考研数学66条笔记.docx

1、对于不等式xnyn(n N)两边取极限时(以极限存在为前提) ，除不等号外还要带上等号，即 lim xn [im yn2、对于任意数列 an,若满足an A k an 1 A(n 2,3….)其中0 k 1,则必有lim an Ao这一结论在求解递归数列的极限时是很有用的x3、设gx在x a可导，(x)在x a连续而不可导，则gx (x)在x a处4、5、6、7、不可导可导且导数为g'(a) (a)证 明 f '(x) P(x) f (x) Q(x)u(x)F(x)曲率:f'(x) P(x)f(x) Q(x)在受求解一阶线性方程P(x)dxe f(x) ex'y'' x''y'2 ,2 3/2(x y )若g(a) 0若g(a) 0在 a,b 存a,b存在零点,积分因子法P(x)dxQ(x)dxy''2 3/2(1 y')在零点，等价于证明其中u(x)为a,b内任意恒正的函的启示，什 P(x)dx取 u(x) e ,参数方程的重积分换元 yF1(r,s,t)F2(r,s,t)F3(r,s,t)dxdydz工，zr rr_x_yzs ss_x_y_Zt ttdrdsdt若f(x)以T为周期的周期函数， f(x)的全体原函数以 T为周期的充要条件是T0 f(t)dt 08、若f (x)在区间I上有第一类间断点，则 f (x)在I上不存在原函数；若 f (x)在区间I上有第二类间断点，不确定 f (x)在I上存不存在原函数。

9、多元初等函数的偏导数仍是初等函数,10、旋转面与柱面方程命题1：设空间曲线 的曲线参数方程为 x (t), y (t),z (t),则 绕z轴旋转x .. (x)2 (x)2cos周的曲面方程为： y (x)2 (x)2 sinz (t)命题2:准线方程为f(x -z, y mz) 0n n命题3:若准线方程是f(x,y) 0当母线的方向向量为s l,m,n则柱面方程 z 0x f(t)y g(t),t (,)，母线的方向向量是 s l, m, n，柱z h(t)x f(t) lu 面方程是 y g(t) mu z h(t) nu11、两个随机变量X,Y,若X aY b,则当a 0时xy 1;当a 0时xy 112、 设f(x)在 a,b非负， ， (a,b) , f (x)在 ， 可积，又设x a(或 x b)是 f(x)的瑕点，且 xlimo(x a)pf(x) l(或」叩08 x)pf(x) l)则b当p 1且0 l 时，瑕积分 f(x)dx收敛 a13、 实对称的矩阵的属于不同特征值的特征值向量正交14、 正交的向量组必线性无关15、 知道三边长求面积用“海伦公式" S J(p a)(p b)(p c)p,p ；(a b c)16、 z f (x, y, r)条件“z与r无关”，潜台词就是说 一z 0 r17、 f (x, y) g(x, y)两边对x, y求偏导是相等的18、 有z f(x, y)区域Dxy求极值(最值)用拉格朗日函数，求出 若有两个，则分别算出后求其极(最)值大小19、 秩为1的矩阵可以化为两个向量的积 A T, 为n维列向量。

并且 A的自乘积A2 aA , a为常数1 “，一一20、 A的行(列)向量相互垂直，且长度相同为 a, B —A为正交矩阵a21、 (A E)(A E) (A E)(A E)满足交换律22、 ABx 0① Bx 0②由于②的解必是方程组①的解因此， R (②的解向量)WR (①的解向量)23、 求矩阵的n次哥可化为对角阵(可化为对角阵的矩阵)来求：A 〜 An P nP 124、 矩阵A的正负惯性指数 不等于主子式的正负个数25、 时间A、B相互独立，A、B、A、B相互独立26、 在使用公式P{a x b} F(b) F (a)时，在这里{}中的不等式应该是左开右闭的一 、 _ 1 一 27、 是对称矩阵的特征向量相互正交， Q AQ 已知 求A (已知A的一个特征向量)；先求出A的另外的特征向量(利用正交条件) ，求出Q,然后求出A128、 对角阵左乘 A, A [ 1 2L n],A A O ( 1 1, 2 2,L n n)n29、 对于连乘式的处理，可以将式子取对数，转换成和式进行分析30、 E(X+Y尸E(X)+E(Y) X、丫不作独立要求E(XY尸E(X)E(Y) X、丫必须独立 Cov (X, Y) =0②f( ) 0解出来的31、 ①矩阵A满足f (A) =0,矩阵A的特征值由f( ) 0确定i只是确定了 的取值范围，具体特征值是否有？有几个同样的特征值？还需要增加题目条件32、矩阵 Amn ， 对于 ATA 的特征值为非负(Ax)T Ax 0 xT AT Ax AT A正定或半正定， 033、 A对应的线性无关特征向量的个数w特征值的重数34、 最大似然估计值不一定要求似然函数的导数为零， 有可能似然函数是恒增或者是恒减的，那么根据定义域的范围来求解最大似然估计值35、 初等矩阵均是可逆的，并且有这样的表示方法(要会写出初等矩阵的表示) ：_ 1 _ _ 1 _ 1 _ 1 一Ej Ej,Ei k E — ,Ej k E kk 一 136、 两个极限反常积分审敛法：①反常积分 a —pdx(a 0)当p>1时收敛，当p<1时发散b 1②反常积分 一1一dx当0Vp<1时收敛，当p>1时发散a (x a)p37、 XY 1的充分必要条件是存在常数 a、b使P{Y aX b} 138、 证明一元函数f (x)的极限不存在的一种方法：若 Xn X0,xn X0,lim f(Xn)不 存在或 Xn Xo,Xn X0,yn X0, yn X0 使得lim f (xn) lim f(yn),则 lim f (x)不存在 n n x X039、 对于任意数列 an ,若满足an A kan1 A其中0

只有当 o f (t)dt 0时，f(X)的全体原函数为周期为 T的周期函数47、 求取不定积分原函数的时候有一种方法， 叫做“分项积分” 一般应用在同种类型的函数结构构成的分式中(裂项公式)48、 两个矩阵相似可以推出 A , A2的特征值相同，两矩阵的特征值相同不能推出相似；A,A2特征值相等并且 R( E A) R( E A2)可以得出结论“ A1，A2相似”49、 求x 时的极限，通常以“抓大头”的办法，所谓“抓大头”就是取分子、分母中趋于 最快的项(指数式 >哥式 >对数式)50、 看清题目中的用字：“任意” 一般来说范围很广，可以向要处理的式中带入特定的 的值或表达式，向目标推导51、 关于倒代换，设m、n分别为被积函数分子、 分母关于(x土 a)的最高次数，当n-m>1时，用到代换可能成功(设 x±a=1/t)52、 D(X 2Y) 0 X 2Y c(常数)X 2Y c, xy 153、 FX(x)为分布函数，考察 x a点是否连续：P{X否则不连续54、 (r) ° xr 1e xdx(r 0)是参数r的函数，称为a} P{X a} 0则连续,函数， 函数的一个重要性质为(r 1) r (r),特别的 (n 1) n!Xi与X i相互独立55、 D(X) D( Xi) i j D(Xi)Xi与X i不相互独立D(X) D( Xi) i j D(Xi) 2 Cov(Xi,Xj)i i i j56、2 2 c 2f (Xi, x2, x3) 5Xi 5x2 3x3 2xiX2 6x1X3 6x2x3 贝 U f(x1,x2,x3) 1 表不何种二次曲面？将 f(x1,x2,x3) 1对角化，可以得到f2 . 24y2 9y3 1 , f表小椭圆柱面57、 正交变换不改变向量长度58、 矩阵A正定的必要条件aii0(i 1,2,3L n), A0 ,合同变换不改变矩阵的征值59、 旋转曲面围成的平面的方向为右手螺旋定则所规定的60、 已知y y(x)的曲线，与x轴围成图形的型心 x, y61、b y(x) ba dx ° xdy a y(x)xdxb bydx ydxa ab y(x) 1b 2 1dx ydy - a y dxa 0 )) 2 ab bydx ydxa a对于F(x, y,z) 0的隐函数的形式dSFx'2 Fy'2 Fz|Fy'|dxdy可以使得计算得到化简62、 f (x, y)在公共点 Mo 处的法向量为(fx', fy')|M0 grandf (x, y) |m063、 (kA)* kn1A*;(A*)* | A|n 2 A;|A*|二|A|n 164、 若 A 列满秩 R(AB) R(B) , R(ATA) R(A) (2012 年数学一考过)65、66、1 q 1,收敛n 2 nlnqn q 1,发散X Y 2x X x Y x。