平面平面的基本性质及应用.doc

平面、平面的基本性质及应用 　　一、平面的基本性质回忆：涉及三个公理、三个推论、其中公理3，推论1，推论2，推论3分别提供了构造平面的四种：　　（1）选不共线的三点 　　（2）选一条直线与直线外一点 　　（3）选两条相交直线 　　（4）选两条平行直线 二、证明共面的两种措施： 　　1、构造一种平面，证有关元素在这个平面内；2、构造两个平面，证能拟定平面的元素同在这两个平面内（同一法） 　　例1．已知a//b, A∈a, B∈b, C∈b. 　　求证：a,b及直线AB，AC共面 　　思路（1）：由a//b可拟定平面α，再证ABα，ACα； 　　思路（2）：由a//b可拟定平面α，由直线AB，AC可拟定平面β由于α，β都通过不共线的三点A、B、C，因此α，β重叠 　　思路（3）：在思路（2）中的平面β，还可以由不共线的A，B，C三点来构造，或者由点A与直线b来构造 　　此外，同窗们在书写证明过程的时候，一定要把公理及推论的题设交待清晰，建议同窗们书写时注明理由，如下所示： 　　写法（一）： 　　证明：∵ a//b（已知） ∴ a,b拟定一种平面α（推论3） ∵ A∈a, b∈b, c∈b（已知） ∴ A∈α，B∈α，C∈α ∴ 直线ABα，直线ACα（公理1）∴ a,b,AB,AC共面。

　　写法（二）： 　　证明：∵ a//b（知）∵ a,b拟定一种平面α（推3） ∴ A∈α，B∈b, C∈b（已知）∴ a通过A，B，C三点， ∵ AB∩AC=A ∴ 直线AB，AC拟定一种平面β（推论2） ∴ β通过A，B，C三点， 　　∵ A∈a,B∈b, C∈b, a//b（已知） ∴ A，B，C不共线 ∴ α与β重叠（公理3） ∴ a, b，AB，AC共面 　　有关同一法证题的思路，请同窗们再看一道例题 　　例2．如果三条互相平行的直线和同一条直线相交，求证：这四条直线共面 　　分析：这是一种文字命题，规定画图，写出已知，求证，然后进行证明此外，在写已知，求证时，要尽量忠实原文的意思 　　已知：a//b//c, a∩d=A ，b∩d=B ，c∩d=C 　　求证：a,b,c,d共面 　　分析 由a//b可拟定一种平面α；由b//c可拟定一种平面β由于α，β都通过两条相交的直线b和d,因此由推论2可知，α与β重叠注意：α和β都通过的元素，还可有其他的选用措施，请同窗们自己试一试） 　　证明：∵ a//b（已知） ∴ a,b拟定一种平面α（推论3） 　　∵ b//c（已知） ∴ b,c拟定一种平面β（推论3） 　　∵ A∈a,B∈b, ∴ A∈α, B∈α, ∴ 直线ABα即dα（公理1） 　　同理可证：dβ, ∴ α，β都通过b和d， 　　∵ b∩d=B ∴ α与β重叠（推论2）。

　　三、证明三线共点，三点共线的措施 　　1．三线共点：证其中两条直线的交点在第三条直线上； 　　2．三点共线：证三点都是两平面的公共点 　　例3：已知如图，α∩β=l, aα, bβ, a∩b=A. 　　求证：A∈l（或者a,b,l共点） 　　分析：只需证明A为α，β的公共点 　　证明： ∵ a∩b=A, aα, bβ, ∴ A∈aα,　 A∈bβ, 即A为α，β的一种公共点， 　　∵ l是α和β的交线， ∴ A∈l. 　　例4 ：如图，已知延长ΔABC三边，AB∩α=D，BC∩α=E，AC∩α=F 　　求证：D，E，F共线 　　证明：∵ ΔABC顶点不共线， ∴ A，B，C可拟定平面β, 　　∵ D∈α且D∈ABβ, ∴ D是α，β的公共点 　　同理可证：E，F也是α，β的公共点， 　　∴ D，E，F都在α，β支线上，即D，E，F共线 　　典型例题 　　一．求证两两相交且但是同一点的三条直线必在同一平面内. 　　已知:直线AB、BC、CA两两相交,交点分别为A、B、C 　　求证:直线AB、BC、CA共面 　　证明:∵ 直线AB和AC相交于点A, ∴ 直线AB和AC拟定一种平面α(推论2). 　　∵ B∈AB,C∈AC, ∴ BCα(公理1). 因此直线AB、BC、CA都在平面α内,即它们共面. 　　阐明:证明几条直线共面,就是要找到一种平面,使得它们都在这个平面内,核心是如何找到这个平面。

也就是如何拟定这个平面由公理3及它的三个推论我们懂得拟定平面有四种措施).当平面拟定后来,再证明都在这个平面内,即完毕了这个证明. 　　二.证明:如果一条直线和三条平行直线都相交,那么这四条直线在同一平面内. 　　已知:直线a、b、c、l,a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B, l∩c=C. 　　求证:a、b、c、l共面 　　证明:∵ a∥b. ∴ a与b拟定一种平面(推论3). 　　∵ l∩a=A,l∩b=B, ∴ A∈α,B∈α, ∴ 直线AB,即lα. 　　也就是a、b、l共面于α 同法可证明b、c、l共面于β. 　　这就是说b、l既在平面α内又在平面β内. 　　而l∩b=B. 由公理3的推论2可知α,β是同一种平面. ∴ a、b、c、l在同一平面内. 　　阐明:当拟定一种平面后,阐明其他直线也在这个平面内发生困难后,往往可采用“间接法”证明.本题采用了“同一法”,也可采用“反证法”来证明. 　　三．已知:延长△ABC三边.AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R. 　　求证:P、Q、R共线 　　证明: ∵ △ABC三顶点为不共线的三点. ∴ A、B、C三点可以拟定一种平面β. 　　∵ P∈AB,ABβ, ∴ P∈β. 　　又∵ AB∩α=P,即P∈α。

∴ P∈αβ=l. 　　同理可证Q∈l, R∈l,即P、Q、R共线 　　阐明:在空间几何中,证明几点共线.往往要用到公理2. 　　四.证明:三个平面两两相交得到三条直线. 　　(1)如果其中两条直线交于一点,那么第三条直线也过这点. 　　(2)如果其中两条直线平行.那么第三条直线也和它们平行. 　　已知: α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c 　　(1)若a∩b=0,求证:0∈c. (2)若a∥b,求证:a∥c, b∥c 　　证明:(1)∵ α∩β=a,α∩γ=b,a∩b=0 ∴ 0∈β，0∈γ 　　而β∩γ=c. ∴ 0∈c(公理2) 　　(2)∵ α∩β=a,β∩γ=c， ∴ aβ,cβ,即a、c共面于β ∴ a或c成平行或相交. 　　假设a∩c=P,则由(1)的结论可知P∈b. 　　即a∩b=P,这与a∥b矛盾,∴ 假设不成立，故a∥c, 　　同理可知 b∥c 　　阐明:本题的结论是对三个平面两两相交,交线的位置关系的鉴定,它对此后的画图有着很重要的作用.应予以注重. 　　[习题]： 　　1． a,b,c交于同一点O，直线d与a,b,c分别交于A，B，C三点 求证：a,b,c,d共面。

　　2．已知：平面α，β，γ， α∩β=a, α∩γ=b, β∩γ=c,且a//b=M 求证：a,b,c三线共点 　　3.已知:α∩β=l, aα,bβ,a∩b=A. 求证:A∈l. 　　4.如图:α∩β=l,A∈α,B∈α,c∈β.试在β内找一点D.使A、B、C、D四点为一梯形的四个顶点,这样的点D共有几种？ 　　1（提示：由a与d相交可知，a,d拟定一种平面 α，再证：b,c在α内） 　　2 提示：由于a,b的交点已经存在，因此只需证M点在C上即可要证M在C上， 　　由于C是 β，γ的交线，因此只需证M同在β，γ内 　　3.证明:∵ a∩b=A,aα,bβ. ∴ A∈α且A∈β, 又∵ α∩β=l, ∴ A∈l. 　　4.分析:由于梯形是平面图形,因此D在A、B、C三点拟定的平面γ内,但D又在β内,因此D在平面β与γ的交线上,由于α与γ的交线AB与l交于点P,易知β与γ的交线也过P点,连CP, 则D在直线CP上连BC,在平面γ内过A作AD∥BC交CP于D.连AC,在平面γ内过B作BD′∥AC交CP于D′,D与D′即为所求.这样的点只有两个 测试窗体顶端　　选择题　　1． A, B, C为空间三点，通过这三点（　 ） 　　A．能拟定一种平面 　　B．能拟定无数个平面 　　C．能拟定一种或无数个平面 　　D．能拟定一种平面或不能拟定平面 窗体底端窗体顶端　　2．空间交于一点的四条直线最多可以拟定平面（　 ） 　　A．4个　　B．5个　　C．6个　　D．7个 窗体底端窗体顶端　　3．空间不共线四个点 A, B, C, D, 在同一平面内的射影A', B', C', D'在同一条直线上，那么A, B, C, D可拟定平面个数为（　 ） 　　A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 窗体底端窗体顶端　　4．四个平面互不平行，也不重叠，则它们交线的数目不能是（　 ） 　　A．6　　B．4　　C．2　　D．1 窗体底端窗体顶端　　5．过直线l外两点作与直线l平行的平面，可以作（　 ） 　　A．0个　　B．1个　　C．无数个　　D．0个，1个或无数个 窗体底端窗体顶端　　6．空间四点可以拟定几种平面？ 　　A． 1个　　B． 4个　　C．无数个　　D．以上状况都也许 窗体底端窗体顶端　　7．三条直线两两相交，最多可以拟定几种平面？ 　　A． 1个　　B． 2个　　C． 3个　　D． 4个 窗体底端窗体顶端　　8．三条直线两两平行，最多可以拟定几种平面？ 　　A． 1个　　B． 2个　　C． 3个　　D． 1个或3个 窗体底端窗体顶端9．下列几种说法中，对的的是： 　　A．空间的三个点拟定一种平面 　　B．四边形一定是平面图形 　　C．六边形一定是平面图形 　　D．梯形一定是平面图形窗体底端答案与解析 解析：　　1．如果这三点不在一条直线，则可以拟定一种平面；如果这三点在一条直线上，则不能拟定平面。

故本题应选（D） 　　2．拟定最多平面的状况应是每两条直线所拟定的平面都不重叠，这样若把四条直线依次编号，则相邻两号码（1与4也当作相邻）共拟定4个平面，而相对两号码共拟定2个平面，最多时能拟定6个平面故本题应选（C） 　　3．四个点在同一平面内的射影若在一条直线上，则这四个点在同一平面内，故这四个点所拟定的平面是一种故本题应选（A） 　　4．若四个平面交于一条直线，则交线有一条，若四个平面中每三个平面共点，则共有交线C=6条若四个平面交于一点，但无公共交线，则共有交线四条，因此不也许有2条交线故本题应选（C）　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　5.若两点连线与l相交，则可以作O个；若两点连线与l平行，则可以作无数个；若两点连线与l异面，则可以作1个故本题应选（D）　　6.四点若在同始终线上，通过这四点可以有无数多种平面；四点若在同一平面内，不管与否有三个点在同始终线上，都只能拟定一种平面；不在同一平面内的四个点可以拟定四个平面，因此四个点拟定平面的个数也许是1个、4个或无数多种,故本题应选（D） 　　7.三条直线两两相交，若共点且在同一平面内，只能拟定一种平面；若共点不在同一平面内，能拟定三个平面。

若不共点，两两相交有三个公共点，只能拟定一种平面故最多可以拟定三个平面，故本题应选（C） 　　8.三条直线两两平行，如果一条直线在其她两平行直线拟定的平面内，这三条直线只能拟定一种平面；如果三条平等线不在同一平面内，则可。