(完整word版)线性代数题目及解析.doc

完整word版)线性代数题目及解析一. 判断题（正确打√，错误打×）1若不能由线性表示,则线性无关. (×)解答:反例：取，,则不能由线性表示，但线性相关 如果可由唯一线性表示,则线性无关√） 解答:向量能由向量组唯一线性表示的充分必要条件是； 所以，所以线性无关.3 向量组的秩就是它的极大线性无关组的个数×) 解答：正确结论： 向量组的秩就是它的极大线性无关组所含向量的个数 若向量组只有一个极大无关组，则线性无关. (×） 解答:反例：取,则向量组只有一个极大无关 组，但线性相关. 正确命题：若线性无关,则只有一个极大无关组.二. 单项选择题1.设向量组(1）:与向量组(2）:等价，则（ A ）A） 向量组（1)线性相关; （B）向量组(2）线性无关；(C）向量组（1）线性无关; （D）向量组（2）线性相关.解答：因为等价的向量组具有相同的秩,所以 ，所以向量组（1）线性相关.2. 3维向量组中任意3个向量都线性无关,则向量组中（A)(A）每一个向量都能由其余三个向量线性表示; （B）只有一个向量能由其余三个向量线性表示；（C)只有一个向量不能由其余三个向量线性表示； （D）每一个向量都不能能由其余三个向量线性表示.解答：因为4个3维向量线性相关，所以线性相关，而中任意3个向量都线性无关，所以每一个向量都能由其余三个向量线性表示。

所以选（A）3. 设维向量组线性无关，则（B ) （A)向量组中增加一个向量后仍线性无关； （B）向量组中去掉一个向量后仍线性无关; （C）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关； （D）向量组中每个向量任意增加一个分量后仍线性无关.解答:根据“全体无关则部分无关”知选项（B）正确.注意（D），“向量组中每个向量任意增加一个分量后"不是原来的接长向量组，所以不能保证还线性无关.例如线性无关，但线性相关 下列命题错误的是( )（A）若维向量组中没有一个向量能有其余向量线性表示，则该向量组线性无关；（B)若维向量组的秩小于，则此向量组线性相关；(C）若维向量组线性无关，也线性无关，则向量组,的秩为；(D)任何一组不全为零的数使,则向量组线性无关 解答：选项（C）错误 反例:设线性无关，则线性无关，但线性相关，它的秩=11+1.5.已知向量组线性无关, 则下面线性无关的向量组是 （C）.(A） ; （B) ；（C） ； （D) . 解答：（A):; (B) ; (C) ：； （D） .三. 填空题1 设维向量线性无关，则向量组的秩 2 解答：因为， 所以线性相关， （或者因为， 所以线性相关） 但线性无关， 所以. (设则， 因为线性无关, 所以, 所以 线性无关.） 2。

已知, 若由生成的向量空间的维数为2, 则 6 解答：因为由生成的向量空间的维数为2, 而线性无关, 所以可由唯一线性表示, 所以, 即, 解得. 3. 设向量组线性无关，向量不能由它们线性表示,则向量组，的秩= . 解答：因为线性无关，向量不能由它们线性表示，所以，线性无关,所以秩= . 4 若向量组与向量组不等价, 则常数 解答：如果线性无关，则两个向量组等价，所以应该是 线性相关，所以. 5 已知向量组线性相关,而向量组线性无关,则向量 组的极大无关组为. 解答:因为线性无关，所以线性无关，而线性相 关，所以向量组的极大无关组为. 四.判断下列向量组的线性相关性，并说明理由 1． ， ,; 解答：因为线性相关，所以线性相关2．， ,,； 解答：三个四维向量一定线性相关.3．， ， ; 解答：因为，所以线性无关.4．，, 解答:因为，， 线性无关， 所以,， 线性无关.五．计算题1 设,问：（1）为何值时，向量组线性无关；（2)为何值时，向量组线性相关，当线性相关时，将表示为的线性组合. 解答：（1）向量组线性无关当且仅当，所以； (2）向量组线性相关当且仅当，即，设，所以，解得，即.2. 设线性无关,问常数满足什么条件时，线性相关。

解答:设，即,因为线性无关，所以，当时，，当时，由知，所以线性相关当且仅当六．证明题1.设向量组中任意向量都不能由线性表示,且，证明线性无关.证明 因为，不能由线性表示，所以也不能由线性表示（如果，则，所以能由线性表示，矛盾），所以线性无关，而不能由线性表示，所以线性无关，以此类推,由于有限,所以线性无关.2已知向量组（Ⅰ）,（Ⅱ），（Ⅲ）如果,，证明向量组的秩为4证明 因为，所以线性无关，所以线性无关，且不能由线性表示，而，所以可由线性表示，所以不能由线性表示，所以的秩为4.3．已知，证明向量组与等价.证明: 因为，所以可由线性表示,又因为,所以也可由线性表示（或者直接由解得）.4.已知向量组线性无关，证明向量组 也线性无关证明：记，那么可由线性表示，又因为 ,所以可由线性表示，所以两个向量组等价，从而秩相等，而线性无关,所以线性无关.（如果要解出的话，可以这样做：，所以，,）5. 设维向量组（1）:的秩为；（2）：的秩为;(3）：的秩为.证明证明： 不妨设是的一个无关组，是的一个无关组，则可由线性表示,所以的无关组可由线性表示，所以.6．已知且线性无关, .证明向量组线性无关 证明： 记 , 因为 ，所以可由线性表示，二者等价，秩相等,所以线性无关.7．若向量组线性相关，证明对任意的实数， 向量组也线性相关. 证明 如果中至少有一个为零,则线性相关.下面假设全不为零。

因为线性相关，所以存在不全为零的数使得，所以 ,由于不全为零，所以不全为零，所以向量组线性相关. 第 1 页 。