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数字信号处理复习要点数字信号处理主要包括如下几个部分1、 离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析2、 离散傅立叶变换、快速傅立叶变换3、 数字滤波器的设计一、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析1、离散时间信号：1）离散时间信号时间是离散变量的信号，即独立变量时间被量化了信号的幅值可以是连续数值，也可以是离散数值2） 数字信号时间和幅值都离散化的信号本课程主要讲解的实际上是离散时间信号的处理）3） 离散时间信号可用序列来描述4） 序列的卷积和（线性卷积）5）几种常用序列a)单位抽样序列（也称单位冲激序列）,b)单位阶跃序列,c)矩形序列，d)实指数序列,6） 序列的周期性所有存在一个最小的正整数,满足：,则称序列是周期序列，周期为注意：按此定义，模拟信号是周期信号，采用后的离散信号未必是周期的)7）时域抽样定理：一个限带模拟信号，若其频谱的最高频率为，对它进行等间隔抽样而得，抽样周期为T，或抽样频率为；只有在抽样频率时，才可由准确恢复2、离散时间信号的频域表示（信号的傅立叶变换），3、序列的Z变换1） Z变换与傅立叶变换的关系，2） Z变换的收敛域收敛区域要依据序列的性质而定。

同时，也只有Z变换的收敛区域确定之后，才能由Z变换唯一地确定序列一般来来说，序列的Z变换的收敛域在Z平面上的一环状区域：3）有限长序列：，右序列： ，|Z|>Rx-左序列：，（|z|0时：0≤|Z|< Rx+；N2≤0时： 0<|Z|< Rx+）双边序列：，常用序列的Z变换： 逆变换x，C：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线1） 留数定理：2） 留数辅助定理：3） 利用部分分式展开：，然后利用定义域及常用序列的Z变换求解4、离散时间系统： 系统函数：，冲激响应：5、 线性系统：满足叠加原理的系统6、 移不变系统：若，则7、 线性移不变系统可由冲激响应来描述（系统的输出相应是输入与单位冲激响应的线性卷积），，8、 系统的频率特性可由其零点及极点确定 （式中，zk是极点，zi是零点；在极点处，序列x(n)的Z变换是不收敛的，因此收敛区域内不应包括极点9、 稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若，则线性移不变系统是稳定系统的充要条件：或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位园 |z|=110、 因果系统：时刻的输出只由时刻之前的输入决定线性移不变系统是因果系统的充要条件：或：其系统函数H(z)的收敛域在某园外部：即：|z|>Rx11、 稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。

线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：，或：H(z)的极点在单位园内H(z)的收敛域满足：12、 差分方程线性移不变系统可用线性常系数差分方程表示（差分方程的初始条件应满足松弛条件）13、 差分方程的解法1）直接法：递推法 2）经典法 3）由Z变换求解 二、 离散傅立叶变换、快速傅立叶变换1、周期序列的离散傅立叶级数（DFS）其中：= 2、有限长序列的离散傅立叶变换(DFT)，0≤≤ ，0≤n≤应当注意，虽然和都是长度为得有限长序列，但他们分别是由周期序列和截取其主周期得到的，本质上是做DFS或IDFS，所以不能忘记它们的隐含周期性尤其是涉及其位移特性时更要注意3、离散傅立叶变换与Z变换的关系 4、频域抽样定理对有限长序列x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔抽样，抽样点数为N，或抽样间隔为，当N≥M时，才可由X(k)不失真恢复内插公式：5、周期卷积、循环卷积周期卷积：循环卷积：6、用周期（周期）卷积计算有限长序列的线性卷积 对周期要求：（N1、N2分别为两个序列的长度）7、基2 FFT算法 1）数据要求： 2）计算效率（乘法运算次数：，加法计算次数：NM ）（复数运算） （DFT运算：乘法运算次数：，加法计算次数：）（复数运算）8、快速卷积（采用FFT计算）9、分辨率三、 数字滤波器的设计（一） FIR滤波器的设计1、特点：可实现严格的线性相位特性、系统是稳定的、因果的、阶数较高2、实现线性相位的条件（1）h(n)为实数（2）h(n)=h(N-1-n)做一般意义下的FIR滤波器，N是偶数，不适合做高通滤波器或 h(n)=-h(N-1-n) 对称中心：(N-1)/2适于做希尔伯特变换器，微分器和正交网络。

3、主要设计方法1）窗函数法2）频率抽样设计频率抽样内插公式设计特点：频率特性可直接控制若滤波器是窄带的，则能够简化系统若无过渡带样本，则起伏较大改进办法是增加过渡带样本，采用过渡带的自由变量法，通常使用优化方法求解可得到较好的起伏特性，但是会导致过渡带宽度加大，改进办法是增加抽样点数抽样点的获得采取两种办法：I型抽样及II型抽样若要满足线性相位特性，则相位要满足一定要求二） IIR滤波器的设计1、特点• 阶数少、运算次数及存储单元都较少• 适合应用于要求相位特性不严格的场合• 有现成的模拟滤波器可以利用，设计方法比较成熟• 是递归系统，存在稳定性问题2、主要设计方法先设计模拟滤波器，然后转换成数字滤波器设计过程：1） 先设计模拟低通滤波器：butterworth滤波器设计法等，有封闭公式利用2） 将模拟原型滤波器变换成数字滤波器（1） 模拟低通原型先转换成数字低通原型，然后再用变量代换变换成所需的数字滤波器；l 模拟低通原型先转换成数字低通原型：，主要有冲激不变法、阶跃不变法、双线性变换法等l 将数字低通原型滤波器通过变量代换变换成所需的数字滤波器2） 由模拟原型变成所需型式的模拟滤波器，然后再把它转换成数字滤波器；l 将模拟低通原型滤波器通过变量代换变换成所需的模拟滤波器。

l 模拟滤波器转换成数字数字滤波器：，主要有冲激不变法、阶跃不变法、双线性变换法等（3） 由模拟原型直接转换成所需的数字滤波器 直接建立变换公式：，3、模拟数字转换法（1）冲激不变法单阶极点情况 ，，（2）阶跃不变法冲激不变法和阶跃不变法的特点：• 有混叠失真• 只适于限带滤波器• 不适合高通或带阻数字滤波器的设计（3）双线性变换法 常数C的计算：1） 2）C=2/T特点： (i) 稳定性不变 （ii）无混叠（iii）频率非线性变换，会产生畸变，设计时，频率要做预畸变处理4、直接法设计IIR数字滤波器 • z平面的简单零极点法。