控制系统微分方程的建立.pdf

§2-1 控制系统微分方程的建立 要建立一个控制系统的微分方程，首先必须了解整个系统的组成、工作原理,然后根据支配各组成元件的物理定律，列写出整个系统输出变量与输入变量之间关系的动态关系式，即微分方程列写微分方程的一般步骤如下： ①分析系统和各个元件的工作原理，找出各物理量(变量)之间的关系，确定系统和各元件的输入、输出变量 ②从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理(或化学等)定律，列写动态关系式，一般为一个微分方程组 ③对已建立的原始方程进行数学处理，忽略次要因素，简化原始方程，如对原始方程进行线性化等 ④消除中间变量，写出关于输出、输入变量之间关系的数学表达式，即微分方程 下面举例说明建立微分方程的方法和步骤 一、典型元件系统微分方程的建立 1． 电学系统 电学系统中，所需遵循的是元件约束和网络约束，元件约束指电阻、电容、电感等器件的电压——电流关系遵循广义欧姆定律，网络约束指基尔霍夫电压定律和电流定律 例 2-1 RLC无源网络如图 2-1 所示，图中 R、L、C分别为电阻(Ω)、电感(H)、电容(F)；建立输入电压 u r (V)和输出电压 u c (V)之间的微分方程。

解： 根据电路理论中的基尔霍夫定律，可得 () ()()()() ()⎪⎩⎪⎨⎧=++=∫dttiCtutudttdiLtRituccr1(2-1) 图2-1 RLC无源网络 消去中间变量 i(t)，则 ()( ) ( )()tudttduRCdttudLCtucccr++=22(2-2) 令 则上式又可以写成如下形式 TRCTLC ζ2,2==() ( )() ()tutudttduTdttudTrccc=++ ζ2222(2-3) 式中T称为时间常数，单位为秒，ζ称为阻尼系数，无量纲 式（2-3 ）就是所求得 RLC 网络的微分方程 2． 机械平移运动 古典力学系统的运动规律是由牛顿定律来制约的在求取力学系统的运动方程时，要分析是哪一种运动的平衡，如平移运动、旋转运动、动量平衡等在分析当中，特别要注意物理单位之间的关系和换算，找到平衡关系，列出平衡方程式 例2-2 设弹簧一质量—阻尼器系统如图 2-2 所示，试列出以 F（t） 为输入，以质量单元 的位移 x(t)为输出的运动方程 1图 2-2 弹簧质量阻尼系统 解: 由加速度定律 ∑==22dtxdmFma和力为 ∑++= )(tFFFFfk其中弹性阻力 kxFk−=粘滞阻力 dtdxfFf−=带入方程有 )(22tFdtdxfkxdtxdm +−−= 整理 )(22tFkxdtdxfdtxdm =++ (2-4) 这是一种机械平移运动的运动方程，它是一个二阶微分方程。

3．机械旋转系统 例2-3 已知机械旋转系统如图 2-3 所示，试列出系统运动方程 解：由角加速度方程 ∑= MdtdJω其中， J——转动惯量， ω——旋转角速度， ∑M ——和力矩， 得 fMfdtdJ +−= ωω图2-3 机械旋转系统 其中， ——作用力矩； fMωf ——阻尼力矩，其大小与转速成正比，负号表示方向与作用力矩方向相反 整理 fMfdtdJ =+ ωω(2-5) 方程的输入变量是作用力矩 ，输出变量是旋转角速度fM ω，则方程是变量关系为 −fM ω2的一阶微分方程如果以转角 θ 为输出变量，因为 dtdθω =代入方程得 fMdtdfdtdJ =+θθ22(2-6) 式（2-6）即为以转角 θ 为输出变量的二阶微分方程 4．齿轮系统 例 2-4 试列写图 2-4 所示齿轮系统的运动方程图中齿轮 1 和齿轮 2 的转速、齿轮数和半径分别用 ω 1 ，Z 1， r1和ω 2,Z2,r2 表示，其粘性摩擦系数及转动惯量分别是 f1,J1和 f2， ,J2 ；齿轮 1 和齿轮 2 的原动转矩及负载转矩分别是 Mm， ,M1和 M2， Mc 解：控制系统的执行元件与负载之间往往通过齿轮系进行运动传递，以便实现减速和增大力矩的目的。

在齿轮传动中，两个啮合齿轮的线速度相同，传送的功率相同，因此有关系式： 221 1ω ωMM =（ 2-7） 221rr1ωω =（ 2-8） 图 2-4 齿轮系统又因为齿数与半径成正比，即：2121ZZrr= (2-9) 于是有： 1212ωωZZ= (2-10) 2211MZZM =(2-11) 根据力学中定轴转动的转动定律，可分别写出齿轮 1 和齿轮 2 的运动方程： mMMfdtdJ =+1+1111ωω（2-12 ） 22+ω222MMfdtdJc=+ω（2-13） 由上述方程消去 ω 2 ， M1 ， M2，得 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=2112221112J2211ZZMfZZfdtdZZJMcmωω(2-14) 令 3 22211JZZJJ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=22211fZZff⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=ccMZZM221'⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=则齿轮系的微分方程为： mcMMfdtdJ =++'11ωω（ 2-15） 式中 , 及 分别是折合到齿轮 1 上的等效转动惯量、等效粘性摩擦系数及等效负载转矩。

显然，折算的等效值与齿轮系的速度比有关，速度比 ω 1/ω 2越大，Z1/Z2越小，折算的等效值越小如果齿轮系的速度比足够大，则后级齿轮及负载的影响便可以不予考虑 J f'cM5．电枢控制的他励直流电动机 例 2-5 电枢控制的直流电动机如图 2-5 所示，建立输入电压 ( )tua(V)和输出转角 ( )tmθ之间的动态关系式 图2-5 电枢控制的他励直流电动机 解： 电枢控制的他励直流电动机，激磁电流 ，保持不变，仅改变加在电枢两端的电压来控制电机的运动方式根据电动机的工作原理可列出如下方程: fi()tua电枢电路方程 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=dttdKEEdttdiLtiRtumbbbaaaaa)()()()(θ(2-16) 式中： ——输入电压信号(V)； ()tua——电枢电流(A)； ()tia——电枢电阻(Ω)； aR——电枢电感(H)； aL4 ——电动机的反电势(V)； bE——反电势系数(V／rad·s-1)； bK()tmθ——电动机转角(rad) 电磁转矩方程 () ( )tiCtMamm⋅= (2-17) 式中： -—电磁转矩(N·m)； ()tMm——力矩系数[(N·m)／A]。

mC直流电动机转矩平衡方程 ()() ( )LmmmmmMdttdfdttdJtM ++=θθ22(2-18) 式中： ——电枢转动惯量( ); mJradsmN /2⋅⋅mf——电动机轴上的粘性摩擦系数 ( )1/−⋅⋅ sradmN ； LM——负载力矩 ()mN ⋅ 将式(2-17)和(2-18)代入式(2-16)中，消除中间变量 ( )mbaMEti 和、 ，可得 aLmaLmammmabmmmammammmaudtdMCLMCRdtdCfRKdtdCfLCJRdtdCJL=++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++θθθ2233(2-19） 若考虑到直流电动机中 较小，可以忽略不计，式(2-19)可以写成 aLaLmammmabmmmauMCRdtdCfRKdtdCJR=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++θθ22(2-20) 令 mambmamfRCKJRT+= mambmmfRCKCK+= 并设 , 则 0=LMammmmuKdtddtdT =+θθ22(2-21) 式中： ——电动机时间常数(s)； mT5 ——电动机传递系数(rad／s·V)。

mK由式(2-21)可见，电枢控制他励直流电动机的动态方程是一个二阶线性常微分方程如果以转速ω(rad·s-1)为输出，则为一阶线性常微分方程，即 ammuKdtdT =+ωω(2-22) 式中： dtdmθω = . 综上所述，列写元件的微分方程的步骤可归纳如下： （1 ）根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量； （2 ）分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律等，列写相应的微分方程； （3 ）消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，即得元件时域的数学模型 一般情况下，应将微分方程写为标准形式，即与输入量有关的项写在方程的一端，与输出量有关的项写在方程的另一端，方程两端变量的导数项均按降幂排列 二、控制系统微分方程的建立 了解了典型元件的微分方程，就可以求整个控制系统的微分方程了首先，找到控制系统的总输入量和最终的输出量，明确系统中各元件的联结方式和各自的工作原理，分别列写出各典型元件的微分方程，组成方程组，消去所有中间变量，得到系统最终输入量和输出量的关系式即为控制系统的微分方程 例 2-6 已知直流电动机，定子与转子的电磁关系如图 2-6 所示，机电系统原理如图 2-7所示。

试写出其运动方程 图2-6 电动机定、转子电磁关系示意图 图2-7直流电动机系统 解： 直流电动机的运动是一复合系统的运动它由两个子系统构成，一个是电网络系统，由电网络得到电能，产生电磁转矩另一个是机械运动系统，输出机械能带动负载转动在图 2-6 的电机结构示意图中，设主磁通Φ为恒定磁通，也就是说在励磁电压 为常数时，产生常数值的励磁电流 ，从而主磁通fufIΦ也为常数忽略旋转粘滞系数 ，则可以写出各平衡方程如下有关直流电动机的详细内容，可以参阅电力拖动有关书籍) af1.电网络平衡方程 aaaaaaUEIRdtdIL =++(2-23) 方程中， ——电动机的电枢电压( V)； aU——电动机的电枢电流( A)； aI——电枢绕组的电阻( Ω )； aR6 ——电枢绕组的电感( H)； aLaE——电枢绕组的感应电动势( V) 2．电动势平衡方程 ωeakE =(2-24) 方程中，ω——电枢旋转角速度(rad/s)； ——电动势常数，由电动机的结构参数确定( V·s/ rad) ek3．机械平衡方程 LaaMMdtdJ −=ω(2-25) 方程中， ——电动机转子的转动惯量(N ·m·s2/rad)； aJ——电动机的电磁转矩( N·m )； aM——折合阻力矩( N·m )。

LM4．转矩平衡方程 (2-26) acaIkM =方程中， ——电磁转矩常数，由电动机的结构参数确定( N·m／A ) ck将上述四项方程联立，因为空载下的阻力力矩很小，略去 ，得方程组如下 LM⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====++acaaaeaaaaaaaIkMMdtdJkEUEIRdtdILωω(2-27) 消去中间变量 、 、 ，得到输入为电枢电压 ，输出为转轴角速度aIaEaMaUω的二阶微分方程 aecaacaaUkdtdkRJdtdkLJ=++ ωωω22(2-28) 这是一个二阶线性微分方程因为电枢绕组的电感一般都很小，如果略去电枢绕组的电感 ，则可以得到一阶线性微分方程 aIaecaaUkdtdkRJ=+ ωω(2-29) 7由。