【同济第六版高数】第01章函数与极限教案与习题讲解(3)页.pdf

第一章函数与极限1 3 函数的极限1 3 函数的极限一、函数极限的定义函数的自变量有几种不同的变化趋势x 无限接近x0 xx0 x 从 x0的左侧 (即小于 x0)无限接近x0 xx0 x 从 x0的右侧 (即大于 x0)无限接近x0 xx0 x 的绝对值 |x|无限增大xx 小于零且绝对值|x|无限增大xx 大于零且绝对值|x|无限增大x1自变量趋于有限值时函数的极限通俗定义如果当 x 无限接近于x0函数 f(x)的值无限接近于常数A 则称当 x 趋于 x0时f(x)以 A为极限记作0limxxf(x) A 或 f(x)A(当 x0 x )分析在 xx0的过程中f(x)无限接近于A 就是 |f(x) A|能任意小或者说在 x 与 x0接近到一定程度 (比如 |x x0|为某一正数 )时|f(x) A|可以小于任意给定的(小的 )正数即f(x) A|反之对于任意给定的正数如果 x 与 x0接近到一定程度(比如 |x x0|为某一正数 )就有 |f(x) A|则能保证当xx0时 f(x)无限接近于A定义 1 设函数 f(x)在点 x0的某一去心邻域内有定义如果存在常数A对于任意给定的正数 (不论它多么小)总存在正数使得当 x 满足不等式0|x x0|时对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x) A|那么常数 A 就叫做函数f(x)当 xx0时的极限记为Axfxx)(lim0或 f(x)A(当 xx0)定义的简单表述Axfxx)(lim000当 0 |x x0|时 |f(x) A|函数极限的几何意义: 例 1 证明ccxx0lim证明这里 |f(x) A| |c c| 0因为0 可任取0当 0 |x x0|时有|f(x) A| |c c| 0所以ccxx0lim例 2 证明00limxxxx分析 |f(x) A| |x x0|因此0要使 |f(x) A|只要 x x0|证明因为0当 0 |x x0|时有|f(x) A| |x x0|所以00limxxxx例 3 证明1) 12(lim1xx分析 |f(x) A| |(2x 1) 1| 2|x 1|0要使 |f(x) A|只要2| 1|x证明因为0/22当 0 |x 1|时有|f(x) A| |(2x 1) 1| 2|x 1|所以1) 12(lim1xx例 4 证明211lim21xxx分析注意函数在x 1 是没有定义的但这与函数在该点是否有极限并无关系当 x 1 时 |f(x) A|211|2xx|x 1|0要使 |f(x) A|只要 |x 1|证明因为0当 0 |x 1|时有| f(x) A|211|2xx|x 1|所以211lim21xxx单侧极限若当 xx0时 f(x)无限接近于某常数A则常数 A 叫做函数 f(x)当 xx0时的左极限记为Axfxx)(lim0或 f(0 x) A若当 xx0时 f(x)无限接近于某常数A则常数 A 叫做函数 f(x)当 xx0时的右极限记为Axfxx)(lim0或 f(0 x) A讨论 1 左右极限的定义如何叙述? 2当 xx0时函数f(x)的左右极限与当xx0时函数 f(x)的极限之间的关系怎样?提示左极限的-定义：Axfxx)(lim000 xx0 x x0有|f(x) A|Axfxx)(lim000 xx0 x x0有|f(x) A|X 时对应的函数数值f(x)都满足不等式|f(x) A|则常数 A 叫做函数f(x)当 x时的极限记为Axfx)(lim或 f(x)A(x)Axfx)(lim0X 0 当 |x| X 时有|f(x) A|类似地可定义Axfx)(lim和Axfx)(lim结论Axfx)(limAxfx)(lim且Axfx)(lim极限Axfx)(lim的定义的几何意义例 6证明01limxx分析|1|01|)(|xxAxf0 要使 |f(x) A|只要1|x证明因为001X当 |x| X 时有|1|01|)(|xxAxf所以01limxx直线 y 0 是函数xy1的水平渐近线一般地如果cxfx)(lim则直线 y c 称为函数y f(x)的图形的水平渐近线二、函数极限的性质y f (x)AAXOXxyA定理 1(函数极限的唯一性)如果极限)(lim0 xfxx存在那么这极限唯一定理 2(函数极限的局部有界性) 如果 f(x)A(xx0)那么存在常数M 0 和使得当 0 |x x0|时有|f(x)| M证明 因为 f(x)A(xx0)所以对于10当 0 |x x0|时有|f(x) A|1于是|f(x)| |f(x) A A| |f(x) A| |A| 1 |A|这就证明了在x0的去心邻域 x| 0 |x x0|内 f(x)是有界的定理 3(函数极限的局部保号性) 如果f(x)A(xx0)而且A 0(或 A 0)那么存在常数0使当0 |x x0|时有f(x) 0(或 f(x) 0)证明就 A 0 的情形证明因为Axfxx)(lim0所以对于2A0当 0 |x x0|时有2|)(|AAxf)(2xfAA2)(Axf0定理 3如果 f(x)A(xx0)(A 0)那么存在点x0的某一去心邻域在该邻域内有|21| )(|Axf推论如果在x0的某一去心邻域内f(x) 0(或 f(x) 0)而且 f(x)A(xx0)那么A 0(或A 0)证明设 f(x) 0假设上述论断不成立即设 A0那么由定理1就有 x0的某一去心邻域在该邻域内f(x) 0这与 f(x) 0 的假定矛盾所以 A 0定理 4(函数极限与数列极限的关系) 如果当 xx0时 f(x)的极限存在xn 为 f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列且满足 xnx0(nN )那么相应的函数值数列f(xn)必收敛且)(lim)(lim0 xfxfxxnn证明 设 f(x)A(xx0)则00当 0 |x x0|时有 |f(x) A|又因为 xnx0(n)故对0N N当 n N 时有|xnx0|由假设xnx0(n N )故当 n N 时 0 |xnx 0|从而 |f(xn) A|即)(lim)(lim0 xfxfxxnn 1 4 无穷小与无穷大一、无穷小如果函数f(x)当 xx0(或 x)时的极限为零那么称函数f(x)为当 xx0(或 x)时的无穷小特别地以零为极限的数列 xn称为 n时的无穷小例如因为01limxx所以函数x1为当 x时的无穷小因为0) 1(lim1xx所以函数为x 1 当 x1 时的无穷小因为011limnn所以数列 11n为当 n时的无穷小讨论很小很小的数是否是无穷小？0 是否为无穷小？提示无穷小是这样的函数在 xx0(或 x)的过程中极限为零很小很小的数只要它不是零作为常数函数在自变量的任何变化过程中其极限就是这个常数本身不会为零无穷小与函数极限的关系定理 1在自变量的同一变化过程xx0(或 x)中函数 f(x)具有极限 A 的充分必要条件是 f(x) A其中是无穷小证明设Axfxx)(lim00 0使当 0 |x x0|时有|f(x) A|令f(x) A 则是 xx0时的无穷小且f(x) A这就证明了f(x)等于它的极限A 与一个无穷小之和反之设 f(x) A其中 A 是常数是 xx0时的无穷小于是|f(x) A| | |因是 xx0时的无穷小0 0使当 0 |x x0|有| |或 |f(x) A|这就证明了A 是 f(x) 当 xx0时的极限简要证明令f(x) A则|f(x) A| | |如果0 0使当 0 |x x0|有 f(x) A|就有 | |反之如果0 0使当 0 |x x0|有| |就有 f(x) A|这就证明了如果A 是 f(x) 当 xx0时的极限则是 xx0时的无穷小如果是 xx0时的无穷小则 A 是 f(x) 当 xx0时的极限类似地可证明x时的情形例如因为333212121xxx而021lim3xx所以2121lim33xxx二、无穷大如果当 xx0(或 x)时对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大就称函数f(x)为当xx0(或 x)时的无穷大记为)(lim0 xfxx(或)(limxfx)应注意的问题当 xx0(或 x)时为无穷大的函数f(x)按函数极限定义来说极限是不存在的但为了便于叙述函数的这一性态我们也说“函数的极限是无穷大”并记作)(lim0 xfxx(或)(limxfx)讨论无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大?提示)(lim0 xfxxM 00当 0 |x0 x|时有|f(x)| M正无穷大与负无穷大)(lim)(0 xfxxx)(lim)(0 xfxxx例 2 证明11lim1xx证 因为M 0M1当 0 |x 1|时有Mx|11|所以11lim1xx提示要使Mxx| 1|1|11|只要Mx1| 1|铅直渐近线如果)(lim0 xfxx则称直线0 xx是函数 y f(x)的图形的铅直渐近线例如直线 x 1是函数11xy的图形的铅直渐近线定理 2 (无穷大与无穷小之间的关系)在自变量的同一变化过程中如果 f(x)为无穷大则)(1xf为无穷小反之如果 f(x)为无穷小且 f(x) 0则)(1xf为无穷大简要证明如果0)(lim0 xfxx且 f(x) 0那么对于M10当 0 |x0 x |时有Mxf1| )(|由于当 0 |x0 x |时 f(x) 0从而Mxf|)(1|所以)(1xf为 xx0时的无穷大如果)(lim0 xfxx那么对于1M0 当 0 |x0 x |时有1| )(|Mxf即|)(1|xf所以为 xx 时的无穷小简要证明如果 f(x)0(xx0)且 f(x) 0则00当 0 |x x0|时有|f(x)|即所以 f(x)(xx0)如果 f(x)(xx0)则M 00 当 0 |x x0|时有|f(x)| M即所以 f(x)0(xx0)。