专升本 高数第二讲 连续 (详细).pptx

第二讲 函数的连续性,,[复习考试要求],1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法 2.会求函数的间断点 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限左右连续,在区间[a,b] 上连续,连续函数 的 性 质,初等函数 的连续性,间断点定义,,,,,,,连 续 定 义,连续的 充要条件,连续函数的 运算性质,非初等函数 的连续性,,,,,,,,,（一）函数连续的概念,1.函数在点x0处连续，则一定满足以下条件定义1 设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量△x（初值为x0）趋近于0时，相应的函数的改变量△y也趋近于0，即则称函数y=f（x）在点x0处连续函数y=f（x）在点x0连续也可作如下定义：定义2 设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果当x→x0时，函数y=f（x）的极限值存在，且等于x0处的函数值f（x0），即,,定义3 设函数y=f（x），如果 ，则称函数f（x）在点x0处左连续；如果 ，则称函数f（x）在点x0处右连续。

由上述定义2可知如果函数y=f（x）在点x0处连续，则f（x）在点x0处左连续也右连续解,右连续但不左连续 ,,2.函数在区间[a，b]上连续,定义 如果函数f（x）在闭区间[a，b]上的每一点x处都连续，则称f（x）在闭区间[a，b]上连续，并称f（x）为[a，b]上的连续函数 这里，f（x）在左端点a连续，是指满足关系： ，在右端点b连续，是指满足关系： ，即f（x）在左端点a处是右连续，在右端点b处是左连续可以证明：初等函数在其定义的区间内都连续连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. “一笔划过”,3.函数的间断点,定义 如果函数f（x）在点x0处不连续则称点x0为f（x）一个间断点由函数在某点连续的定义可知，若f（x）在点x0处有下列三种情况之一：（1）在点x0处，f（x）没有定义；（2）在点x0处，f（x）的极限不存在；（3）虽然在点x0处f（x）有定义，且 存在， 但则点x0是f（x）一个间断点换句话说：,间断点,例1.[9405]设 f（x） ，则f（x）在A. x=0,x=1处都间断B. x=0,x=1处都连续C. x=0处间断，x=1处连续D. x=0处连续，x=1处间断,,解：在x=0处，f（0）=0 ∵f（0-0）≠f（0+0）x=0为f（x）的间断点在x=1处，f（1）=1f（1-0）=f（1+0）=f（1）∴f（x）在x=1处连续［答案］C,,,例2[9703]设 f（x） ，在x=0处连续，则k等于A.0B. C. D.2,,分析：f（0）=k［答案］ B,,,例3[0209]设 在x=0处连续，则a=,,解：f（0）= e0 =1∵f（0）=f（0-0）=f（0+0）∴a=1,,1.跳跃间断点,,例,解,间断点的分类,2.可去间断点,,例,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,如上例中,,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点:,可去型,第一类间断点,跳跃型,,3.第二类间断点,,例,解,例,解,例,,解,函数在x= -1 , x = 0 , x = 1处没有定义,所以x= -1 , x = 0 , x = 1是函数的间断点,所以x = -1是函数的无穷间断点,所以x= 0是函数的跳跃间断点,(Ⅰ),(Ⅱ),所以x= 1是函数的可去间断点,(Ⅲ),解,分界点为 x =1,x =2,（i）当 x=1时,所以 x= 1 是函数的跳跃间断点,练习：考察函数,,（ii）讨论 x=2,而f(2)=5,所以x= 2是函数的连续的点,因此,分段函数的分界点是可能间断点,例,解,（二）函数在一点处连续的性质,由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。

定理1.12 （四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则（1） f（x）±g（x） ，（2）f（x）·g（x），（3）若g（x0）≠0 ， 都在x0处连续定理 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定理1.13 （复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x= x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x= x0处连续在求复合函数的极限时，如果u=g（x），在x0处极限存在，又y=f（u）在对应的 处连续，则极限符号可以与函数符号交换即定理1.14 （反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）三） 闭区间上连续函数的性质,在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到定理1.15 （有界性定理） 如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16 （最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值 定理1.17 （介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使得f（ξ）=C,,推论（零点定理） 如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则在[a，b]内至少存在一个点ξ，使得f（ξ）=0,,,介值定理,零点定理,四个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意 1．闭区间； 2．连续函数． 这两点不满足上述定理不一定成立．,（四）初等函数的连续性,由函数在一点处连续的定理知，连续函数经过有限次四则运算或复合运算而得的函数在其定义的区间内是连续函数又由于基本初等函数在其定义区间内是连续的，可以得到下列重要结论定理1.18 初等函数在其定义的区间内连续利用初等函数连续性的结论可知：如果f（x）是初等函数，且x0是定义区间内的点，则f（x）在x0处连续也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可例,,,,,例.证明三次代数方程x3-5x+1=0在区间（0,1）内至少有一个实根.证：设f（x）=x3-5x+1f（x）在［0，1］上连续f（0）=1f（1）=-3由零点定理可知，至少存在一点ξ∈（0，1）使得f（ξ）=0，ξ3-5ξ+1=0即方程在（0，1）内至少有一个实根。

例1,证,由零点定理,,例2,证,由零点定理,,,补充：已知,，求k的值,解：因为,,所以,即,因此,由,,【第一、第二讲小结】,函数、极限与连续是微积分中最基本、最重要的概念之一，而极限运算又是微积分的三大运算中最基本的运算之一，必须熟练掌握，这会为以后的学习打下良好的基础这一章的内容在考试中约占15%，约为22分左右一、概念部分,重点：极限概念，无穷小量与等价无穷小量的概念，连续的概念极限概念应该明确极限是描述在给定变化过程中函数变化的性态，极限值是一个确定的常数函数在一点连续性的三个基本要素：,常用的是f（x0-0）=f（x0+0）=f（x0）,二、运算部分,重点：求极限，函数的点连续性的判定1.求函数极限的常用方法主要有：（1）利用极限的四则运算法则求极限；对于“ 0 0 ”型不定式，可考虑用因式分解或有理化消去零因子法2）利用两个重要极限求极限；（3）利用无穷小量的性质求极限；（4）利用函数的连续性求极限；若f（x）在x0处连续，则,,,,（5）利用等价无穷小代换定理求极限；（6）会求分段函数在分段点处的极限；（7）利用洛必达法则求未定式的极限2.判定函数的连续性，利用闭区间上连续函数的零点定理证明方程的根的存在性。

洛必达法则,在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定,分类 0/0型不定式极限 ∞/∞型不定式极限 其他类型不定式极限,0/0型不定式极限 若函数f(x),g(x) 满足下列条件：⑴在点xo处， f(x),g(x)均为无穷小量 ；⑵ 在点xo 的某去心邻域内两者都可导，且 g’(x)不为0；⑶ lim 𝑥→𝑥𝑜 𝑓′(𝑥) 𝑔′(𝑥) =A（ 可为实数，也可为 ±∞ 或 ），则 lim 𝑥→𝑥𝑜 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim 𝑥→𝑥𝑜 𝑓′(𝑥) 𝑔′(𝑥) =A,∞/∞型不定式极限 若函数 f(x),g(x)满足下列条件：⑴在点a处， f(x),g(x)均为无穷大量 ； ⑵ 在点 a的某去心邻域内两者都可导，且g’(x)不为0 ； ⑶ lim 𝑥→𝑎 𝑓′(𝑥) 𝑔′(𝑥) =A（A 可为实数，也可为±∞ 或 ∞），则 lim 𝑥→ 𝑎 + 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim 𝑥→ 𝑎 + 𝑓′(𝑥) 𝑔′(𝑥) =A,其他类型不定式极限 不定式极限还有 等类型。

经过简单变换，它们一般均可化为 型或 型的极限。