闭区间上连续函数的性质的教学非常好课件.ppt

定理定理1 设设 在闭区间在闭区间 上连续，则上连续，则 在在上存在最大值和最小值，即上存在最大值和最小值，即 使得使得 1 1 1 1、最大值和最小值定理、最大值和最小值定理、最大值和最小值定理、最大值和最小值定理§2.6 闭区区间上上连续函数的性函数的性质设f (x)在闭区间[a, b]上连续，则(i) f (x)在[a, b]上为单调函数时 aObxyaObxyOab xyOabxy§2.6 闭区区间上上连续函数的性函数的性质此时，函数 f (x)恰好在 [a, b]的端点a和b取到最大值和最小值.y=f (x)[a, b], 则y=f (x)[a, b], 则§2.6 闭区区间上上连续函数的性函数的性质(ii) y = f (x) 为一般的连续函数时，如图中所示，xya a1a2a3a4a5a6bma1mama2ma3ma4ma5ma6mby = f (x)§2.6 闭区区间上上连续函数的性函数的性质注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.§2.6 闭区区间上上连续函数的性函数的性质定理定理2 设设 在闭区间在闭区间 上连续，则上连续，则 在在 上有界上有界. 函数函数 在在 上无上界上无上界：： 2 2、有界性定理、有界性定理§2.6 闭区区间上上连续函数的性函数的性质 f (x)在 [a, b]上可取到它的最大值M和最小值m，证：证：  f (x)在闭区间[a, b]上连续故 m f (x)  M x[a, b]| f (x)|  M* x[a, b]令 M* = max {|m|, |M|}, 则即 f (x)在[a, b]上有界.§2.6 闭区区间上上连续函数的性函数的性质3 3、、、、 零点存在性定理零点存在性定理零点存在性定理零点存在性定理 定理3：设 f (x)在闭区间[a, b]上连续，且f (a) f (b)<0，则至少存在一点(a, b)，使得 f ( )＝0.axyy=f (x)f (a)bf (b)O几何解释几何解释:§2.6 闭区区间上上连续函数的性函数的性质4 4、介值、介值、介值、介值 定理定理定理定理定理4’：设 f (x)在闭区间[a, b]上连续，f (a)＝A, f (b)＝B, 且AB, 则对于A，B之间的任意一个数C，至少存在一点(a, b)，使得 f ()=C定理4：设 f (x)在闭区间[a, b]上连续，则存在最大值最大值M和最小值m，对于M和最m之间的任意一个数C，至少存在一点(a, b)，使得 f ()=C§2.6 闭区区间上上连续函数的性函数的性质证证：令  (x)=f (x)C 故, 由根存在定理，至少存在一点(a, b)使则  (x)C([a, b]) .  C在A，B之间  (a) (b) = (f (a)C)(f (b)  C)＝(AC)(BC)<0  (x)= 0，即 f (x) = C .yBCAOabx推论推论推论推论：：设 f (x)在闭区间[a, b]上连续，则f (x)取得介于其在[a, b] 上的最大值M和最小值m之间的任何值就是说，mCM, 则必存在[a, b], 使得f ()=C.例例1：：设 f (x)在闭区间[a, b]上连续， a< x1< x2 <…< xn < b , 证明: 至少存在一点[x1 , xn ]，使得§2.6 闭区区间上上连续函数的性函数的性质证：证： f (x)在闭区间[a, b]上连续.有从而由介值定理，至少存在一点[x1 , xn ]，使综上所述，命题获证.mf (xi) M.§2.6 闭区区间上上连续函数的性函数的性质例例2: 证明方程x5–3x =1, 在x=1与x=2之间至少有一根.证：证： 令 f (x)= x5–3x–1，x[1, 2]则 f (x)在闭区间[1, 2]上连续又 f (1)= –3， f (2)= 25，即 f (1) f (2) <0即 方程在x=1与 x=2之间至少有一根.故 至少存在一个(1, 2)，使得 f ( )=0,§2.6 闭区区间上上连续函数的性函数的性质例例3 3证证由零点定理由零点定理,§2.6 闭区区间上上连续函数的性函数的性质而 f (0)=0–a sin0–b = – b <0f (a+b)=(a+b)–a sin(a+b)–b =a(1sin(a+b))0设 f (x)=x  a sinxb , x[0, a+b],则f (x)在闭区间[0, a+b]上连续,例例4：证明：：证明：方程 x=a sinx+b (a >0, b >0)至少有一个不超过a+b的正根.证：证：问题归结为在[0, a+b]上求方程的根的问题.§2.6 闭区区间上上连续函数的性函数的性质1) 如果 f (a+ b)＝0，则= a+ b 就是方程的根. 综上所述，方程在[0, a+b]上至少有一个根, 即至少有一个不超过a+b的正根.2) 如果 f (a+ b) >0, 则f (0) f (a+b)<0，由根存在定理, 至少存在一个(0, a+b)，使得 f ()=0.§2.6 闭区区间上上连续函数的性函数的性质例5证明讨论:§2.6 闭区区间上上连续函数的性函数的性质由零点定理知,综上,§2.6 闭区区间上上连续函数的性函数的性质§2.6 闭区区间上上连续函数的性函数的性质左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的 性 质初等函数的连续性间断点定义连 续 定 义连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性 振荡间断点 无穷间断点 跳跃间断点 可去间断点第一类 第二类总结总结。