《新编高等数学》教学课件01函数.pptx

第1章函 数CONTENTS函数及其性质1.1初等函数1.2应用示例1.3数学实验1.417世纪，伽利略（GGalileo，意大利，15641642年）在两门新科学一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系.1673年前后，笛卡尔（Descartes，法国，15961650年）在他的解析几何中，已经注意到一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼茨建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的.最早提出函数（function）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨.最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂.后来，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标.1718年，莱布尼茨的学生约翰贝努利（Bernoulli Johann，瑞士，16671748年）在莱布尼茨函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量.”意思是凡变量x和常量构成的式子都叫作x的函数，他强调函数要用公式来表示.函数发展简史阅读与欣赏1755年，欧拉（LEuler，瑞士，17071783年）把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数.”并给出了沿用至今的函数符号.1821年，柯西（Cauchy，法国，17891857年）给出了类似现在中学课本中函数的定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫作函数.”在柯西的定义中，首次出现了自变量一词.1822年傅立叶（Fourier，法国，17681830年）发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次.函数发展简史阅读与欣赏1837年狄利克雷（Dirichlet，德国，18051859年）认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数的概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫作x的函数.”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受.至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义.等到康托尔（Cantor，德国，18451918年）创立的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中课本里用的了.中文数学书中使用的“函数”一词是转译词，是我国清代数学家李善兰在翻译代数学（1895年）一书时，把“function”译成“函数”的.中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思.李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数.”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量.这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫作x的函数.”所以，“函数”是指公式里含有变量的意思.函数发展简史阅读与欣赏1.1 函数及其性质定义1.1 设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的非空数集.若对于每个，变量 y 按照一定法则 f 总有确定的数值与它对应，则称 y 是 x 的函数，记为其中x称为自变量，y称为因变量，数集 D 称为这个函数的定义域.对于每个 ，按照对应法则f，总有确定的值y与之对应，这个值称为函数在点x处的函数值，记为 .因变量与自变量的这种依赖关系通常称为函数关系.1.1.1 函数的概念1.1.1 函数的概念1.1.1 函数的概念1.1.1 函数的概念图 1-11.1.1 函数的概念1.1.1 函数的概念将自变量的值与对应的函数值列成表格的方法列表法010203在坐标系中用图像来表示函数关系的方法图像法将自变量和因变量之间的关系用数学表达式（又称为解析表达式）来表示的方法公式法（解析法）1.1.1 函数的概念图 1-21.1.1 函数的概念图 1-31.1.2 反函数1.1.2 反函数1.1.2 反函数1.1.2 反函数1.1.2 反函数01020403如果存在正数M，使对任意的xI，恒有lf(x)lM,则称函数y=f(x)在区间I上有界,否则称f(x)在区间I上无界有界性如果存在不为零的正实数T,使得对于任意的xI，x+TI，都有f(x+T)=f(x),则称函数y=f(x)为周期函数,T是y=f(x)的一个周期.通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期周期性若对任意的x1,x2I,当x1x2时,恒有f（x1）f（x2）,则称函数y=f（x）在区间I上单调增加（或单调减少）.区间I称为单调增区间（或单调减区间）;单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数;单调增区间和单调减区间统称为单调区间单调性设函数f(x)的定义区间I关于原点对称,若对任意的xI,都有f(-x)=f(x),则称函数f(x)是区间I上的偶函数;若对任意的xI,都有f(-x)=f(x),则称函数f(x)是区间I上的奇函数;若函数既不是奇函数也不是偶函数,则称为非奇非偶函数奇偶性文字添加1.1.3 函数的性质1.2 初等函数1.2.1 基本初等函数1.2.1 基本初等函数图 1-11图 1-12视频示例幂函数（3）指数函数.y=ax（a0,且a1,a为常数）,该函数的定义域为（-,+）,值域为（0,+）.当a1时,函数单调增加;当0a0,且a1,a为常数）,该函数的定义域为（0,+）,值域为（-,+）,当a1时,函数单调增加;当0a0，g（）=0；（2）对任意0，2，f（）g（）=0；（3）f（/2）=g（0），g（/2）=f（0）.则必存在一点00，2，使f（0）=g（0）=0.1.3.3 模型建立（1）求证：因为f（）0，g（）=0，所以f（/2）=g（0）=0，g（/2）=f（0）0.令h（）=f（）-g（），则在0，/2上连续且h（）=f（）-g（）0，h（/2）=f（/2）-g（/2）0.由连续函数中值定理可知，必存在一点0（00(4+2*(5-1)/22按Enter键，得到如下计算结果：ans=3操作实例11.4.2 实验过程3.绘制函数图像1）相关命令在MATLAB中绘制二维曲线函数图形的命令，最基本的是plot和fplot，其命令说明如下表所示.命令说明plot（x,y）绘制函数y=f（x）的图像fplot（fun,a,b）在区间a,b上绘制函数fun（函数表达式）的图像1.4.2 实验过程注意2）操作实例操作实例2图 1-26在同一个坐标系下画出两条曲线y=sin(x+1)和y=cosx+1在区间0，2上的图像.1.4.2 实验过程解法1运行MATLAB，在命令行窗口中输入：fplot（sin（x+1）,（cos（x）+1）,0,2*pi）%同一坐标系下，在0,2上绘制曲线y=sin（x+1）和y=cosx+1的图形按Enter键，弹出如图1-26所示的图像窗口.解法2在命令行窗口中输入：x=0:0.01:2*pi;%在x轴的区间0,2上每隔0.01间隔取x点 plot（x,sin（x+1）,g,x,（cos（x）+1）,b）%用绿色绘制y=sin（x+1）图形，用蓝色绘制y=cosx+1图形（默认颜色为红色和蓝色）按Enter键后，弹出如图1-27所示的图像窗口.1.4.2 实验过程从图1-26和图1-27我们可以看出，图像上并没有显示出图例，我们既可以在弹出的图像窗口中通过相应菜单进行设置，也可以通过legend命令实现.在命令行窗口中继续输入：legend（y=sin（x+1）,y=cos（x）+1）按Enter键，则可发现图像窗口中增加了相应的图例，如图1-28所示.图 1-27图 1-281.4.2 实验过程操作实例3将屏幕窗口分成4个，用subplot(m，n，k)命令画4个子图，分别如下：y=5x43x2+2x7，x5,5.y=|x24x+2|，x1,5.y=ln（1+1+x2），x3,3.y=x2e2x，x3,3.解：运行MATLAB，在命令行窗口中输入：按Enter键，弹出如图1-29所示的窗口.图 1-291.4.2 实验过程感谢您的观看教育说课商务总结。