第三章-3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法.ppt

第三章 一阶微分方程的解的存在定理引言●问题的提出：前一章中我们介绍了能用初等积分法求 解的一阶微分方程的若干类型，同时也指出，大量的一 阶微分方程是不能用初等积分法求解的.此时，微分方程的近似解法（包括数值解法）就具有 十分重要的意义了而解的存在和唯一是近似计算的 前提如果所求的问题的解不存在，而去求近似解， 问题本身没有意义. 如果所求的问题的解不只一个，那 么要近似确定的解是哪一个？问题依然不明确实际问题所需要求的往往是满足某种初始 条件的解因此, 我们现在把注意力集中在 Cauchy问题的解的存在性和唯一性问题上通常实际问题的解总是存在唯一的，而描述各种运动过程的微分方程本身及根据实验测定的初值条件（初始数据），总不能保证绝对准确，它只能近似地反映客观现实，因此需要考虑初值问题的解是否关于初值是否稳定的问题例1 请分析下面的方程经过点A（0,0）的解或或微分方程初值问题的解存在，但不唯一分析因为经过点A（0,0）的解有结论需解决的问题本章的主要内容 •解的存在唯一性定理； •解的延拓； •解对初值的连续性和可微性； •奇解 重点: 一阶微分方程解的存在性定理，以及解的一 些性质。

难点:一阶微分方程解的存在性定理的证明(掌握思 路即可)，逐步逼近方法的理解和应用本章的重点和难点 §3.1 解的存在唯一性定理与逐 步逼近法一 存在唯一性定理 1 定理1 考虑初值问题（1）Lipschitz条件： 如果存在L>0, 使 得对任给的 都有则称f在R上关于y满足Lipschitz条件2.关于定理的几点说明：f在R上关于y满足Lipschitz条件, Lipschitz 常数为2 命题1（等价积分方程）的解，则 是积分方程的定义于区间上 的连续解, 反之亦然设 是方程（3.1）的定义于区间 上，满足初始条件： （3.5）3. 定理的证明(共分五步) 15是方程(3.1)的解，故得将(3.3)式代入得因此是(3.5)的定义于的连续解.16反之，是(3.5)的连续解，则微分之,得因此是方程(2.1)的定义于满足初始条件构造Picard逐步逼近函数列注命题2 构造(3.5)近似解函数列方法：逐步逼近法任取一连续函数：如果 则终止。

否则，如果 则终止否则，如果 则终止否则，称 为方程（3.5）的第n次近似解例 求方程 经过点(0,0)的3次近似解的表达式就是所求的近似解 解命题3 函数序列 在上 是一致收敛的 命题4 函数 是积分方程(3.5)的定义于在 上的连续解 命题5 设 是积分方程（3.5）的定义于 上的一个连续解，则 ， ． 证明步骤总结:• 定理的等价变形, 引入等价的积分方程；• 作近似函数序列； • 证明连续函数序列在区间上一致收敛； • 证明极限函数是积分方程的连续解； • 证明积分方程的解唯一 4. 一阶隐方程解存在唯一性定理定理2考虑一阶隐方程则方程(3.15)存在唯一解满足初始条件二. 近似计算和误差估计求方程近似解的方法---Picard逐步逼近法,这里例1 讨论初值问题解的存在唯一区间,并求在此区间上与真正解的误差不超解由于由(3.19)例2 利用Picard迭代法求初值问题的解.解与初值问题等价的积分方程为27其迭代序列分别为取极限得即初值问题的解为作业：P88. 3。