稳定性与李雅普诺夫.ppt

第四章 稳定性 与李雅普诺夫方法*4.稳定性与李雅普诺夫方法l4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 l4.2 李雅普诺夫第一法l4.3 李雅普诺夫第二法l4.4 李雅普诺夫方法性系统中的应用l4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用稳定性的几个问题l什么是系统的稳定性？l为什么要研究稳定性？l经典控制理论中稳定性的判别方法？l对于状态空间表达式如何判断稳定性？4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义l系统的平衡状态l所研究系统的齐次状态方程为lx为n维状态矢量；f为与x同维的矢量函数，并且是x与时 间t的函数，一般为时变的非线性函数，如果不显函t，则 为定常非线性系统l若存在状态矢量xe，对所有时间t都能使f (xe,t) ≡ 0 ，称xe为 系统的平衡状态l线性定常系统的平衡状态l平衡状态需要满足Axe ≡ 0l当A为非奇异矩阵时，系统存在唯一的平衡状态xe＝0；l当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态l非线性系统的平衡状态l可以有一个或者多个 平衡状态稳定性的基本概念经典理论中的稳定性李雅普诺夫的稳定性系统形式定义如果系统在扰动作用下偏离的原来 的平衡状态，在扰动消失后， 系统能够以足够的准确度恢复 到原来的平衡状态态，则系统是 稳定的，否则不稳定。

如果系统从平衡状态临近的 任一点出发的轨线总 保持 在该该平衡状态态的临临近，则 称平衡状态是稳定的，否 则不稳定判别方法代数判据、奈氏判据、对数判据、 特征根判据李雅普诺夫第一法（间接法 ） 第二法（直接法）适用范围线性定常系统多变量、非线性、时变•稳定性是系统本身固有的，与输入无关稳定性的几个定义l李雅普诺夫意义下的稳定l渐进稳定l大范围渐进稳定l不稳定李雅普诺夫意义下的稳定性说明：lS(ε) --定义一个以平衡状态为中心半径为ε的邻域， 系统的运动状态保持在该邻域内；lS(δ ) --定义一个以平衡状态为中心半径为δ的邻域 ，为了满足系统的运动状态保持在S(ε) 内，系统的初 始状态应该在S(δ ) 内渐进稳定大范围渐进稳定不稳定稳定 渐进稳定 不稳定分析下列系统的稳定性表面有摩擦李雅普诺夫稳定性判别方法l第一法（间接法）：先求解系统的微分方程，然后 根据解的性质来判断系统的稳定性l第二法（直接法）：构造李雅普诺夫函数，根据这 个函数的性质判断系统的稳定性－－适用与任何 复杂系统4.2 李雅普诺夫第一法（间接法）l线性定常系统提问：有没有可能出现状态不稳定而输出稳定的情况 ？有没有可能出现输出不稳定而状态稳定的情况？l非线性系统xe为平衡状态，f(x,t)为与x同维的矢量函数，且对x 具有连续的偏导数。

将非线性矢量函数f(x,t)在xe邻域内展开为泰勒级数其中R(x)为级数展开式中的髙阶导数项若令 则可以得到系统的线性化方程性近似的基础上，用线性系统稳定性的判别定理A的所有特征值都有负实部系统渐进稳 定A的特征根中至少有一个具有正 实部系统不稳定A的特征值都有非正实部•需要根据舍弃的 髙阶项再分析 •采用李雅普诺夫 第二法举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统的稳定性第一步：令求得系统的平衡状态 第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化求近似线性系统的特征根：－1，+1， 所以系统在平衡状态x1e不稳定第三步：将系统在平衡状态x2e附近线性化求近似线性系统的特征根：－j，+j，实部为0；所以系统在平衡状 态x2e的稳定性用线性化方程无法判断课堂练习：用李雅普诺夫第一法判断下列系统的稳定性第一步：令求得系统唯一的平衡状态第二步：将系统在平衡状态附近线性化第三步：求近似线性系统的特征根：－1，－2所以系统在平衡点渐进稳定4.3 李雅普诺夫第二法（直接法）基本思路：•一个系统被激励后，其储存的能量随着时间的推移逐渐 衰减，当能量最小时，达到平衡状态，那么这个平衡状 态是渐进稳定的。

•反之，如果系统不断从外界吸收能量，存储能量的能量 越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的李雅普诺夫函数：•一个正定的标量函数V(x)•虚拟的广义能量函数•根据dV(x)/dt的符号（能量的变换规律）判断系统的稳 定性，4.3.1预备知识 1.标量函数的符号性质l设V(x)为n维矢量x所定义的标量函数， ，且在x=0处， 恒有V(x)=0对于所有在域 中的任何非零矢量x，如果：l1）V(x) ＞ 0，则称V(x)为正定例如V(x)=x12 +x22；l2）V(x) ≥ 0，则称V(x)为半正定（或非负定）例如 V(x)=(x1 +x2)2；l3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定例如V(x)=－(x12 +2x22)；l4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）例如 V(x)= -(x1 +x2)2；l5）V(x) ＞ 0或者V(x) ＜ 0，则称V(x)为为不定的例如 V(x)=x1 +x2； 2．二次型标量函数 设x1，x2，… ，xn为n个变量，定义二次型标量函数为如果pij=pji，则称P为实对称阵 对于二次型函数， 若P为实对称阵，则必 存在正交矩阵T，通过变换，使之化成上式，为二次型函数的标准型。

它只包含变量的平方项，其中 为对称阵P的互异特征值，且均为实数 二次型函数的标准型二次型函数的标准型•二次型函数的标准形正定的充要条件式对称阵P的所有特征值均大于零矩阵P的符号性质l设P为n×n的实对称阵，V(x)=xTPx为由P所决定的二次型函 数l1）若V(x)正定，则P正定，记做P ＞ 0；l2）若V(x)负定，则P负定，记做P ＜ 0；l3）若V(x)半正定（非负定），则P半正定（非负定）， 记做P ≥ 0；l4）若V(x)半负定（非正定），则P半负定（非正定）， 记做P ≤ 0；l矩阵P的符号性质与它所定义的二次型函数V(x)的符号性质 完全一致因此判断V(x)的符号只要判断P的符号即可（希 尔维斯特判据，Sylvester） 3．希尔维斯特判据 4.3.2 稳定性判据李雅普诺夫第二法根据 判断系统的 稳定性4.3.3 对李雅普诺夫函数的讨论4.4 李雅普诺夫方法性系统中的应用l4.4.1 线性定常连续系统渐进稳定判据命题4.1 矩阵的所有特征根均具有负实部，即，等价于存在对称矩阵，使得证明 必要性证明 设对称矩阵 令 显然李氏第一法,如何 判断？P.61 矩阵指数函数的 性质五：微分根据，则因此 充分性证明： 因为A的特征根有可能是复数，不妨在复数域上讨论，在Cn 中定义新的内积为A的对应的特征向量，即则又存在由于 ，所以 即 。

证毕 线性定常连续系统稳定性判据 l线性定常连续系统在平衡状态xe = 0全局渐进稳 定 的充要条件：对于任意给定的正定实对称矩阵Q， 若存在正定的实对称矩阵P，满足李雅普诺夫方程 ：则可取为 ，为系统的李雅普诺夫函数 欲使系统在原点渐进稳定，则要求 必须为负定 则，要求为正定的判据应用注意事项 l（1）判别过程判据应用注意事项 l（2）Q的选取：尽量简单，常取Q=I；l（3）若 沿任一轨迹不恒等于零，那么Q可取 半正定l（4）上述判据所确定的条件与矩阵A的特征值具 有负实部的条件等价，因而判据是 充要条件 李雅普诺夫方法判别线性系统稳定性示例（1）已知系统状态方程如下，试分析系统平衡点的稳定性 解设 ，Q=I 带入李雅普诺夫方程将上式展开，对应元素相等，解得根据希尔维斯特判据P是正定的，因而系统的平衡点是大范围渐进稳定李雅普诺夫方法判别线性系统稳定性示例（2） 已知系统状态方程如下，试确定系统增益K的稳定范围解 因detA≠0，故原点是系统唯一的平衡状态为了说明Q选取的正确，需要证明 沿任意轨迹 应不恒等于零。

显然 的条件是 ，此时 ， ， 这表明只有在平衡状态 ，才能保证 ， 而 沿任一轨线不会恒等于零取半正定的实对称矩阵Q为求解李雅普诺夫方程解得为使P为正定矩阵的充要条件是：12 – 2K > 0 和K > 0即0 < K < 6综合上述，当0 < K < 6系统在平衡状态原点大范围渐进稳定 4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用l4.5.1 雅可比（Jacobian）矩阵法――克拉索夫斯基 （Krasovski）法设非线性系统的状态方程为式中，x为n维状态矢量；f为与x同维的非线性矢量函数假设原点xe=0是平衡状态，f(x)对 可微，系统 的雅可比矩阵为：第一法如何判断非线性系统的稳定性？则系统在原点渐进稳定的充要条件是：对于任意正定 实对称阵P，使下列矩阵为正定的；并且是系统的一个李雅普诺夫函数如果当 时，还有 ，则系统在xe=0是大 范围渐进稳定。

证明：选取二次型函数为李雅普诺夫函数，其中P为对称正定矩阵，因而 正定考虑到 是x的显函数，不是时间t的显函数，因而有下列 关系将 沿状态轨迹对t求全导，可得上式表明，要使系统渐进稳定， 必须是负定的， 因此 必须是正定的 若 时， ，则系统在原点是大范围渐进稳 定的推论论 对于线性定常系统 ，若矩阵A非奇异，且矩 阵（AT＋A）为负定，则系统的平衡状态xe=0是大范围渐 进稳定的李雅普诺夫方法判别非线性系统稳定性示例设系统的状态方程如下，用克拉索夫斯基法分析xe=0出 的稳定性解：计算雅可比矩阵取P = I，得根据希尔维斯特判据，有表明对于x ≠ 0，Q(x)是正定的平衡状态是稳定的 此外，当 时，因此，系统的平衡状态xe=0为大范围渐进稳定1) 取 Q = I2) 令对称矩阵3)将Q、P带入李雅普诺夫方程4) 解得P的特征值为1.12, 10.55, 75.33 P正定课堂练习：第二法判断线性系统的稳定性（1）1) 取Q=I2) 令对称矩阵3)将Q、P带入李雅普诺夫方程4) 解得 a=1.5 b=1 c=0.55）判断P是否正定？课堂练习：第二法判断线性系统的稳定性（2）a）特征值b）各阶顺序主子式－－特征方程？1) 取Q=I2) 令对称矩阵3)将Q、P带入李雅普诺夫方程4) 解得 a=7/6 b=1/6 c=1/65）判断P是否正定？课堂练习：第二法判断线性系统的稳定性（3）a）特征值b）各阶顺序主子式－－特征方程？课堂练习：李雅普诺夫第二法判别非线性系统稳定性示练习(1)3）结论：a<0时，渐进稳定2）构造李雅普诺夫函数分析下面系统的稳定性1)确定系统平衡状态课堂练习：李雅普诺夫第二法判别非线性系统稳定性示例(2)结论：渐进稳定李雅普诺夫函数。