数个数是无限的. ④形如的素数个数是无限的. ⑤形如的素数个数是无限的.等，一般地有 ⑥任何一个自然数的等差数列，只要其首项和公差是互素的，就必定包含了无限多个素数. 为解决这些猜想而创造的新方法，其中所包含的的基本思想，有的会具有更一般的意义，有时，数学家就是这样无意中闯进了一个新领域的大门. （4）对的无理性的猜测 1737年，欧拉基本上证明了和是无理数；兰伯特利用欧拉的工作证明：如果是有理数（不是0），那么和都不能是有理数.由此结果，由于，所以和都不能是有理数. 由于圆面积与相关，大大地刺激了对的无理性（是怎样的无理数呢？）的研究.勒让德猜测说可能不是有理系数方程的根（就是说，与是不一样的无理数.显然是有理系数方程的根）. 。