误差、不确定度及其相关数学知识.ppt

误差及不确定度其相关数学知识误差及不确定度其相关数学知识误差的定义及其表示：误差的定义及其表示：误差 绝对误差相对误差粗大误差系统误差随机误差表示形式性质特点引用误差绝对误差（Absolute Error） 绝对误差 被测量的真值，常用约定真值代替 测得值特点：1) 绝对误差是一个具有确定的大小、符号及单位的量2) 给出了被测量的量纲，其单位与测得值相同 L＝L－L0绝对误差测得值真值＝－修正值(Correction) :为了消除固定的系统误差用代数法而加到测量结果上的值 修正值真值测得值－特点：1) 与误差大小近似相等，但符号相反2) 修正值本身还有误差故修正后只能得到较测得值更为准确的结果 误差－定义 被测量的真值，常用约定真值代替，也可以近似用测量值 L 来代替 L0相对误差 特点：1） 相对误差有大小和符号2） 无量纲，一般用百分数来表示绝对误差相对误差（Relative Error）：                   绝对误差与被测量真值之比 绝对误差和相对误差的比较用一个测长仪测量0.01m长的工件，其绝对误差Δ= 0.0006mm,但用来测量1m长的工件, 其绝对误差为Δ= 0.0105mm。

前者的相对误差为 后者的相对误差为用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、不同物理量等的准确度 定义 该标称范围（或量程）上限 引用误差 仪器某刻度点的示值误差或量程内的最大绝对误差 引用误差是一种简化实用的仪器仪表示值的相对误差，而且该相对误差是引用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的，故该误差又称为引用相对误差、满度误差 引用误差（Fiducial Error of a Measuring Instrument）         我国电工仪表、压力表的准确度等级（Accuracy Class）就是按照引用误差进行分级的如本例中电压表为2.5级，即是其引用误差为2.5%. 误差的来源：误差的来源：主要来源 测量装置误差 测量环境误差 测量方法误差 测量人员误差 标准器件误差仪器误差附件误差误差的分类：误差的分类：系统误差（Systematic Error） 在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差 定义特征 在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。

按特点与性质分：系统误差、随机误差、粗大误差随机误差（Random Error） 测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值之差又称为偶然误差 定义特征 在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差 产生原因实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动等 　 随机误差的大小、方向均随机不定，不可预见，不可修正 　 虽然一次测量的随机误差没有规律，不可预定，也不能用实验的方法加以消除但是，经过大量的重复测量可以发现，它是遵循某种统计规律的因此，可以用概率统计的方法处理含有随机误差的数据，对随机误差的总体大小及分布做出估计，并采取适当措施减小随机误差对测量结果的影响随机误差的性质粗大误差（Gross  Error） 指明显超出统计规律预期值的误差又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差 定义产生原因某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致§ 测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等）§ 测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）。

　 由于该误差很大，明显歪曲了测量结果故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除随机误差：随机误差： 随机随机( (偶然偶然) )误差来自于误差来自于不可知的原因不可知的原因，误差的出现，误差的出现完全随机完全随机，难以估计每个因素对测量结果的影响，难以估计每个因素对测量结果的影响 遵循一定的遵循一定的统计规律统计规律，可以用，可以用数理统计方法数理统计方法来处理来处理测量结果测量结果 对随机误差所作的概率统计处理，是在完全对随机误差所作的概率统计处理，是在完全排除了排除了系统误差系统误差系统误差系统误差的前提的前提下进行的下进行的随机变量：随机变量： 如果某一量（如测量结果）在一定的条件下，取某一值或者在某一定的范围内取值是一个随机事件随机事件，这样的量叫随机变量随机变量的特点：它以一定的概率，在一定的区间上取值或者取某一固定的值概率：表征随机事件发生可能性的大小的量，是事件本身所固有的不随人的主观意愿而改变的一种属性概率分布函数：随机变量X的分布函数 F(x)=P{X<=x} (-∝

其定义如下：X为离散型随机变量：X为连续型随机变量： 方差和标准偏差 方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度 设随机变量X的数学期望为E(X)，则X的方差定义为：D(X)= E(X－E(X))2 标准偏差定义为：正态分布的概率密度函数和统计特性随机误差的概率密度函数为：测量数据X的概率密度函数为：随机误差的数学期望和方差为：同样测量数据的数学期望E(X)＝ ，方差D(X)＝ 随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同，只是横坐标相差差相同，只是横坐标相差随机误差具有：随机误差具有：①①对称性对称性 ② ② 单峰性单峰性 ③ ③ 有界性有界性 ④ ④抵偿性抵偿性 标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离散程度的特征数标准偏差越小，则曲线形状越尖锐，说明数据越集中；标准偏差越大，则曲线形状越平坦，说明数据越分散 求被测量的数字特征，理论上需无穷多次测量，但在实际测量中只能进行有限次测量，怎么办？有限次测量的数学期望的估计值有限次测量的数学期望的估计值——算术平均值算术平均值算术平均值的标准偏差算术平均值的标准偏差算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小 倍。

原因是随机误差的抵偿性 有限次测量数据的标准偏差的估计值算术平均值算术平均值：残差：残差：实验标准偏差实验标准偏差（（标准偏差的估计值），贝塞尔公式：标准偏差的估计值），贝塞尔公式：算术平均值标准偏差的估计值算术平均值标准偏差的估计值 ：：置信概率与置信区间： 置信区间 内包含真值的概率称为置信概率 置信限： k——置信系数（或置信因子） 置信概率是图中置信概率是图中阴影部分面积阴影部分面积置信因子置信因子置信因子置信因子k k置信概率置信概率置信概率置信概率PcPc1 10.6830.6832 20.9550.9553 30.9970.997标准差期望值 均值 某次测得值 奇异值  非正态分布非正态分布ΦpΦp( (x x) )0 0x x图图2.10 2.10 均匀分布均匀分布a ab b其特点是在误差范围内，其特点是在误差范围内，误差误差出现的概率各处相同出现的概率各处相同如仪器中的度盘仪器中的度盘回差回差所导致所导致的误差；数的误差；数字仪器中的字仪器中的量化误差量化误差（在（在±±1 1单位以内不能分辨的单位以内不能分辨的误差）；数误差）；数据计算中的据计算中的舍入误差舍入误差（舍（舍掉的或进位的低位数字的掉的或进位的低位数字的概率是相同概率是相同的）等，均为均匀分布误的）等，均为均匀分布误差。

差x x+ +e e0 0-e-eΦpΦp( (x x) )图图2.12 2.12 反反正正弦弦分分布布反正弦反正弦均匀均匀三角三角2~32~3正态正态包含因子包含因子k k分布分布p p( (x x) )0 0x x图图2.11 2.11 三角分布三角分布-e-ee e不等精度测量：不等精度测量： 在实际测量过程中，由于客观条件的限制，测量条件是变动的，得到了不等精度测量 对于精密科学实验而言，为了得到极其准确的测量结果，需要在不同的实验室，用不同的测量方法和测量仪器，由不同的人进行测量如果这些测量结果是相互一致的那么测量结果就是真正可以信赖的这是人为地改变测量条件而进行的不等精度测量 对于某一个未知量，历史上或近年来有许多人进行精心研究和精密测量，得到了不同的测量结果我们就需要将这些测量结果进行分析研究和综合，以便得到一个最为满意的准确的测量结果这也是不等精度测量 （一）权的概念（一）权的概念 在等精度测量中，各个测量值认为同样可靠，并取所有测得值的算术平均值作为最后的测量结果在不等精度测量中，各个测量结果的可靠程度不一样，因而不能简单地取各测量结果地算术平均值作为最后的测量结果，应让可靠程度大的测量结果在最后测量结果中占有的比重大些，可靠程度小的占比重小些。

各测量结果的可靠程度可用一数值来表示，这数值即称为该测量结果的“权”，记为 ，可以理解为当它与另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予信赖程度 （二）权的确定方法（二）权的确定方法 测量结果的权说明了测量的可靠程度，因此可根据这一原则来确定权的大小 最简单的方法可按测量的次数来确定权，即测量条件和测量者水平皆相同，则重复测量次数愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由测量的次数来确定权的大小，即 系统误差：系统误差：系统误差的特征： 在同一条件下，在同一条件下，多次测量同一量值时，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号误差的绝对值和符号保持不变，或者在条保持不变，或者在条件改变时，误差按一件改变时，误差按一定的规律变化定的规律变化 多次测量求平均不多次测量求平均不能能减少系差减少系差系统误差的削弱或消除方法 （1）从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差① 要从测量原理和测量方法尽力做到正确、严格② 测量仪器定期检定和校准，正确使用仪器③ 注意周围环境对测量的影响，特别是温度对电子测量的影响较大④  尽量减少或消除测量人员主观原因造成的系统误差。

应提高测量人员业务技术水平和工作责任心，改进设备2）用修正方法减少系统误差修正值＝－误差=－（测量值－真值） 实际值＝测量值＋修正值（（3 3）采用一些专门的测量方法）采用一些专门的测量方法① 替代法② 交换法 ③ 对称测量法 ④ 减小周期性系统误差的半周期法 粗大误差：粗大误差：大误差出现的概率很小，列出可疑数据，分析是否是粗大误差，若是，则应将对应的测量值剔除1. 粗大误差产生原因以及防止与消除的方法 粗大误差的产生原因 ① 测量人员的主观原因：操作失误或错误记录；② 客观外界条件的原因：测量条件意外改变、受较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等防止和消除粗大误差的方法重要的是采取各种措施，防止产生粗大误差粗大误差的判别准则统计学的方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应统计学的方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除并予以剔除莱特检验法莱特检验法 格拉布斯检验法格拉布斯检验法 式中，式中，G G值按重复测量次数值按重复测量次数n n及置信概率及置信概率PcPc确定确定 测量不确定度：测量不确定度：测量不确定度：指测量结果变化的不肯定，即测量结指测量结果变化的不肯定，即测量结果含有的一个参数，表征被测量值的分散性。

果含有的一个参数，表征被测量值的分散性测量结果＝被测量的估计值＋不确定度测量结果＝被测量的估计值＋不确定度完整的测量结果有两个基本量：完整的测量结果有两个基本量：完整的测量结果有两个基本量：完整的测量结果有两个基本量：Ø被测量被测量被测量被测量Y Y的最佳估计量的最佳估计量的最佳估计量的最佳估计量y y, , 多用测量数据的算术平均值；多用测量数据的算术平均值；多用测量数据的算术平均值；多用测量数据的算术平均值；Ø描述测量结果分散性的量，即测量不确定度描述测量结果分散性的量，即测量不确定度描述测量结果分散性的量，即测量不确定度描述测量结果分散性的量，即测量不确定度 不确定度是定量说明测量结果质量的参数，本身没不确定度是定量说明测量结果质量的参数，本身没不确定度是定量说明测量结果质量的参数，本身没不确定度是定量说明测量结果质量的参数，本身没有正负号，但用有正负号，但用有正负号，但用有正负号，但用y y± ±U U的形式表示测量结果时，的形式表示测量结果时，的形式表示测量结果时，的形式表示测量结果时，± ±U U代表被代表被代表被代表被测量值的可能分散区间测量值的可能分散区间。

测量值的可能分散区间测量值的可能分散区间不确定度的相关概念：标准不确定度：用标准差表示的测量结果的不确定度合成标准不确定度：在一个测量模型中各输入量的不确定度获得的输出量的标准 测量不确定度相对标准不确定度：标准不确定度除以测得值的绝对值扩展不确定度：合成标准不确定度与一个大于1的数字因子的乘积包含区间：基于可获信息确定的包含被测量一组值的区间，被测量值以一定的概率 落在该区间内包含概率：在规定的包含区间内包含被测量一组值的概率包含因子：为获得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘大于1的数 (k)不确定度表达的注意事项：不确定度表达的注意事项：2）） 有效数字一般不超过两位；有效数字一般不超过两位；1）） 不确定度数值与被测量估计值末位对齐，单位相同；不确定度数值与被测量估计值末位对齐，单位相同；3）） “三分之一准则三分之一准则”修约修约 (根据微小误差取舍原则根据微小误差取舍原则)先令测量估计值最末位的一个单位作为测量不确定度的先令测量估计值最末位的一个单位作为测量不确定度的先令测量估计值最末位的一个单位作为测量不确定度的先令测量估计值最末位的一个单位作为测量不确定度的基本单位，再将不确定度取至基本单位的整数位，其余基本单位，再将不确定度取至基本单位的整数位，其余基本单位，再将不确定度取至基本单位的整数位，其余基本单位，再将不确定度取至基本单位的整数位，其余位数若小于基本单位的位数若小于基本单位的位数若小于基本单位的位数若小于基本单位的1/31/3则舍去，若大于或等于基本则舍去，若大于或等于基本则舍去，若大于或等于基本则舍去，若大于或等于基本单位的单位的单位的单位的1/31/3，舍去后将最末整数位加，舍去后将最末整数位加，舍去后将最末整数位加，舍去后将最末整数位加1 1。

被测量估计值为被测量估计值为被测量估计值为被测量估计值为20.0005mm, 20.0005mm, 若扩展不确定度若扩展不确定度若扩展不确定度若扩展不确定度U=0.00124mmU=0.00124mm，修，修，修，修约为约为约为约为0.0013; 0.0013; 若扩展不确定度若扩展不确定度若扩展不确定度若扩展不确定度U=0.00123mmU=0.00123mm，修约为，修约为，修约为，修约为0.0012. 0.0012. 联系：联系：• 测量结果的精度评定参数；测量结果的精度评定参数；• 所有的不确定度分量都用标准差表征，由所有的不确定度分量都用标准差表征，由 随机误差或系统误差引起；随机误差或系统误差引起；• 误差是不确定度的基础误差是不确定度的基础区别：区别：• 误差以真值或约定真值为中心，误差以真值或约定真值为中心， 不确定度以被测量的估计值为中心；不确定度以被测量的估计值为中心；• 误差一般难以定值，不确定度可以定量评定；误差一般难以定值，不确定度可以定量评定；• 误差有三类，界限模糊，难以严格区分；误差有三类，界限模糊，难以严格区分； 测量不确定度分两类，界限分明，分析方法简单。

测量不确定度分两类，界限分明，分析方法简单误差与不确定度的区别：误差与不确定度的区别：两类标准不确定度的评定：两类标准不确定度的评定：A类评定：类评定：通过对一系列观测数据的统计分析来评定通过对一系列观测数据的统计分析来评定即对某被测量值进行等精度的独立的多次重复测量，即对某被测量值进行等精度的独立的多次重复测量，即对某被测量值进行等精度的独立的多次重复测量，即对某被测量值进行等精度的独立的多次重复测量，得出一系列测得值得出一系列测得值得出一系列测得值得出一系列测得值x xi i ，通常以测量列的算术平均值，通常以测量列的算术平均值，通常以测量列的算术平均值，通常以测量列的算术平均值 作为被测量值的估计值，以作为被测量值的估计值，以作为被测量值的估计值，以作为被测量值的估计值，以 的标准差的标准差的标准差的标准差 作为测量作为测量作为测量作为测量结果的结果的结果的结果的A A类标准不确定度，即类标准不确定度，即类标准不确定度，即类标准不确定度，即 。

B类评定：类评定：用非统计分析的方法，基于经验或其他信用非统计分析的方法，基于经验或其他信息所认定的概率分布来评定息所认定的概率分布来评定区间半宽度区间半宽度a a的确定：的确定：n 以前的测量数据、经验和资料；以前的测量数据、经验和资料；n 有关仪器和装置的一般知识、制造说明书和检定有关仪器和装置的一般知识、制造说明书和检定证书或其他报告所提供的数据；证书或其他报告所提供的数据；n 由手册提供的参考数据等由手册提供的参考数据等K K值的确定值的确定：： 正态分布：正态分布： 非正态分布：测量不确定度的合成：直接测量： 1.测量值重复性引起的不确定度2.标准源的准确度引起的不确定度3.读数分辨率引起的不确定度间接测量： 若：若： ，则由，则由xi引起的被测量引起的被测量y的的标准不确定度分量为标准不确定度分量为而测量结果而测量结果y的合成标准不确定度的合成标准不确定度uc可用下式表征：可用下式表征：其中，其中，ρij为任意两个直接测量值为任意两个直接测量值xi，，xj不确定度的相不确定度的相关系数。

关系数导数的概念其它形式:即常数和基本初等函数的导数公式 设函数 与 在点 处均可导，则它们的和、差、积、商（当分母不为零时）在点 处也可导，且有以下法则 函数的和、差、积、商的求导法则设,求解或或复合函数的求导法则 解 可看作是由 复合而成的，因此设 ，求 ．微分定义微分定义微分基本公式微分基本公式微分的四则运算法则微分的四则运算法则误差估计误差估计例1：设测得的圆钢截面的直径 D = 60.03mm , 测量D的绝对误差限 ，利用公式计算圆钢的截面积时，试估计面积的误差解：设测量 D时产生的误差为 D，则面积A 的间接测量误差为：偏导数偏导数解解全微分全微分解解误差估计误差估计从而从而g的相对误差约为的相对误差约为。