高数常数项级数的审敛法（课堂PPT）.ppt

1,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,,,第十一章,四、小结思考题,2,一、正项级数及其审敛法,1.定义:,这种级数称为正项级数.,2.正项级数收敛的充要条件:,定理,部分和数列 为单调增加数列.,3,证明,即部分和数列有界,3.比较审敛法,4,不是有界数列,定理证毕.,比较审敛法的不便:,须有参考级数.,5,解,,由图可知,6,重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.,7,证明,8,4.比较审敛法的极限形式:,9,证明,由比较审敛法的推论, 得证.,10,11,解,原级数发散.,故原级数收敛.,12,的敛散性.,例4. 判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13,证明,14,收敛,发散,15,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,16,17,例5. 讨论级数,的敛散性 .,解:,根据定理4可知:,级数收敛 ;,级数发散 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18,解,19,比值审敛法失效, 改用比较审敛法,20,21,例7. 证明级数,收敛于S ,,似代替和 S 时所产生的误差 .,解:,由定理5可知该级数收敛 .,令,则所求误差为,并估计以部分和 Sn 近,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22,二、交错级数及其审敛法,定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.,23,证明,24,满足收敛的两个条件,,定理证毕.,25,收敛,收敛,,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?,发散,收敛,收敛,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,26,解,原级数收敛.,27,三、绝对收敛与条件收敛,定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,证明,28,上定理的作用：,,任意项级数,正项级数,29,例9. 证明下列级数绝对收敛 :,证: (1),而,收敛 ,,收敛,因此,绝对收敛 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,30,(2) 令,因此,收敛,,绝对收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,31,,内容小结,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2. 利用正项级数审敛法,,必要条件,发 散,,满足,比值审敛法,根值审敛法,,收 敛,发 散,,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,32,3. 任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,33,思考与练习,设正项级数,收敛,,能否推出,收敛 ?,提示:,由比较判敛法可知,收敛 .,注意:,反之不成立.,例如,,收敛 ,,发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,34,提高题,1. 判别级数的敛散性:,解: (1),发散 ,,故原级数发散 .,不是 p级数,,(2),发散 ,,故原级数发散 .,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,35,2.,则级数,(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;,(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.,分析:, (B) 错 ;,又,C,,,,,,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,36,练 习 题,37,38,39,练习题答案,。