分形几何学实践.ppt

分形几何学全貌2011-3-11目录õ1.文化渊源õ2.历史阶段õ3.主要人物õ4.著名学术õ5.应用范例õ6.趣味资料õ7.可能事件õ8.终极境界2õ1.文化渊源¡1.0 思维本源¡1.1 混沌思想¡1.2 太极思想31.0 思维本源¡音，触，形，语—思-反映-记忆-归纳-验证¡形→空间、色彩—像—作用 –意义 ¡空间、色彩¡空间-广延序的拓扑逻辑+持续序的拓扑¡空间-集（量+序）¡量=分形与分割—序的量/度域¡拓扑=集合+序¡思维-语言表示的映射-反映时空事件与关联¡序-空间的排列特征-广延与连续关系41.1 混沌思想¡古人想象中天地未开辟以前宇宙模糊一团的状态对应于英文词chaos 道教称为“元气状态”《淮南子·诠言》：“洞同天地，浑沌为朴未造而为物，谓之太一”王充《论衡·谈天》：“说《易》者曰：‘元气未分，浑沌为一’”后用以形容模糊隐约的样子：在这浑沌的灯火里，渗入一派清辉，却真是奇迹也形容幼稚糊涂：跟那种浑沌无知的人，真是有理也说不清5¡1)我国传说中指宇宙形成以前模糊一团的景象¡2)形容无知无识的样子这个解释没有包括国外的用法，也没有概括全现代汉语中混沌的用法¡3）糊里糊涂、无知无识的样子。

¡混沌生无极，无极生太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦！¡4）一种未约束态，有巨大的自由熵，在特定约束下，会释放巨大结构能量从而约束化6西方的大爆炸理论的未定势¡在大爆炸的宇宙观中，混沌就是巨大的能力在未对称破缺的阶段；¡中国的小说或古代神话：指代宇宙的初始，自由均衡未定结构和状态；¡现代意义，大系统的自由熵状态；例如一段未被环流化的天气系统—它可能会在一定的机缘中孕育台风这样的旋转序，¡一个自由的能量系统，这种能量和资源可能会不确定的被其中的子系统序化7屈原的雷电颂¡屈原的雷电颂但是我，我没有眼泪宇宙，宇宙也没有眼泪呀!眼泪有什么用呵?我们只有雷霆，只有闪电，只有风暴，我们没有拖泥带水的雨!这是我的意志，宇宙的意志鼓动吧，风!咆哮吧，雷!闪耀吧，电!把一切沉睡在黑暗怀里的东西，毁灭，毁灭，毁灭呀!¡俄国的诗人-高尔基-海燕看吧，它飞舞着，像个精灵──高傲的、黑色的暴风雨的精灵，它在大笑，它又在号叫……它笑那些乌云，它因为欢乐而号叫！¡　　从雷声的震怒里，这个敏感的精灵，它早就听出了困乏，它深信，乌云遮不住太阳，──是的，遮不住的！¡　　狂风吼叫……雷声轰隆……¡　　一堆堆乌云，像青色的火焰，在无底的大海上燃烧。

大海抓住金箭似的闪电，把它们熄灭在自己的深渊里这些闪电的影子，活像一条条火蛇，在大海里蜿蜒游动，一晃就消失了¡　　“暴风雨！暴风雨就要来啦！”¡　　这是勇敢的海燕，在怒吼的大海上，在闪电中间，高傲地飞翔；这是胜利的预言家在叫喊：¡　　“让暴风雨来得更猛烈些吧!”8这就是混沌¡一旦有光明的照耀，他就会雷霆万钧！¡在这里纯洁而原始的力量，已为新世纪准备了灿烂的曙光！¡不用怀疑民众的智慧和力量¡混沌是他们自然美丽的脸庞，¡淳朴是他们的仁厚心肠；¡待到革命胜利，千万学会把他们珍藏！¡用你成功获得的人民的力量把他们再次滋养9混沌的定义混沌的定义¡目前尚未确定，众说纷纭，这儿只取其一帮助理解¡混沌是指确定宏观的非线形系统在一定条件下所呈现的或不可预测的随即现象，是确定性与不确定性，规则性与不规则性，有序性与无序性融为一体的现象，其不确定性或随机性不是来源于外部干扰，而是来源于内部的“非线性交叉耦合作用机制”这种“非线性交叉耦合作用”得数学表达式是动力学方程中的非线性项正是由于这种“交叉”作用，非线性系统在一定的临界条件下才表现出混沌现象，才导致其对初值的敏感性，才导致内在的不稳定性的综合效果10¡ 所谓确定性系统是相对的，指我们考虑的系统，它的内在力量随时间的变化是一个确定性的常微分方程组或差分方程组所决定的。

只要给了初始条件，它的解（或运动轨迹）就是唯一确定¡在某些情况和给定的控制参数下，其解会呈现出混沌状态 混沌现象是确定性系统“内在的随机性”，它是有别于由系统外部引入的不确定的随机影响（如噪声等）而产生的外部随机性 ¡“确定性”是因为它有内在的原因而不是外来的噪声 或干扰所产生；而“随机性”指的是不规则的不能预测的行为11混沌的特性¡（1）确定系统的内在随机性.¡混沌现象是由系统内部的非线性因素引起的，是系统内在随机性的表现，而不是外来随即扰动所产生的不规则结果混沌理论的研究表明，只要确定性系统中有非线性因素作用，系统就会在一定的控制参数范围内产生一种内在的随机性，即确定性混沌¡混沌现象是确定性系统的一种“内在随机性”，它有别于由系统外部引入不确定随机影响而产生的随机性为了与类似大量分子热运动的外在随机性和无序性加以区别，我们称所研12¡的混沌为非线形动力学混沌，而把系统处于平衡态时究所呈现的杂乱无章的热运动混乱状态称为平衡态热力学混沌 ¡ 它们间的重要差别在于：平衡态热力学混沌所表现出的随机现象是系统演化的短期行为无法确定比如掷骰子，第一次掷的结果就无法确定，而长期则服从统计规律；非线形动力学混沌则不然，系统的短期演化结果是确定的，是可以预测的；只有经过长期演化，其结果才是不确定的，不可预测的。

比如天气预报，三天以内的天气状况是可以预测的，三天以后的旧无法预测了13（2）对初值的敏感性¡系统的长期行为对初值的敏感依赖性是混沌的本质特征我们经常说 “差之毫厘，失之千里”；讲的就是这个道理¡在西方，控制论的创立者维纳引用民谣对“蝴蝶效应”作了生动描述：¡钉子缺，蹄铁卸；蹄铁卸，战马蹶；¡战马蹶，骑士绝；骑士绝，战事折；¡战事折，国家灭¡马蹄铁上缺了根钉子本是一件微不足道的事，但经过逐级放大后，竟然导致整个国家灭亡的灾难性后果14国殇¡数万之族起北方，刀枪浴血书存亡；¡怀柔常乞人心顺，忠恕只求士子帮；¡从此文化儒家尊，八股平庸也飞扬；¡迭代维文得官饷，常使权贵呈豪强；¡人心智慧为所以，科学渐渐入膏肓；¡南国烟禁虽有心，民族衰微却无望；¡近日痛定思过往，喋血泣泪问国殇；¡当知混沌本源里，国策微偏久成伤；15国昌¡民主岂止政与权，国策与时不再偏；¡天下为公天下建，才德行行出圣贤；¡不以思想树朝野，同事为民立政见；¡后学融汇古今史，博士贯通中西言；¡不以权利偏天下，追求平等顾后面；¡科学进步专业精，社会发展代价廉；¡细妙学问呈几何，分形深入理无边；¡数学万年人心准，逻辑道道方入玄；161.2 太极思想¡《易经》：“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦。

 孔颖达疏：“太极谓天地未分之前，元气混而为一，即是太初、太一也¡以今天的人理解，太原意大，太极原意无限广大，太极就是宇宙均衡对称的最初状态，在宇宙形成理论中占据重要位置的学术概念：起点或者奇点，即无相无动的开始¡太极观不仅中国人运用，当年的波尔也用过17波尔的太极分布量子观¡我们不要以为西方的自然科学没有受到东方哲学的启迪¡实际上从逻辑到辩证法，西方的文艺复兴后的“大家”几乎无一例外18õ2.历史阶段¡2.1  雪后初晴时，人类出水日¡2.2  文明薪火¡2.3  哲学与神学¡2.4  东方古文明¡2.5  古希腊文明¡2.6  文艺复兴¡2.7  自然的重光¡2.8   经典时代¡2.9   现代科学192.1  雪后初晴时，人类出水日¡自然周期的认识—时间季节节令¡有时间与季节相关性影响的民族文明¡空间逻辑¡生存与力量20离奇的命题¡在非常的冰河期之后，人类从什么地方开始了成为地球主宰的历史？¡有人说是非洲！有人说是亚洲！其实这应该都不准确！人类不是从哪个洲开始，而是从水边开始的，这就是很多已经没入海中的地方，当然，随海洋抬升的地方也会有人类的牙齿甚至头骨人类从类似老鼠的动物要进化到人，他们（我们的生物学祖宗）比其他动物呆在水里的时间更长，因此人类才会像其他海生哺乳动物一样没毛了。

没毛是长期水生进化的标识21营养与智慧¡感谢水中的鱼类，给祖先以营养，使他们的大脑发育得硕大异常，人类在这里集聚能量，重返大陆，他们就聪明漂亮你会知道他们会有厚厚的脂肪还有女人的周期是被定格的月亮¡人类从水里出来，对水的感情和认识已经不再一样，他们知道月亮代表的时节和太阳代表的力量¡所有在后来他们的温暖依赖于太阳的民族，其时空的感觉灵敏超常222.2  文明薪火¡上帝的火光¡被囚的普罗米修斯¡中国的三皇燧人氏¡毛泽东诗词：¡贺新郎 读史 ¡人猿相揖别， 只几个石头磨过； 小儿时节， 铜铁炉中翻火焰， 为问何时猜得？ 不过几千寒热¡实际上：¡人猿相揖别， 只几个木头磨过； 小儿时节， 铜铁炉中翻火焰， 为问何时猜得？ 不过几千寒热¡只因些匆忙，忘录下当时光芒；偶尔旁边，石壁丹墙走兽像，堪比今日大家，也值百万一张¡这就是文明的混沌之源232.3  哲学与神学¡火是人类区别于其他一切自然生物智慧称为文明的根本标识，而石刀石斧石镰已经是人类能安稳的消磨时间的标志了，这即是说：虽然石器存留下来，但石器存留的必要条件是火的运用和在这一环境中的细致的创造¡有了这一切，人类才开始觉得生存的意义，结束以前在恐惧中求生的本能，从自我走向他我，重新塑造人的形象。

¡人类从此开始祈求超越自身的神力—哲学与神学，美好与真理开始成为人类的追求24¡神与魔鬼是每个民族儿时的记忆；¡不需要其他，只要人类祖先对黑暗的恐惧、火的温暖、还有火焰的摇曳，在那个墙上或帐篷的壁上，神和魔就开始了斗法¡有了这个斗法，你就知道神的真理与不可预控魔的力量在各个民族文明的起点，本就不存在谁比谁优越，更不见那个民族是只有神保佑没有魔的折磨¡文明（文化）优越论就如同神话，是不证自明的心理而不是颠覆不破的真理¡没有语言的发展对神的膜拜就没有后面的文明¡珍爱神话如同珍爱童真，因为想象有不竭的人类思想的干细胞252.4  东方古文明¡两河流域，古巴比伦、古埃及、古印度，其几何学都开始了人类文明的发育¡在今天人们的意识中也许认为当时各个文明之间的交往时空白的，人类后来有一次次的所谓路—所谓地利大发现，其实这是在是历史学家的更准确一点是（地缘）政治（学）家眼中的人类文明交流的历史，人类从有火儿开始壮大，一直就相互交流着，只是这种交流的形式不见得是今天一个人可以坐飞机飞到一个遥远的地方，而是像一个个分子传递振动的能量和信息26¡几何最早的有记录的开端可以追溯到古埃及（参看古埃及数学），古印度（参看古印度数学  几何学¡），和古巴比伦（参看古巴比伦数学），其年代大约始于公元前3000年。

早期的几何学是关于长度，角度，面积和体积的经验原理，被用于满足在测绘，建筑，天文，和各种工艺制作中的实际需要在它们中间，有令人惊讶的复杂的原理，以至于现代的数学家很难不用微积分来推导它们例如，埃及和巴比伦人都在毕达哥拉斯之前1500年就知道了毕达哥拉斯定理（勾股定理）；埃及人有方形棱锥的锥台（截头金字塔形）的体积的正确公式；而巴比伦有一个三角函数表，无疑也就包含勾股关系27古巴比伦几何学¡在底格里斯河幼发拉底河流域的古巴比伦28古埃及几何学与时间观古埃及人为什么几何学成就较为突出，与他们经常做的两件事有关： 1、每年的雨季，尼罗河水泛滥，淹没了两岸的耕地雨季过后河水退去，留下肥沃的土地，古埃及就开始耕种为了恢复各人田产的界线，就需要重新丈量，这就使得古埃及人的几何学逐渐发达起来此外，还有些数字反映了古埃及人民在数学和天文方面取得的杰出成绩比如，古埃及人已懂得用水面定位的方法（即先灌水，利用水平面平整地基），获得精确的地平面；古埃及人选定一颗（或几颗）恒星，借助简单器械仔细观测，记录恒星在地平线上的出没位置，然后平分从观察点到恒星出没点形成的角就测出了子午线29古埃及文明直接影响了古希腊¡古巴比伦、古埃及的文明在地中海的欧洲古代继承地最直接的要算古希腊，不仅是宗教和神话，最实用的有天文和几何学，我无法用直接的证据证明古印度和中国古代也受到这一文明的影响，但在漫长的时空中，文化传递也是有可能的。

¡人类的古代文化中，水的意义和作用是明确的，共同的¡对水的控制和农业的需要进一步促进了天文历法的科学性，也对人类建立复杂的时间概念起到巨大的作用对时间的计量是数学计算的起点，比起所谓的私有制的文明起点，我们更愿意信奉为天文为神圣的文化起源否则绝对不会引发人类整体的努力和持续的关注，更不是一两代智者能实现的文化¡所以比起私有，人类集体的寻求神的保佑和对自然力量的把握对数学与几何的发展影响更加深远尤其是天文对数学抽象的要求302.5  古希腊文明¡亚历山大前期出现了希腊数学的黄金时期，代表人物是名垂千古的三大几何学家：欧几里得(Euclid)、阿基米德(Archimedes)及阿波洛尼乌斯(Appollonius)¡欧几里得总结古典希腊数学，用公理方法整理几何学，写成13卷《几何原本》(Elements)这部划时代历史巨著的意义在于它树立了用公理法建立起演绎数学体系的最早典范¡阿基米德是古代最伟大的数学家、力学家和机械师他将实验的经验研究方法和几何学的演绎推理方法有机地结合起来，使力学科学化，既有定性分析，又有定量计算阿基米德在纯数学领域涉及的范围也很广，其中一项重大贡献是建立多种平面图形面积和旋转体体积的精密求积法，蕴含着微积分的思想。

31¡这时期出色的数学家有海伦(Heron)、托勒密(Plolemy)、丢番图(Diophantus)和帕波斯(Pappus)丢番图的代数学在希腊数学中独树一帜；帕波斯的工作是前期学者研究成果的总结和补充之后，希腊数学处于停滞状态¡　　公元415年，女数学家，新柏拉图学派的领袖希帕提娅(Hypatia)遭到基督徒的野蛮杀害她的死标志着希腊文明的衰弱322.7  自然的重光¡近现代科学的探索虽然是从中世纪神学院开始，但文艺复兴的意识已经开启了对自然的探究，从上古人类探索自然理性分析而发出的光芒引导，人类进入古代文明，成吉思汗的马队带去的震撼，中世纪的神对瘟疫的无赖，郑和七下西洋的威名，使自然科学发展有了西方土壤我们不知现代科技的文明是怎样从中世纪混沌中积聚了飞跃的能力，不用怀疑，必定是分形科学可以解释的现象，因为文艺复兴潮水在地中海流淌332.8   经典时代¡从文艺复兴到西方建立经典的数学物理及化学体系，前后约500年的时间，这一时期几何学数学在古希腊文明的基础上，开始全新的成长，但是直到今天，他们也不愿承认中国对他们的影响，我想欧洲翻译中国的数学的历史最有名的就是十二音律制¡为什么欧洲后来的时间也是12小时表，这与中国的十二制时空观有关，在世界上以十二制天干为时，历史悠久，不仅年，就是一天也是12个时辰。

34¡中国古代不仅有许多物理实验，也有许多化学实验，中国古代的五行-金木水火土相生相克论，就是典型的物理和化学反应的概括，其中有深刻的化学原理和物理规律，但中国中国的这些研究在清朝之后未能从定性的阶段发展到定量的阶段，也就不能称其为现代科学352.9   现代科学¡现代科学可以概括为以原子物理量子力学支持的包括硅半导体集成电路为技术基础的计数机产业，以计数机产业为基础的现代管理和制造控制，以原子物理核物理量子力学为基础的新能源工业，包括纳米技术，激光技术，超导技术，精细化学技术，材料结构技术（包括催化剂，类多碳分子）¡后现代科技，基本概括以分形几何学和磊嵌分形代数为发端，更加深刻揭示量子力学本质，对基本粒子结构特征、宇宙结构的分形形式更加深入的理解，对人类思维及生物思维模拟，实现计数机准思维形式¡后现代科技的成功标识是能源的控制、思维的控制36õ3.主要人物¡3.1  数学人物¡3.2  分形几何相关人物¡3.3  名人¡3.4  学术¡3.5   几何学的历史阶段¡3.6   分形几何学的应用¡3.7   分形几何学的趣味资料¡3.8   展望¡3.9   分形几何图列37人物¡一、数学一、数学¡　　按照传统的定义，数学是指研究数量关系和空间结构的一门学科。

¡　　数学大体包括代数、几何、分析学、函数论、方程、概率、数论、数理逻辑、图论、组合论等几大类¡二、中国著名数学家二、中国著名数学家¡中国古典著名数学家中国古典著名数学家¡　　（公元前至今）¡　　（按出生年份排序）¡　　刘徽（生于公元250年左右）、祖冲之（ 公元429年生）、祖暅（祖冲之之子）、李冶（卒于公元784年）、张丘建（北魏人）、秦九韶（1208年生）、郭守敬（1231年生)、朱世杰（1249年生）、贾宪（北宋人）、杨辉（南宋时期）、赵爽（东汉末至三国时代吴国人）、王恂（1235年生）、徐光启（1562年生）、梅文鼎（1633年生）、薛凤柞、阮元（1764年生）、李善兰（1811年生）、李煌（1877年生）中国近代著名数学家中国近代著名数学家¡　　38¡（1840年——1911年出生）¡　　冯祖荀（1880年生）、姜立夫（1890生）、胡明复（1891年生）、钱宝琮（１８９２年生）、陈建功（１８９３年生）、熊庆来(1893生)、杨武之（１８９６年生）、曾炯（1897年生）、苏步青（1902年生）、江泽涵（1902年生）、曾远荣（1903年生）、高扬芝(1906年生)、赵访熊（１９０８年生）、吴大任（1908年生）、庄圻泰（1909年生）、柯召(1910生)、许宝騄（1910年生）、苏家驹、华罗庚（1910生）、陈省身（1911年生，外籍华裔) 、周炜良 1911 。

¡中国现代著名数学家中国现代著名数学家（1911年——1949年出生）¡卢庆骏（1913年生）、段学复（1914年生）、王湘浩（1915年生）、田方增（1915年生）、徐瑞云（1915生）、林家翘（1916年生）、钟开莱（1917年生）、严志达（1917 年生）、吴文俊（1919生）、冯康（1920年生）、王浩（1921年生）、张鸣镛（1926年生）、谷超豪（1926年生）、陆启铿（1927年生）、龚升（1930年出生）、王元（1930年生）、陈景润（1933年生）、潘承洞（1934年）、项武忠（1935出生）、项武义（项武忠胞弟）、陆家羲（1935年生）、张广厚（1937年生）、杨乐（1939年生）、周伟良、萧荫堂（1943年生）、李安民、侯振挺、王戌堂、伍鸿熙、彭实戈、王菊珍、魏宝社、王见定（1947年生）39¡中国当代著名数学家中国当代著名数学家¡　　（1949年后出生）¡　　丘成桐（外籍华裔）、陶哲轩（外籍华裔）、张伟平、罗懋康、周海中、袁亚湘、陈永川、景乃桓、蔡天新、朱熹平、汤涛、王小云、张旭 40n 三、外国著名数学家三、外国著名数学家¡1、古希腊、古希腊¡　　泰勒斯、毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德、阿普洛尼亚斯、芝诺、托勒密、希帕蒂亚¡2、德国、德国¡高斯、莱布尼茨、希尔伯特、康托尔、克莱因、黎曼、拉特马赫、艾米·诺特、狄利克雷、柯朗、策梅洛¡3、法国、法国¡　　笛卡儿、拉格朗日、拉普拉斯、梅森、费马、柯西、泊松、嘉当、伽罗瓦、傅立叶、玛丽·索菲·热尔曼、格罗森迪克、庞加莱41¡4、美国、美国¡　　阿尔弗斯、约瑟夫·特朗、约翰·纳什、惠特尼、约翰·泰特、诺伯特·维纳、仙农、柯蒂斯·库珀、马丁·加德纳¡5、英国、英国¡　　牛顿、泰勒、麦克劳林、罗素、安德鲁·怀尔斯、埃斯特曼、哈代、利尔特伍德¡6、瑞士、瑞士¡　　欧拉、尼古拉·伯努利、丹尼尔·伯努利、雅各布·伯努利、约翰·伯努利¡7、匈牙利、匈牙利¡　　费耶、爱尔特希、冯·诺依曼¡8、挪威、挪威¡　　阿贝尔42¡9、澳大利亚、澳大利亚¡　陶哲轩、派斯¡10、苏联、苏联¡　　庞特里亚金、鲁金、阿诺尔德、什尼列尔曼、布赫夕太勃、巴尔巴恩、柯尔莫洛科夫、闵可夫斯基、佩雷尔曼¡11、意大利、意大利¡　　蕾西、伽利略、斐波那契、塔塔利亚、卡尔达诺、费拉里¡12、印度、印度 13、爱尔兰、爱尔兰¡　　拉马努金      汉密尔顿　　¡14、瑞典、瑞典¡　　米塔·列夫勒、弗列特荷姆、G.克莱姆、伦纳特·卡勒松43分形几何学的主要人物¡数学家柯赫(Koch)¡希尔伯特¡Peano曲线¡Weierstras曲线.¡F.Hausdorff    ¡A.S.Besicovitch.¡Sierpinskin¡Mandelbrot集¡Julia 集¡Cantor集44几何学名言45泰勒斯周期与对称的意义在于不变性的证明46毕达哥拉斯¡几何逻辑关系的确定性，空间序47欧几里得48混沌的因子效应¡美国麻省理工学院发布的混沌理论之父爱德华·洛伦茨的照片49¡二进制分形周易思想¡十进制数学计算¡十二进制计时¡天干地支甲子纪年¡六十分秒制¡360°计圆周¡欧氏几何¡罗氏几何--罗巴切夫斯基几何¡黎曼几何—微分几何—陈氏—丘成桐¡Benoit Mandelbrot（伯氏几何）著名学术50一元二分法¡一元二分法最典型的是中国古典哲学¡一个注重实际的民族¡不崇拜神却崇拜自己文明史的功绩者的民族¡燧人、伏羲、神农 的客观历史阶段¡伏羲的智慧对自然与人的统一观¡有巢氏、燧人氏、伏羲氏、女娲氏、神农氏、共工氏、祝融氏51伯氏几何Benoit Mandelbrot52年轻时的Benoit Mandelbrot53文明与思想¡古老的东方文明已经到了复兴的黎明；¡分形几何粒子结构理论的阳光闪现在东方；¡这是以科学为核心¡以深刻的数学文化为基础¡哲学的东方¡现代科技的东方¡是人类理智发展的东方¡是文明的科技力量突破的东方54几何是数学的根本¡分形几何的出现给东方古老的文明一个新的机遇，就像我们在改革开放以后抓住了信息革命的机遇期，分形几何预示着新的数理理论可能出现，这最直观的就是磊嵌代数、迭代逻辑和分形微分几何。

¡磊嵌代数不仅给我们描述一个数理进制的逻辑，还会给这个逻辑新的生命，从中发现空间维度逻辑，¡磊嵌代数可能会给素数理论新的生命55陈省身的观点¡历史上几 何学可分为六个时期：¡1)公理(欧几里德)；¡2)坐标(笛卡尔，费马)；¡3)微积分(牛顿，莱布 尼兹)；¡4)群(克莱因，李)；¡5)流形(黎曼)；¡6)纤维丛(嘉当，惠特尼)¡7)分形几何（曼德布罗特）56道德经¡道可道，非常道名可名，非常名¡无名天地之始有名万物之母¡故常无欲以观其妙常有欲以观其徼¡此两者同出而异名，同谓之玄¡玄之又玄，众妙之门 ¡     老子说 ：事物的规律是可以遵行的，然而并没有一成不变的永恒规律，对事物的分析可以鉴定其特征，然而并没有一成不变的永恒事物不表现形态可以说是天地的开始，形态表现确立可以说是各种物质存在的根源，所以一般要从不表现形态来发现世界事物的奇妙，一般要以形态表现来发现世界事物的特征，因此这两种情况实际是同一个存在本源不同的表征，同称这两种为玄（关键），从一种表现到另一表现，这是事物联系的巧妙之处所要经历通道57应用范例¡英国海岸线的问题¡别洛乌索夫反应¡洛伦兹天气蝴蝶效应¡电化学沉积扩散限制凝聚”（Diffusion-Limited Aggregation，简称DLA）模型¡耦合无限螺旋分形粒子结构¡分形结构的天线¡宇宙结构分析¡甲子图58趣味资料¡Fractals- Hunting the Hidden Dimension¡BBC-神秘的混沌理论¡Dimensions 6：分形¡维度数学漫步8分形二¡[Dimensions][07]纤维丛(上)¡[维度-数学漫步]纤维丛(续)¡以上为网上视频资料¡如果愿意我可以拷贝给你59可能事件¡物理学的一场革命¡数学几何学的一次飞跃¡计数机化数字化实现人类思维¡哲学与整个知识体系的重建¡思维的分形结构模型开发60一种境界¡可以数字化处理一切信息，不再需要人的干预¡可以自我学习和自我修复的思维机器计数机¡可以在特定的时间类实现星际航行；61甲子图¡天干地支纪年¡二维分形正交循环次序62¡孔雀的羽毛63¡碳分形树64谢尔宾斯基/门格尔海绵65千手观音66《性命圭旨》中的“化身五五图”67太极双鱼图68罗马花椰菜cauliflower69海螺的螺旋分形70海螺的星点就像素数分布71文竹的分形72起伏的山峦73纷繁的星空74气管分形75手部血管分布767778798081828384布达拉宫中藏族壁画中云的形状85日本传统绘画中对海浪的描述86海浪87Sierpinski三角形 88羊齿叶89洛伦兹跌宕混沌吸引子90DLA团聚-分形生长模型91sierpinski3维图形 92分形 螺旋¡从环转变为分形螺旋环（右侧为二阶螺旋分形）93。