重积分——三重积分的应用.ppt

1,重积分在几何上的应用,3、求空间物体的质量,2、求空间立体的体积,曲顶柱体,任意空间立体,4、求平面薄片的质量,1、求平面区域的面积,2,例1 求半径为a的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体（如图）的体积解 设球面通过原点O，球心在 z 轴上，又内接锥面的顶点在原点O，其轴与 z 轴重合，,立体所占有的空间闭区域可用不等式表示:,,球面方程为 r = 2acos，,,锥面方程为 =  3,所以,4,,,柱坐标变换,5,重积分在物理上的应用,1、求物体的质心,2、求物体的转动惯量,3、求引力,公式的推导利用积分的思想：微元法,6,1 质心,先讨论平面薄片的质心设在xoy平面有n个质点分别位于(x1,y1)、(x2,y2)、…、(xn,yn)处，质量分别为m1、m2、…、mn,由力学知道:,My、Mx叫质点系对于坐标轴的静力距7,,,D,先将物体分割为许多小部分，考虑其中的一个部分d，它的质量元素为,这个部分d对于x轴以及对于y轴的静力距元素为,8,以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，可得,9,如果薄片是均匀的，即当(x,y)为常量时，可得到如下的质心坐标：,这时薄片的质心完全由闭区域D的形状决定，这样求得的质心又称为平面薄片的形心。

10,例6 求位于两圆r =2sin 和r = 4sin 之间的均匀薄片的质心(如图)D,,,D的面积等于这两个圆的面积之差，即A=311,再利用极坐标计算积分,,12,13,例7 求均匀半球体的重心解 取半球体的对称轴为 z 轴，原点取在球心上 ：x2+ y2+ z2  a2，z  0,,14,先讨论平面薄片的转动惯量设在xoy平面有n个质点分别位于(x1,y1)、(x2,y2)、…、(xn,yn)处，质量分别为m1、m2、…、mn,由力学知道:,Ix、Iy是该质点系对于坐标轴x轴以及y轴的转动惯量2 转动惯量,15,设有一平面薄片占有平面闭区域D, 在点(x,y)处具有连续面密度=(x,y)，下面利用元素法求该平面薄片对两坐标轴的转动惯量D,先将物体分割为许多小部分，考虑其中的一个部分d，它的质量元素为,这个部分d对于x轴以及对于y轴的转动惯量元素为,16,以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，可得,17,18,例8 求半径为 a 的均匀半圆薄片(面密度为常量)对于其直径边的转动惯量解 取坐标系如图所示，则薄片所占闭区域D可表示为x2+y2  a2，y0；,而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix。

19,20,3 引力,设有一平面薄片，占有xoy平面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为(x,y)，假定(x,y)在D上连续现在要计算该薄片对位于z轴上点M0(0,0,a) (a0)处的单位质量的质点的引力P(x,y,0),21,22,23,例10 求半径为R的匀质球：x2+y2+z2  R2对于位于点M0(0,0,a)(a R)处的单位质量的质点的引力24,25,由对称性易知Fx=Fy=0,26,分部积分+变量替换,。