专题11基本初等函数第七缉（原卷版）-备战2025年高中数学联赛之历年真题分类汇编.docx

备战2025年高中数学联赛之历年真题分类汇编专题11基本初等函数第七缉1． 【2021年浙江预赛】已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈ℝ) 有两个不同的零点.若fx2+2x−1=0 有四个不同的根x10，试求f=mina−b2,b−c2,c−a2的最大值．18．【2018年湖北预赛】对任意正整数m、n，定义函数fm,n如下：①f1,1=1；②fm+1,n=fm,n+2m+n；③fm,n+1=fm,n+2m+n−1.（1）求fm,n的解析式；（2）设an=fn,n2n−1n∈N∗,Sn是数列an的前n项和，证明：Sn<6.19．【2018年河北预赛】若函数fx的定义域为0,+∞且满足条件：①存在实数a∈1,∞，使得fa=1；②当m∈R且x∈0,+∞时，有fxm−mfx=0恒成立.（1）证明：fxy=fx−fy（其中x>0,y>0）；（2）判断fx在0,+∞上的单调性，并证明你的结论；（3）当t>0时，不等式ft2+4−ft⩾1恒成立，求实数a的取值范围.20．【2018年山西预赛】求解函数y=x−x31+x22的最大最小值.21． 【2018年福建预赛】设M是由有限个正整数构成的集合，且M=A1∪A2∪⋯∪A20=B1∪B2∪⋯∪B20，这里Ai≠∅，Bi≠∅，i=1，2，…，20．并对任意的1≤i9.设a，b，c是三个互不相同的实数，满足f（a）=f（b）=f（c），求abc的取值范围.22． 【2018高中数学联赛A卷（第01试）】已知定义在R*上的函数f(x)=log3x−1,09，设a，b，c是三个互不相同的实数，满足f(a)=f(b)=f(c)，求abc的取值范围.23． 【2018高中数学联赛B卷（第01试）】已知定义在R*上的函数f(x)为f(x)=log3x−1,09，设a，b，c是三个互不相同的实数，满足f(a)=f(b)=f(c)，求abc的取值范围.24． 【2017年贵州预赛】设fx,gx分别是定义在R上的奇函数、偶函数,且fx+gx=2x.若对x∈12,2,不等式afx−f3x≤2g2x恒成立,求实数a的取值范围.26．【2017年广东预赛】已知函数fx=16x+74x+4,数列an,bn满足a1>0,b1>0,an=fan−1,bn=fbn−1,n=2,3,⋯(1)讨论数列an的单调性;(2)求证:bn−an≤18n−3b1−a1,n=1,2,3⋯.27． 【2016年全国】已知fx为R上的奇函数，f1=1，且对任意x<0，均有fxx−1=xfx.求i=150f1if1101−i的值.28． 【2016年江苏预赛】已知函数fx=ax−bx2a,b∈R+．（1）若对于任意的x∈R，均有fx≤1，证明：a≤2b；（2）当b>1时，证明：对于任意的x∈0,1，fx≤1成立的充分必要条件为b−1≤a≤2b．29． 【2016年江苏预赛】求方程3x3+8x−3−1+3x3−8x−3−1=1的实数解．30． 【2016年甘肃预赛】已知奇函数f(x)的定义域为[−2,2]，且在[−2,0]内递减，求满足：f(1−m)+f(1−m2)<0的实数m的取值范围．31． 【2016年北京预赛】黑板上写有方程x2+2x★+3★+★=0.证明：任取三个两两不同的整数能适当安放在方程的★的位置（每颗星安放一个数），使得方程有实根.32．【2016高中数学联赛（第01试）】已知f(x)是R上的奇函数，f(1)=1，且对任意x<0，均有fxx−1=xf(x).求f(1)f1100+f12f199+f13f198+⋯+f150f151的值.32． 【2015年浙江预赛】设a、b∈R，函数fx=ax2+bx+1−2.若对任意实数b，方程fx=x有两个相异的实根，求实数a的取值范围.34．【2015年北京预赛】设fn为定义在Z上的函数，且满足f0=1,f1=0.对任意的m,n∈Z，均有fm+n+fm−n=2fmfn.①（1）证明fn为周期函数，并确定fn；（2）计算f12+22+⋅⋅⋅+20152f12+f22+⋅⋅⋅+f20152的值.35．【2015年山东预赛】证明:不存在这样的函数f:Z→1,2,3,满足对任意的整数x、y,若x−y∈2,3,5,则fx≠fy.36．【2015年黑龙江预赛】设函数f(x)=log2(ax−bx)，且f(1)=1，f(2)=log212.（1）求a，b的值；（2）当x∈[1,2]时，求f(x)最大值.37．【2015年甘肃预赛】某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝元价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.（1）若花店一天购进枝玫瑰花,求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝, ）的函数解析式；（2）花店记录了天玫瑰花的日需求量（单位：枝）,整理得下表：日需求量频数以天的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.若花店一天购进枝玫瑰花, 表示当天的利润（单位：元），求的分布列, 数学期望及方差；若花店一天购进枝或枝玫瑰花,你认为应购进枝还是枝？请说明理由.38．【2015年福建预赛】求函数y=2x+4x2−8x+3的最小值.。