指数函数与对数函数的交点个数问题2021.docx

指数函数 yax 与对数函数 ylog ax 交点个数问题4论题：指数函数 y数问题．ax (a0且a1) 与对数函数 ylog a x ( a0且a1) 交点个分 a 1及 0 a 1 两种情况进行讨论．（一）：当 a1 时，过原点O(0,0) 作 ya x 的切线 l ，设切点为P(x0, y0 )∵ y ax ln ay∴ klx 0y x x0ax0a x0axln a又∵ kl0 ax0 x0∴ 0 ln ax0∴ x01 log ea从而 klln aa loga e ln aeln a当 kl1 ，即 e ln a1001，亦即 a eee e 时， P 在 yx 上，∴ x0 y0这样就有ax0 x ，∴ log x x0 axx∴ P(x0 , y0 ) 为 ya x 与 ylog ax 的公共点 .当 kl共点.1 ,即 eln a1，亦即 ae e 时， ya 与 yx 相离, ya 与 ylog ax 没有公当 kl1 , 即e ln a1 ， 亦 即 1 ae 时 ， ya x 与 yx 有 两 个 公 共 点eM (x1, y1) , N( x2, y2) ,同理可知M (x1, y1) , N( x2, y2) 均为 yax 与 ylog ax 的公共点 .引理： 当 a1时， ya 与 ylog ax 不可能有不在 yx 上的公共点 .xs证明：用反证法 .假设 yax 与 ylogax 有公共点Q(s,t) , s, t0, s t ,当 s t时, at ①,log a s t ②由②得 a t s ③∵ y a x 单增,又∵ st ∴ a a由此式结合①③可知 t s,s t与 s t矛盾.同理当 t s时亦矛盾 .从而假设不真 .所以, 引理得证 .由上可知： 当1 ae e 时, yax 与 ylog ax有两个公共点 ,当 a e e 时, y当 a e e 时, yax 与 y ax 与 ylog aalog ax 有唯一公共点 , x 没有公共点 .（二）：当 0 a1 时, 作函数f ( x)a x log x ,易知 lim f ( x), limf ( x)x 0不妨设 a emx(m 0) ,就 f ( x)mx 1 ln x,emf ( x)e mx m2 xmx过原点作mxey emxk的切线 ,就切线的斜率eln e m me当 mem2 ,即me时, f( x)0 恒成立.从而f ( x) 单增,∴ f ( x) 有唯一的零点 .当 mem2 ,即me时,不妨设 ye mx 与 ym2 x交于两点 M (x1, y1) , N(x2, y2 ) , ( x1 x2 )就当 x(0, x1 ) 时, f(x)0 , 当 x( x1, x2 ) 时,f ( x) 0 ,当 x (x2 ,) 时,f (x) 0∴ f ( x) 的单增区间为(0, x1) , ( x2 ,) ,单减区间为(x1, x2 )f ( x) 在 xx1 处取得极大值 ,且f ( x1) 0 ,f ( x) 在 xx2 处取得极小值 ,且f (x2 ) 0 ,再由零点存在定理可知 ,f ( x) 有三个零点 ,分别在区间(0, x1 ) , (x1, x2 ), ( x2 ,) 之内.对上述f ( x1 )0及 f (x2 )0 的结论,可证明如下：emx设 y （ me）与 yx 的交点为( x3 , x3 )∵ m e∴ m 1 em 111 ∴ e e e即当 x 1 时， yeemx 的函数值小于 yx 的函数值，数形结合可知 1x3e∵ y emx （ me）与 yx 的交点为( x3 , x3)∴ x3emx3 从而ln x3mx3于为 f( x3 )emx31 ln x m13x3 mx3m1033m2 xf ( x )e mx3m2 x x 3又∵ 31 m2 x2mx3emx3mx3emx33mx2e3mx3(1 mx3 )(13mx2emx3)mx3∵ m 0, x30 ，∴ 1mx30 ， mx2 emx 3 03x13 ln x1 1 mx1 ln x 0又∵ e ，∴ 3 ，∴ 3 3∴ f (x3 )0 ，又∵当 x(0, x1) 时, f( x)0 , 当 x( x1, x2 ) 时,f ( x) 0 ,当 x (x2 ,) 时,f (x) 0∴ x3( x1 , x2 )又∵ f(x) 在区间( x1, x2)单减及f (x3 ) 0可知 f ( x1 ) 0 且 f (x2 ) 0由上可知： 当 me 即 e ea 1时， yax 与 ylog ax 有唯一公共点 ,且此公共点在 y x 上，当 m e即 0a e e 时， yax 与 ylog ax 有三个公共点 ,且有两个不在直线y x 上，但关于 yx 对称，而第三个公共点在直线y x 上.综合上述 , 我们可以得到如下结论 ：当1 ae e 时, ya x 与 ylog ax 有两个公共点 ,且两个公共点均在直线 yx 上.e当 a e 时, y当 a e e 时, yea x 与 yxax 与 ylog alog ax 有唯一公共点 , 且该公共点在直线 yx 没有公共点 .x 上.当 e a1时， ya 与 ylog ax 有唯一公共点 ,且此公共点在 yx 上，当 0 ae e 时， yax 与 ylog ax 有三个公共点 ,且有两个不在直线 yx 上，但关于 yx 对称，而第三个公共点在直线 yx 上.。