§8 信号与系统第八章.pdf

X 第1页第八章 Z变换、离散时间系统的Z 域分析 §8.1 引言 X 第2页• 求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换； • z变换的历史可是追溯到18世纪； • 20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算机的 研究和实践，推动了z变换的发展； • 70年代引入大学课程； • 今后主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理等 问题 本章主要讨论： • z变换的定义、收敛域、性质；利用z变换解差分方程； • 利用z平面零极点的分布研究系统的特性 一．引言 X 第3页二．z变换的导出 抽样信号的拉氏变换→离散信号的z变换 )()()(sttxtxTδ δ⋅ ⋅= =∑ ∑∑ ∑∞ ∞−∞−∞= =∞ ∞−∞−∞= =− −= =− −= =nnnTtnTxnTttx)()()()(δ δδ δ对 取拉氏变换 )(stx [ [] ]⎥ ⎥⎦ ⎦⎤ ⎤ ⎢ ⎢⎣ ⎣⎡ ⎡− −= == =∑ ∑∞ ∞−∞−∞= =nnTtnTxLtxLsX)()()()(ssδ δ)(stx DA/)(nxk数字滤 波器)(ngk AD/)(tg)(tp)(txOt( ( ) )txsTT2( () ) ( () )nTtnTx− −δ δOn( ( ) )nx1 2X 第4页( ( ) )[ [] ]∑ ∑∑ ∑∞ ∞−∞−∞= =∞ ∞−∞−∞= =− −= =− −= =nnsnTnTxnTtLnTxsXe)()()(sδ δωσsj + += =其中为连续变量，引入复变量 e sTz = =)()(| )(eszXznxsXnn zsT= == =∑ ∑∞ ∞−∞−∞= =− − = =)(变换式为的（双边）对任一信号znx∑ ∑∞ ∞−∞−∞= =− −= =nnznxzX)()(( () )( ( ) )nxnTx表示为，将X 第5页∑ ∑∞ ∞−∞−∞= =− −= =nnznxzX)()(……的负幂的正幂znz znxzxzxzxzxzx+ ++ ++ ++ ++ +− −+ +− −= =− −− −− −)()2()1()0( )1()2(21012( ( ) )的幂级数是1− −zzX( ( ) )的位置指出中的幂 nxnn− −( ( ) )nx 级数的系数是三．对z变换式的理解 X 第6页§8.2 z变换的定义、典型序列 的z变换 X 第7页z变换的定义 ∑ ∑∑ ∑∞ ∞∞ ∞= =− −∞ ∞= =− −= == == == =－变换双边变换单边nnnnznxnxZzXzznxnxZzXz)()]([)()()]([)(0( ( ) )的生成函数。

为某些文献中也称数）；的幂级数（亦称罗朗级复变量)(1nxzXz• •• •− −本章着重单边z变换适当兼顾双边z变换 X 第8页一．单位样值函数 ⎩ ⎩⎨ ⎨⎧ ⎧ ≠ ≠= == =0 001)(nnnδ δ1)()(0= == =∑ ∑∞ ∞= =− −nnznzXδ δ二．单位阶跃序列 ⎩ ⎩⎨ ⎨⎧ ⎧>z1111)(1321 − −= =− −= =+ ++ ++ ++ += =− −− −− −− − zz zzzzzXnO)(nδ δ1n O)(nu11 2 3X 第9页三．斜变序列 ？，= == == =∑ ∑∞ ∞= =− −0)()()(nnnzzXnnunx已知 [ [] ]1 11)(1 0> >− −= == =− −∞ ∞= =− −∑ ∑zzznuZnn求导两边，对式对1 1 011− − − −∞ ∞= =− − − −= =∑ ∑zzznn21 011 )1(1)(− −∞ ∞= =− −− − − −= =∑ ∑zznnn两边同时乘以z-1 ，可得 1> >z( ( ) )[ [] ]2 0)1( − −= == =− −∞ ∞= =∑ ∑zzznnnuZnn（用间接方法求） X 第10页同理可得 3 022 11 )()()(− −+ += =↔↔− −∞ ∞= =∑ ∑zzzznnunnn42033 114 )()()(− −+ ++ += =↔↔− −∞ ∞= =∑ ∑zzzzznnunnn…… [ [] ])(dd)()(11zXzznxnZnxnm mm⎥ ⎥⎦ ⎦⎤ ⎤ ⎢ ⎢⎣ ⎣⎡ ⎡= =↔↔− −− −n是离散变量，所以对n没有微积分运算； z是连续变量，所以对z有微积分运算。

11111 11111m zzzzzX zzzzzz−−−−− −−−−−⎡⎤⎛⎞⎡⎤⎛⎢⎥⎜⎟⎜⎢⎥⎣⎦⎝⎝⎠⎣⎦L表示ddddd( )dddddX 第11页四．指数序列 )()(nuanxn= =az > >[ [] ]bbn zznuZe)(e − −= =则,e,ebbza> >= =设当, 1,e0j> >= =zaω设当[ [] ] 00 jj e)( ωnω zznueZ− −= =则( ( ) )∑ ∑∞ ∞= =− −= =0nnnzazXazz az− −= =− −= =− −1111．右边序列 ( ( ) )( () )1 2− −− −− −= =nuanxn左边序列.注意：z 变换相同时，左边序列的定义 ( ( ) )azzzX− −= =( () )1− −≤ ≤− −nanaz >z单边余弦序列 ( () )( ( ) )[ [] ]( () ) 1cos2cos ee21cos 020 jj000+ +− −− −= =⎟ ⎟⎠ ⎠⎞ ⎞⎜ ⎜⎝ ⎝⎛ ⎛ − −+ +− −= =− −ωzzωzz zz zznunωZωω所以同理 ( () )( ( ) )[ [] ]1cos2sin eej21sin 020 jj000+ +− −= =⎟ ⎟ ⎠ ⎠⎞ ⎞⎜ ⎜⎝ ⎝⎛ ⎛ − −− −− −= =− −ωzzωz zz zznunωLωωX 第13页§8.3 z变换的收敛域 收敛域的定义 两种判定法 讨论几种情况 X 第14页一．收敛域的定义 收敛的所有z 值之集合为收敛域。

∑ ∑∞ ∞−∞−∞= =− −= =nnznxzX)()(）的区域（即满足ROC )( ∑ ∑∞ ∞−∞−∞= =− −∞ ∞1：发散 ρ ρ= =∞ ∞→→nn nalim即令正项级数的⼀一般项 na的n次根的极限等于ρ ρ， 则 ρ ρ1：发散 2 2．．根值判定法 根值判定法 X 第16页三．讨论几种情况 1．有限长序列的收敛域 21nnnnx≤ ≤≤ ≤),(2．右边序列的收敛 3．左边序列的收敛 4．双边序列的收敛 ( ( ) )∞ ∞≤ ≤≤ ≤= =nnuanxn0)(( () )11)(− −≤ ≤− −− −− −= =nnuanxn( ( ) )0> >∞ ∞≤ ≤≤ ≤∞ ∞− −= =bnbnxnX 第17页2．右边序列的收敛 ( ( ) )nuanxn= =)(zazazazazXnnnnnnn− −⎟ ⎟⎠ ⎠⎞ ⎞⎜ ⎜⎝ ⎝⎛ ⎛− − = =⎟ ⎟ ⎠ ⎠⎞ ⎞⎜ ⎜⎝ ⎝⎛ ⎛= == =+ +∞ ∞→→∞ ∞= =∞ ∞= =− −∑ ∑∑ ∑ 11 lim)(100时收敛，即当azza> > >ROC： X 第18页3．左边序列的收敛 ( ( ) )azz zaaazzX− −= =− −− −= = − −− −= =1 111( () )11)(− −≤ ≤− −− −− −= =nnuanxn( () )∑ ∑− −−∞−∞= =− −− −= =1nnnzazX)(nm− −= =令 ( () )( () )∑ ∑∑ ∑∑ ∑∞ ∞= =− −∞ ∞= =− −∞ ∞= =− −− −= =+ +− −= =− −= =000011)(mmmmmmmmmzazazazazX⎟ ⎟⎠ ⎠⎞ ⎞⎜ ⎜⎝ ⎝⎛ ⎛− −⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎠⎞ ⎞ ⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎝⎛ ⎛ ⎟ ⎟⎠ ⎠⎞ ⎞⎜ ⎜⎝ ⎝⎛ ⎛− −− −= =⎟ ⎟ ⎠ ⎠⎞ ⎞⎜ ⎜⎝ ⎝⎛ ⎛− −= =+ +∞ ∞→→∞ ∞= =∑ ∑az az azmmmm 11lim1110时收敛，即当azaz>∞ ∞≤ ≤≤ ≤∞ ∞− −= =bnbnxn( () ) ( () )( () )[ [] ]1 1111− − − −− −− −>− −↔↔ n( ( ) )nbnx= =10 >b…1bbb> > >↔↔− −aznuaaznua azzznn)1()(变换的基本形式1．z变换式的一般形式 ∞ ∞= => >→→→→zRz包括收敛域右边序列因果序列,。

即必须满足于分母多项式的阶次的阶次不能大处收敛，其分子多项式为了保证,rkz≥ ≥∞ ∞= =k kk kr rr r zazazazaazbzbzbzbb zDzNzX+ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ += == =− − − −− − − − 1 12 2101 12 210 )()()(( ( ) )αstut + +↔↔− −1eα α拉氏变换的基本形式：X 第23页2．求逆z变换的步骤 ( ( ) )为真分式zzx• •z提出一个 • •( ( ) )zzzx⋅ ⋅• • 查反变换表 • •再部分分式展开 • •X 第24页3．极点决定部分分式形式 ∑ ∑ = =− −+ += =Nmmm zzzAAzX10)(0,)()()()()( 22110≥ ≥+ ++ ++ ++ += =nzAzAzAnAnxn NNnnδ δ对⼀一阶极点 NNNmmm zzA zzA zzA zA zzA zA zzX − −+ ++ +− −+ +− −+ += =− −+ += =∑ ∑ = =2211010)(的系数极点0 00 0= == =zabA的系数极点m zzmmzzzzXzzAm= =− −= == =)()(NN zzzA zzzA zzzAAzX− −+ ++ +− −+ +− −+ += =2211 0)( 所以( ( ) )点和高阶极点。

的极点也可分为一阶极 zXX 第25页高阶极点（重根） ∑ ∑ = =− −= =sjj ij zzzBzX1)()( 设阶极点为szzi= =izzs ijsjsjzzXzzzjsB= =− −− − ⎥ ⎥⎦ ⎦⎤ ⎤ ⎢ ⎢⎣ ⎣⎡ ⎡− −− −= =)()(dd )!(1则X 第26页二．幂级数展开法 …+ ++ ++ ++ +− −+ +− −= =− −− −2101221012zxzxzxzxzx)()()()()(k kk kr rr r zazazazaazbzbzbzbb zDzNzX+ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ += == =− − − −− − − − 1 12 2101 12 210 )()()(z变换式⼀一般是z的有理函数，可表示为： 直接用长除法进行逆变换 ( ( ) )( ( ) )∑ ∑∞ ∞−∞−∞= =− −= =nnznxzX( ( ) )nx级数的系数就是序列（是⼀一个z 的幂级数） 1．幂级数展开法 X 第27页2．右边序列的逆z变换 ( ( ) ) 的降幂排列以将zzX+ ++ ++ += == =− −− −− −∞ ∞= =∑ ∑2100)2()1()0()()(zxzxzxz。