正交矩阵.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑正交矩阵 正交矩阵的作用 引言 正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的进展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来议论它的四点作用. 首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义 定义1 n阶实矩阵A，若得志A?A?E，那么称A为正交矩阵. 定义2 n阶实矩阵A，若得志AA??E，那么称A为正交矩阵. 定义3 n阶实矩阵A，若得志A??A?1，那么称A为正交矩阵. 定义4 n阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交 的单位向量，那么称A为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质 设A为正交矩阵，它有如下的主要性质. ∣A∣=±1，A-1存在，并且A-1也为正交矩阵； A′，A*也是正交矩阵； 当∣A∣=1时，A??A*，即aij?Aij； 1 当∣A∣=-1时,A???A*,即aij??Aij. 若B也是正交矩阵，那么AB,A?B,AB?,A?1B,AB?1都为正交 矩阵. 证明 鲜明 A??1 (A?1)???A???(A?1)?1 所以A?1也是正交矩阵. ?1A??A?1，鲜明A?为正交矩阵. A*由 A??1，A??A? A?1当 A?1时，A??A*，即aij?Aij 当 A??1时，A???A*，即aij??Aij 所以A*为正交矩阵. 由A??A?1 ，B??B?1 可知 (AB)??B?A??B?1A?1?(AB)?1 故AB为正交矩阵.由,推知A?B,AB?,A?1B,AB?1均为正交矩阵. 正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的模为1，且属于不同特征值的特征向量相互正交；假设?是它的特征值，那么也是它的特征值等，这些性质这里就不再证领略. 运用这些性质，我们来议论一下它在以下四方面的一些作用. 2 1?二.正交矩阵的作用 （一）正交矩阵性代数中的作用 在正交矩阵中，有一类初等旋转矩阵，我们也称它为Givens矩阵.这里，我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积，给出化欧氏空间的一组基为标准正交基的另一种方法. 设向量W?(w1,w2,?,wn)? ，令s?wi2?w2， j(j?i)c?wis,d?wjs，那么称n阶矩阵 ?1???????c?d???i行??Tij???? ??d?c???j行??????????1???i列j列为初等旋转矩阵. 初等旋转矩阵Tij，是由向量W的第i,j两个元素定义的，与单位矩阵只在第i,j行和第i,j列相应的四个元素上有区别. 设Tij是由向量W定义的初等旋转矩阵(j?i)，那么有如下的性质： 〈1〉Tij是正交矩阵； 〈2〉设TijW?(u1,u2,?,un)? 那么有 ui?s,uj?0,uk?wk(k?i,j)； 3 〈3〉用Tij左乘任一矩阵A，TijA只变更A的第i行和j行元 素（用Tij右乘任一矩阵A，ATij只变更A的第i列和j列元素）. 证明 〈1〉?c?d?22(wi2?w2j)s2?1，故Tij?Tij?E，Tij是正交矩 阵. 〈2〉由Tij的定义知，用Tij左乘向量W，只变更W的第i,j两个元素，且 ui?cwi?dwj?wi2?swjwiw2js?s s?0 uj??dwi?cwj??s?wiwj所以Tij左乘W，使TijW的第i个分量非负，第j个分量为0，其余分量不变. 〈3〉根据〈2〉及矩阵乘法立刻可以得出此结论. 引理1 任何n阶实非奇异矩阵A?(aij)n?n，可通过左连乘 初等旋转矩阵化为上三角矩阵，且其对角线元素除结果一个外都是正的. 定理1 设P是n阶正交矩阵 ?1?若P?1，那么P可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积， 即P?PP12?Pr； 2若P??1，那么P可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右 乘以矩阵E?n，即P?PP12?PrE?n，其中Pi（i=1,2,…r）是初等旋转矩 4 阵. ?1???1??? ?????1????1???n?n E?n证明 由于P是n阶正交矩阵，根据引理1知存在初等旋转矩阵S1,S2,?Sr使SrSr?1?S2S1P?R这里R是n阶上三角阵，而且R的对角线上的元素除结果一个外都是正的，所以有 ??Sr?R （1） P?S1?S2由P是正交矩阵和（1）式得 P?P?R?Sr?S1S1??Sr?R?E 即 R?R?E （2） ?r11r12??r1n???r??r222n?其设 R=?????????rnn???r11?r12?那么R?R?????r?1nr22?r2n???????rnn??rii>0(i=1,2,…n-1) ?r11r12?r1n?????1r?r??222n??=?1? ?????????????rnn?1?????由上式得 ?0?1?rij???1???1i?j,i?j,i?j?n且i?j?n且i,j?1,2,?,n?1P?1P??1 5 — 5 —。