信号与系统课程设计3.docx

信号与系统课程设计课程名称: 题目名称: 学院：专业班级:学号：学生姓名: 指导教师:一、设计目的及任务1、 目的“信号与系统”是一门重要的专业基础课，而MATLAB作为信号处理强有 力的计算和分析工具是电子信息工程技术人员常用的重要工具Z—本课程设计 基于理论分析和MATLAB软件完成系统冲激响应的求解，以提高学生的综合应 用知识能力为口标，是“信号与系统”课程在实践教学环节上的必要补充通过 课设设计实验，激发学生理论课程学习兴趣，提高分析问题和解决问题的能力2、 要求及任务＞熟悉MATLAB的基本操作＞通过对LTI系统输入、输出信号的时域、变换域分析，了解LTI系统的 特性，进一步加深对LTI系统冲激响应的理解＞通过理论分析得到给定系统的冲激响应＞编写代码，使用MATLAB对给定系统进行冲激响应的数值解求解＞训岀仿真波形二、设计题目自行设计二阶微分方程y"(r)+q#(r)+3d(r)其中为任选常数，由学生自行设置参数选择应包括三种情况1） 特征方程有两个不等实根2） 特征方程有两个相等实根3） 特征方程有两个共轨复根分别在以上三种条件下，仿真求出连续二阶系统的冲激响应连续波形）三、设计原理1、 选择参数根据题目耍求，耍选择参数即色要使得特征方程有三种不同情况的根。

注意到特征方程为一元二次方程，即+ q久 + 0 — 0根据韦达定理，设特征根分别为入，易，则有：.. b/tj + /I2 = = —4a入人= =禺a ~因此，参数的选择叮以通过不同情况的特征根來获得2、 求解冲激响应LTI系统的冲激响应，是输入激励信号为冲激函数讥/）时，，系统的零状态响应，通常记为/?（r）o冲激响应加”的求解，可以通过微分方程经典法求解，也可以在变换域求解下面进行简要分析2.1冲激响应的时域求解由系统微分方程+ + = e(t)得其特征方程为22 +0|久+ 2 = 0 ,求其特征根，记为人，入，然后根据特征根写出冲激响应的函数形式根据特：征 根的不同形式，有以下三种情况：• 若入北入，贝〃(/) =(€?如+02戶)(/)• 若人=人,则h(t) = (Cl + C2t)e^(t)• 若入 2=aj0，贝iJ/2(f) = C(C[Cos0f + C2sin0f)(f)其中G，C2为待定系数要确定待定系数C“C2的值，需要知道系统的初始值 加0+)和力(0+),而我们根据题目只知道/1(0-) = /2(0-) = 0,这里我们用匹配系 数法来确定加0+)和/2(0+)的值，进一步确定G，C2的值。

首先，设 h (f) = aS (r) + bS (r) + c6(r) + /; (r),则有：/? (f) = aS (f) + b8(f) + r2 (f)〃(/)= 肪(f) + $(f)rtlTA(r)满足系统微分方程，故将上述三式代入，得：/z"⑴ + a/ (/) + 2力⑴=(f) + (d|d + b)8 ⑴ + (a2 axb + c)5(/) + /?(/)= 5(,)其中心()=斤(/) +占(『)+2(『)为不包含/(J的某函数根据系数匹配法的原则，有:qa+b=O na2a + a[b + c = \所以/?d(/)+w)对上述两式从0-到0 +积分，有以下结果 /?"（Z）t/Z = li（0+）-/?（0-） = 1j"，/?（r）^ = /2（0+）-/z（0-） = 0X /?（0—） = h（0-） = 0 ,所以 /?（0+） = l,/?（0 +） = 0至此，得到了系统的初始条件，将其代入冲激响应表达式中，即可得到待定 系数G，q的值，从而得到冲激响应的解析表达式2.2冲激响应的变换域求解从上述时域求解过程可以看出，冲激响应的时域求解比较繁琐。

下面介绍较 为便捷的变换域求解方法对系统微分方程y"⑴+ qy（/） + a2y（t） = e（t）两边做拉普拉斯变换，冇以下结 果：S2Y（5）+ t715,y （$） + ^2丫 （$） = E（s）其中E（s）是激励信号/）的拉普拉斯变换，求冲激响应时，激励信号为 因此，E（5）= 1o根据上式，可以写出系统函数如下：H（5）= = -~~ 对上面得到的系统函数H（s）做逆拉普拉斯变换，即可得到系统的冲激响应力（/） 与冲激响应求解的时域经典法相比，变换域解法极为便利2.3冲激响应的MATLAB求解MATLAB软件中，有强大的函数库用以解决各种实际工程问题这里我们 需要使用到的关键函数有有以下两个> tf（）> impulse()tf()函数需要两个参数，第一个是系统函数分子多项式的系数，第二个是系 统函数分母多项式的系数，它的返冋值是系统函数的取值o impluseO函数也需要 两个参数值，第一个是tf()函数的返冋值，第二个是自定义吋间序列，它的返冋 值就是我们要求的给定条件下系统的冲激响应数值解四、设计内容及结果1、特征方程有两个不等实根假设两个不等实根分别为人=-32 =-4 ,则q =-(人+易)二7 , a2 = ^ = n.这种情况下，我们使用时域法求解其冲激响应。

根据特征根的情 况，首先写出冲激响应的函数形式如下：/?(r) = (C1^3/ + C2^-4/)^(0根据上节原理分析中得到的结论，不论特征根是怎样的情况，初始条件总是 h(0+) = l,/i(O +) = 0将初始条件代入冲激响应表达式中有：J C, + C2 = 0 Cj = 1l-3C,-4C2 =1 = [C2=-l所以，该情况下，冲激响应的解析表达式为：/?(() =( 3/ -e ")("此外，再用MATLAB求其仿真数值解，求解及画图代码如下：t=0:0.1:3;%观测时间取0到3秒sys=tf([l],[l 7 12]);%创建传递函数h=impulse(sys,t); %求冲激响应数值解plot(t,h/r-A71inewidth\ 1.5) hold ony=exp(-3 *t)-exp(-4*t); plot(t,y；g-+,；linewidth,,1.5) xlabcl(：时间/s),ylabcl(h(t)) grid onlegend(,数值解丁解析解)通过波形可以看出，MATLAB求得的仿真数值解与理论分析得到的解析解 是完全一致的2、特征方程有两个相等实根假设两个相等实根分别为入厂一1，则好-(人+人)"，兮也"。

这 种情况下，我们再使用变换域的方法來求系统的冲激响应根据设计原理的分析，这种情况下，系统函数为：I)E(5)r+2.y + l (5 + 1)2对上述系统函数做逆拉普拉斯变换，得系统的冲激响应为：/?(/) =化一伝(/)此外，也用MATLAB求其仿真数值解，求解及画图代码如下：t=0:0.1:10;%观测时间取0到10秒sys=tf([l],[l 2 1]);%创建传递函数h=impulse(sys,t); %求冲激响应数值解plot(t,h, T・A；linewidth； 1.5)hold ony=t.*exp(-l*t);plot(t,y/g-+7Hnewidth,l .5)xlabel(时间 /s),ylabel(h(t))grid onlcgcndC数值解T解析解J通过波形可以看出，MATLAB求得的仿真数值解与理论分析得到的解析解 是完全一致的3、特征方程有两个共轨复根假设两个相等实根分别为入卫=-4丿5 ,则q = -（人+入）=8 , a2 =入人=41 0 这种情况下，我们继续使用变换域的方法来求系统的冲激响应系统函数为：陆）半V 7 E（$） 〃+8$ + 41 5（5 + 4）2+52对上述系统函数做逆拉普拉斯变换，得系统的冲激响应为：〃（『） =丄严 sin（5r）（f）此外，也用MATLAB求其仿真数值解，求解及I田i图代码如下：t=0:0.1:10;%观测时间取0到10秒 sys=tf([l],[l 841]);%创建传递函数 h=impulse(sys,t); %求冲激响应数值解 plot(t,h, y linewidth； 1.5) hold on y=0.2*exp(-4*t).*sin(5*t); plot(t,y/g-+71inewidth,l .5) xlabel(时间/s),ylabel(h(t)) grid on通过波形可以看出，MATLAB求得的仿真数值解与理论分析得到的解析解 是完全一致的。

而且明显不同于实根情况，岀现了震荡现象，并逐渐衰减五、结论求解二阶LTI系统冲激响应的方法有多种，它们各具优势其中时域经典法 明确的反映了冲激响应求解过程中的各个步骤，直观、明了，而利用拉普拉斯变 换进行变换域求解时，虽然过程简单，但不能反映时域的变化情况特征根对系统冲激响应的形式，即波形有决定性影响其中实根情况类似, 不论是两个相等实根还是两个不等实根，它们的波形是比较类似的，只是冲激响 应函数形式上有所不同但是如杲出现复根，情况就截然不同，表现在函数形式 上，是余弦函数前而出现了衰减项，这也意味着表现在波形上，会出现随时间的 震荡，但随着时间的增加，冲激响应逐渐趋于稳定，最终趋于零六、参考文献[1] 吴大正.信号与线性系统分析(第四版)[M].北京:高等教育岀版社,2005.[2] 牛瑞燕，钱琳琳，李秀丽，李匚平.连续系统单位冲激响应时域求解方法的 研究[J].北京联合大学学报(自然科学版),2007, 21(3): 20-22[3] 杜世民，杨润萍.LTI系统单位冲激响应的吋域解法研究[J].电气屯子教学 学报,2007, 29(5): 44-46[4] 袁文燕，王旭智.信号与系统的matlab实现[M].北京:清华大学岀版社, 2011.⑸ 周杨.MATLAB基础及在信号与系统中的应用[M].北京:人民出版社,2011.。