聚焦直线系、圆系方程的应用(共6页).doc

聚焦直线系、圆系方程的应用【直线系方程的应用】一、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（，）的直线系方程：（A,B不同时为0）.例 1 求过点圆的切线的方程．分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为（其中不全为零），则整理有，∵直线l与圆相切，∴圆心到直线l的距离等于半径1，故，整理，得，即（这时），或．故所求直线l的方程为或．点评：对求过定点（，）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: ，注意的此方程表示的是过点的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．练习：　过点作圆的切线l，求切线l的方程．解：设所求直线l的方程为（其中不全为零），则整理有，∵直线l与圆相切，∴圆心到直线l的距离等于半径1，故，整理，得，即（这时），或．　　故所求直线l的方程为或．二、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线：（不同时为0）与：（不同时为0）交点的直线系方程为：（，为参数）.例2 求过直线：与直线：的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.解析：设所求直线方程为：，当直线过原点时，则=0，则=－1，此时所求直线方程为：；当所求直线不过原点时，令=0，解得=，令=0，解得=，由题意得，=，解得，此时，所求直线方程为：.综上所述，所求直线方程为：或.三、求直线系方程过定点问题例3 证明：直线(是参数且∈R)过定点，并求出定点坐标.分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法.解析：（恒等式法）直线方程化为:,∵∈R, ∴，解得，，，∴直线(是参数且∈R)过定点（1,1）.（特殊直线法）取=0，=1得，，，联立解得，，，将（1,1）代入检验满足方程，∴直线(是参数且∈R)过定点（1,1）.点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R，则恒等式个系数为0，列出关于的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.【圆系方程的应用】常见的圆系方程有如下几种：1、以为圆心的同心圆系方程：与圆＋＋＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：＋＋＋＝０2、过直线＋＋Ｃ＝０与圆＋＋＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：＋＋＋Ｆ＋（＋＋Ｃ）＝０（Ｒ）3、过两圆:＋＝0，:＋＝０交点的圆系方程为：＋＋（＋）＝0（≠-１，此圆系不含:＋＝０）特别地，当＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆，可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:一、利用圆系方程求圆的方程：例１、求经过两圆＋3－－2＝０和＋2＋＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程．解：方法3：由题可设所求圆的方程为：（＋3－－2）＋（＋2＋＋１）＝０∵（0，0）在所求的圆上，∴　有－2＋＝０．　从而＝２故所求的圆的方程为： 即　＋7＋＝０。

练习：求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点,并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.1解: 构造方程 x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0即 (1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-(4+28λ)=0此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为当该圆心在直线x-y-4=0上时,即 ∴ 所求圆方程为 x2+y2-x+7y-32=0 二、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：例2（1）：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题解：圆和的公共弦方程为过直线与圆的交点的圆系方程为，即依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上即，则代回圆系方程得所求圆方程例２（2）; 求经过直线：2＋＋4＝０与圆Ｃ：＋2－4＋1＝０的交点且面积最小的圆的方程．解：设圆的方程为：＋2－4＋1＋（2＋＋4）＝０即＋＋（1＋4）＝０则，当＝时，最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：＋26－12＋37＝０练习：1．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+7=0的两个交点且过原点的圆的方程。

常数项为零）2．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且圆心在x轴上的圆的方程圆心的纵坐标为零）3．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且面积最小的圆方程半径最小或圆心在直线上）4．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且与x轴相切的圆的方程；并求出切点坐标圆心到x轴的距离等于半径）三、利用圆系方程求参数的值：例3：已知圆与直线相交于P，Q两点，O为坐标原点，若，求实数m的值分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于m的方程，最后验证得解倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出O在以PQ为直径的圆上而P，Q刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程解：过直线与圆的交点的圆系方程为：，即………………….①依题意，O在以PQ 为直径的圆上，则圆心显然在直线上，则，解之可得又满足方程①，则，故四、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系：例4 圆系＋2＋（4＋10）＋10＋20＝０（Ｒ，≠-１）中，任意两个圆的位置关系如何？解：圆系方程可化为：＋10＋20＋（2＋4＋10）＝０∵　与无关　　∴　　即易知圆心（０，-５）到直线＋2＋5＝０的距离恰等于圆＝５的半径．故直线＋2＋5＝０与圆＝５相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切．五、巧用过两圆交点的曲线系方程求圆方程例1求过圆：+++1=0与圆：++=0的交点，圆心在直线：的圆的方程.分析：本题是求过两圆的交点的圆的方程问题，用过两圆的交点的圆系方程求解.解析：设所求圆的方程为：+++1+++)=0(≠).整理得 =0，所以所求圆的圆心为，由已知知所求圆的圆心在直线：上，所以＝0，解得，=，代入圆系方程整理得，所以，所求圆的方程为.点评：对过两圆交点的圆的问题，用过两圆的交点的圆系方程求解，可以优化解题过程，注意过交点的圆系方程表示的圆包括哪一个圆不包括那一个圆，且参数不等于这一条件，同学们应很好掌握这一方法.六、巧用过两圆交点的曲线系方程求直线方程例2已知圆O：和圆外一点A（3，4），过点A作圆O的切线，切点分别为C、D，求过切点C、D的直线方程.分析：本题是求过切点的直线方程，由切线性质知，切点在以线段AO为直径的圆上，故直线CD是以线段AO为直径的圆与圆O的公共弦所在的直线方程，故可用过两圆交点的曲线系方程求此直线方程.解析：由切线性质知，切点C、D在以线段AO为直径的圆上，由题知，O(1,)，∴|AO|==，线段AO的中点为（2，1），∴以线段AO为直径的圆的方程为，，即，圆O的方程与以AO为直径的圆的方程相减整理得：++3=0，∴直线CD的方程为++3=0.点评：对过圆切点的直线方程问题，可通过构造圆，利用过两圆交点的曲线系方程求直线方程，注意过两圆交点的曲线系方程参数为何值时表示圆，参数为何值时表示直线.例如：求与圆x2+y2－4x－2y－20=0切于A(―1,―3)，且过B(2,0)的圆的方程。

解：过A(―1,―3)的圆的切线为：3x+4y+15=0与已知圆构造圆系：x2+y2－4x－2y－20+l(3x+4y+15)=0，∵曲线过B(2,0)，∴l=∴所求的方程为：7x2+7y2－4x+18y－20=0．例2平面上有两个圆，它们的方程分别是x2+y2=16和x2+y2－6x+8y+24=0，求这两个圆的内公切线方程分析：由x2+y2－6x+8y+24=0Þ(x－3)2+(y+4)2=1,显然这两圆的关系是外切解： ∵x2+y2－6x+8y+24=0Þ(x－3)2+(y+4)2=1∴这两圆是外切，∴(x2+y2－6x+8y+24)－(x2+y2－16)=0Þ3x－4y－20=0∴所求的两圆内公切线的方程为：3x－4y－20=0。