地震灾后物资分配模型（数学建模）范文52.doc

论文题目物资分配问题论文摘要在地震灾难后，合理的物资分配能在很大程度上降低灾害的影响本文用线性规划为主要方法解决了在物资供不应求如何合理的物资分配，使 满意度达到最大问题模型一是解决灾后不同灾区的用物资的实际总量为约束条 件来物资分配，根据不同灾区对不同物资的理论分配到的物资的方法模型二， 考虑的是各灾区的灾情由个灾区中灾民的受伤程度和各类所占灾区灾民的比例， 以及灾民总数来衡量的同样以物资为约束条件，建立模型，随及，再给出一个 具体的灾情，并用量化后的模型求出最优解，通过结果的分析研究，讨论了模型 的合理性和可行性最后，我们对模型的优缺点进行了讨论，并提出模型的优化 方案，并且针对泊尔地震做了实际的推广关键词线性规划满意度物资权重单位物资问题重述1. 针对模型一的问题重述：现有N类受灾程度不同的灾区和M类不同的物 资，各个灾区的受灾程度不同并且对各种物资的需求程度和需求量也不同现以 决策者的的身份制定合理的分配方案，使得各灾区的满意度最大化2. 针对模型二的问题重述：N类不同灾区中都有K类受灾程度不同的灾 民，不同类型的灾民对不同类型的物资的急需程度和需求量都不同制定合理的 分配方案，使得不同灾区的平均满意度最大化。

问题分析如果物资分配者有足够的物资满足所有人的需求，我们称所有灾民的满意度 达到了最大，并假设此时即使再增加供给灾区的满意度也不会增加这里假设最 大满意度为1,并引入基数效用理论表示满意度，即如果甲的效用是乙的二倍， 可以认为甲的满意度是乙的二倍或甲比乙开心二倍（显然此假设有其一定的局限 性，但在此并不影响对问题的讨论）我们可以想象，当物资分配者面对一定数量的灾民，他很难知道每个灾民的 具体受灾状况，而只有灾民自己知道什么是他最急需的，我们用一组序数表示任 一灾民对不同物资的急需程度，如1, 2, 3等，这些序数的和不妨称为该灾民的 总急需程度显然，每种物资对应的序数除以总急需程度就表示它在总急需程度 中的比重，不同物资的急需程度值实际代表的是该物资相对总体需求的紧急程度, 为了便于问题的研究我们设每个灾民在需求得到完全满足之前对各物资急需程度 之和为lo对于不同物资，因其急需程度与需求量不同，获得相应物资满意度的增量肯 定也是不一样的，急需程度越高，相应物资的增加对满意度的影响也就越人，又 由于不同物资的需求量不同，在此用共同的单位度量供应量变化对满意度的影响 将变得毫无意义，故可研究供应量与需求量的比的变化对满意度的影响的相对大 小。

考虑到物资分配过程中公平与满意度往往需要兼顾，为此我们引入公平因子 来解决此问题＜一＞模型一,只考虑灾区受灾程度1假设1•每个灾区的最大满意度为1. 假设2.任一灾区对各种物资的急需程度之和为12符号说明：Mj物资j的实际需求数量Qij灾民i对物资j的实际需求量rij灾民i对物资j的原始急需程度qij灾区i所获得物资j的实际量ui灾民i的总满意度uj第j种物资发完后灾民的总满意度U所有灾民获得的满意度总和模型建立对于任一个灾民的满意度：(1)解释：这里的〕8 "表示单位数量的J类物资给灾区｛带来的满意度的大小再乘以实际给予量血，得到相应数量的的丿类物资给灾区'带来的满意度验证：当所有时，即需求量等于获得量，有Mui ~ 为 rij = 17 = 1这显然是符合我们对于急需度与满意度的假设的，在此我们成功的建立了满 意度与急需度Z间的一般函数关系根据模型假设，我们有：NE 芻=M ui=l（3）如果任一灾民对各种物资的急需程度不随供应量的变化而变化，上述问题可 以认为是在有限物资限制下求所有灾民的满意度之和最大的问题即根据公式（1）,在（3）限制下，找出旬使得N M rU =绚 + “2 + …+ 你二匸 1 J=1 Qij的值最大。

模型求解分析：因为N, M,勺，©为已知给定常量，令"匕,有如下等式:厂22%才乞乞釦才宾时九V — 1-1 J-1 = J-1 i-1 旳=>1 £-1对任一待分配物资Mj有：°=1 （乔 >=0）对于丿不同的你，它们之间没有依赖（约束）关系也就是说，对每种物资 进行单独分配而获得的这一物资的单项满意度最人值，它们的之和就是整个系统 "的满意度最人值从而对等式U求极大值问题就转化为对等式中的j个分项/单独求极大值的问题：结论：问题转化为对线性规划的最优化问题: 需要极人化的线性函数（0标函数）:U —戶 1 /=1约束条件则可求解〈二〉模型二 一方面考虑受灾区，另一方面也考虑各灾区灾民情况假设：1•各灾区灾情是由不同的灾民所占比例和人数所衡量的2. 假设任一个灾民的最大满意度为仁3. 任一灾民对各种物资的急需程度之和为仁注：物资的分配原则为：各类灾民的满意度之和的平均值 符号说明： eik : k类灾民占i灾区比例GKJ： k类灾民对物质j的需求量HKJ： k类灾民对j类物资急需程度Tl： i灾区的总灾民数WKJ： 给单位k类灾民物资j的分配量VIK：灾区之中单位灾民k所获得的总满意度VJI：第j类物资发完后，灾区i中灾民的总满意度VI :灾区i所有灾民满意度之和V：所有灾民获得的满意度之和V：所有灾民获得的满意度之和的平均值在模型一的基础上，可得Vji = e i kT i 丈 wkj 储IWkjGkj解释：Hkj/Gkj 表示单位数量的j类物质给单位i类灾民带来的满意度大小,再乘以实际的MWkj ,得到的就是相应数量的储j物资单位k类灾民带来的满意度。

乂 eik为i灾区中k类受灾者的总数所以Vjc为i灾区k类灾民的总满意度之和 同理在模型一中己经验证此模型的理论合理性3 •模型求和则有NZvz =£-1y y y £Z Z j ji VH= 2 Zeik WKJ 謀i k-1 i r-4Ek-1M>1又由（1） WMiC2）乞dk=l为两个约束条件 k-1E M且目标方程为V= 乞eik兀幵kj芻k-1 >17.数值算例1 •模型一：我们根据模型一的情况，假设灾区的受灾情况如下表灾区类型123410.60.50.40.220.20.30.40.230.10」0」0.340.10.10.10.3表一：同类型的灾区对不同物资的实际需求（单位：百万）我们又统计了不同灾民所占该灾区的比例制出表格表二：不同类型的灾民对不同物资的实际需求1234药物物品：方便 面、矿泉水556. 473522. 134489. 487398. 384衣物，棉被500. 253436. 487372.743278.283米，油434. 665409. 743355. 273298.283其它生活物资： 帐蓬334.543300. 323248.384193.283表三：不同类型的灾区得到物资的实际分配量（单位：万）1234药物物品：方 便面、矿泉水538. 482510. 838477. 336387. 897衣物，棉被484.974428. 409379. 249244.380米，油438. 765370.478329.311287. 394其它主活物资 :帐蓬347.812307. 673216. 425190. 487表一和表二数据来源：http://www. doc88. com/p-7505438522655, html搜集到了灾区所需的物品实际需求量和供给量后，我们不妨假设不同的灾区对不 同物资的急需度。

急需度的假设原则是：假设灾区里灾民们普遍渴望得到优先级较高的物资，对优 先级越高的物资急需程度也就越高因此，我们给出了如表四的合理假设表四：不同类型的灾区对于不同物资的急需程度1234药物物品： 方便面、矿泉水0. 460. 320. 370.41衣物，棉被0. 340. 370. 360. 28米，油0. 120. 110.210. 19其它生活物资：帐蓬0. 080. 200. 060. 12模型一求解结果：我们用MATLAB实现编程，求出了各个灾区的平均满意度:M QiJ并依据不同类型的灾区为划分，粗略地建立了灾区类型与灾区总体满意度的关系图像由图像可知，重灾区的满意度明显大于其它灾区，并且随着灾区受灾程度的不断减小，灾区的普遍满意度不断降低这一结果也符合我们的一般思路，重灾区应当得到更多的物资支 持我们根据模型二的情况，假设了灾民的各项数据统计，如下表：表五:不同灾区中灾民人数的统计（单位：百万）灾区种类1234灾民人数120. 372100. 89287. 28366. 365数据来源：http://www. doc8& com/p-7505438522655, html表六：不同类型的灾民对不同物资的需求量（单位灾民的需求量）1234药物物品：方便面、矿泉水20151412衣物，棉被1817107米，油等16758其它生活物资:帐蓬26191715表七：不同灾民对不同物资的急需程度灾民类型1234药物物品： 方便面、矿泉水0.60. 450. 340. 24衣物，棉被0. 120. 250. 260. 26米，油0. 080. 150. 180.25其它生活物0.20. 150. 220. 15资：帐蓬类似于表四，我们在灾区对物资的急需程度的基础上又假定了不同 灾民类型对不同物资的急需程度。

同样，急需度依旧与物资优先级有 关表八：不同类型灾民获得的物资实际分配量（单位灾民的分配量）灾民类型1234药物物品： 方便面、矿泉水11887衣物，棉被12964米，油8535其它生活物资：帐蓬171398八.模型的改进与推广1•模型的改进在木文中，我们考虑四种类型的救灾物资的权重时，根据优先级划分，并且考 虑到问题的简化，我们人为的确定了关键物的权重系数显得过于简单和主观， 这一方面显得不够严谍这样的权重安排没有牢靠的理论背景基础和依据，实现 四种类型物资的急需程度与物资权重的合理匹配，对于合理分配物资，提高物资 分配的救灾效果有着十分重要的意义在模型建立的过程中，考虑到模型算法求解的局限性，我们建立的是非线性的 连续函数，并对结果进行了合理的分析与优化整合，但考虑到问题的背景于实际 生活，对物资的合理分配更接近的模型是非线性整数离散的优化模型因此，在 对模型。