工程力学：第三章 空间问题的受力分析.ppt

第三章 空间问题的受力分析空间力系：力的作用线是空间分布的力系空间任意力系3-1 力在空间直角坐标轴上的投影一、力在直角坐标轴上的投影a)一次投影法（直接投影法）空间汇交力系空间力偶系b) 二次投影法（间接投影法）力F投影z轴上投影当力F与坐标轴Ox、Oy间的夹角不易确定时坐标平面 Oxy上，力矢量Fxyx和y 轴上投影二、力沿直角坐标轴的分解以 、 、 表示力F沿直角坐标轴x、y、z的正交分量力F在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢量间的关系可表示为：大小方向余弦力F的例31 如图所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力 的作用已知斜齿轮的齿倾角(螺旋角) 和压力角 ，以求力 沿 x、y和z轴的分力解：先将力Fn向z轴和Oxy平面投影，得再将力 向x、y轴投影，得则力 沿各轴的分力为空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点方向余弦合力的大小3-2 空间汇交力系的合成与平衡空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系的合力等于零，即空间汇交力系 的平衡方程空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零三个方程，可求解三个未知量） 例33 如图所示，用起重杆吊起重物。

起重杆的A端用球铰链固定在地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D，连线CD平行于x轴已知：CE=EBDE， CDB平面与水平面间的夹角 ，物重 如起重杆的重量不计，试求起重杆所受的压力和绳子的拉力解：取起重杆AB与重物为研究对象取坐标轴如图所示由已知条件知：列平衡方程解得力F对z轴的矩就是分力Fxy对点O的矩，力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量、是一个代数量即3-3 力对轴的矩绝对值：该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩的大小正负号：从z轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴按逆时针转向转动，则取正号，反之取负号也可按右手螺旋规则来确定其正负号，如图所示，姆指指向与z轴一致为正，反之为负当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零：(1)当力与轴相交时 (此时h0)；(2)当力与轴平行时 (此时 )力对轴的矩的单位为Nm例34 手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，如图所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为 如果CDa，杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴，AB和BC的长度都等于l试求力F对x、y和z三轴的矩根据合力矩定理 解： 将力F沿坐标轴分解3-4 空间力偶1力偶矩以矢量表示，空间力偶等效条件平面力偶理论只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向，力偶可以在它的作用面内任意移转；只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向，力偶可以在它的作用面内任意移转；并且作用面可以平行移动。

空间力偶理论空间力偶对刚体的作用效果决定于下列三个因素(2)力偶作用面的方位；(1)力偶矩的大小；(3)力偶的转向矢的指向与力偶转向的关系服从右手螺旋规则注：力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢所决定空间力偶用一个矢量，力偶矩矢M表示：矢的长度表示力偶矩的大小矢的方位与力偶作用面的法线方位相同，合力偶矩矢的解析表达式为合力偶矩矢的大小方向余弦2空间力偶系的合成与平衡条件任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即例35 工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为80Nm求工件所受合力偶的矩在x、y、z轴上的投影 、 、 ，并求合力偶矩矢的大小和方向解：先将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢量表示，并将它们平行移到点A合力偶矩矢的大小和方向余弦为空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即由上式，有欲使上式成立，必须同时满足空间力偶系的平衡方程空间力偶系平衡的必要和充分条件为：该力偶系中所有各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零三个独立的平衡方程，求解三个未知量）3-5 空间任意力系的平衡方程力的平移定理空间任意力系空间汇交力系空间力偶系空间汇交力系合成一力，作用线通过点O，其大小和方向等于力系的主矢，即空间力偶系合成为一力偶，等于各附加力偶矩矢的矢量和，又等于原力系各力对于点O之矩的矢量和，即原力系对点O的主矩力系主矢的大小方向余弦力系对点O的主矩的大小方向余弦空间任意力系平衡的必要和充分条件是：这力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零，即可将上述条件写成空间任意力系的平衡方程注：1.与平面力系相同，空间力系的平衡方程也有其它的形式。

2.六个独立的平衡方程，求解六个未知量3.可以从空间任意力系的普遍平衡规律中导出特殊情况的平衡规律，例如空间平行力系、空间汇交力系和平面任意力系等平衡方程例：设物体受一空间平行力系作用令z轴与这些力平行，则自动满足因此，空间平行力系只有三个平衡方程，即：例37 如图所示的三轮小车，自重P8kN，作用于点E，载荷 ，作用于点C求小车静止时地面对车轮的反力解：以小车为研究对象解得 例310 如图所示均质长方板由六根直杆支持于水平位置，直杆两端各用球铰链与板和地面连接板重为P，在A处作用一水平力F，且F=2P求各杆的内力解：取长方体刚板为研究对象，各支杆均为二力杆，设它们均受拉力解得（压力）解得解得解得3-6 重心1重心的概念及其坐标公式重力是一个分布力系，可视为空间平行力系一般所谓重力，就是这个空间平行力系的合力重心：不变形的物体(刚体)在地表面无论怎样放置，其平行分布重力的合力作用线通过的此物体个确定的点重心在工程实际中具有重要的意义如重心的位置会影响物体的平衡和稳定通过平行力系的合力可以推导物体重心的坐标公式这些公式也可用于确定物体的质量中心、面积形心和液体的压力中心等将物体分割成许多微小体积，每小块体积为 ，所受重力为 。

这些重力组成平行力系合力取直角坐标系Oxyz，使重力及其合力与 z 轴平行设任一微体的坐标为 xi ， yi ，zi ，重心C的坐标为 xc ， yc ， zc 根据合力矩定理，对x轴取矩，有对y轴取矩有将物体连同坐标系一起绕x轴顺时针转 ，使y轴向下，再对x轴取矩，得由以上三式可得计算重心坐标的公式，即 如果物体是均质的，单位体积的重量 常值,以 表示微小体积，物体总体积为 ，将 代入上式，得取极限为均质物体的重心与其单位体积的重量(比重)无关，仅决定于物体的形状这时的重心称为体积的重心均质等厚薄壳的重心（面积的重心）公式注：曲面的重心一般不在曲面上，而相对于曲面位于确定的一点均质等截面细长线段的重心（线段的重心）公式注：曲线的重心一般不在曲线上均质物体的重心就是几何中心，通常也称形心2. 确定物体重心的方法(1)简单几何形状物体的重心如均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，则该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称中心上 例311 试求图中所示半径为R、圆心角为 的扇形面积的重心 解：由对称关系， 任一位置 处取微小面积 ，其重心的y坐标 扇形总面积为将 代入上式，可得半圆形的重心(2)用组合法求重心若一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而这些物体的重心是已知的，那么整个物体的重心坐标(a)分割法 例312 试求Z形截面重心的位置，其尺寸如图所示。

解：将该图形分割为三个矩形重心分别 ， ， ； 面积分别为 ， ， 由图得该截面重心的坐标(b)负面积法(负体积法)若在物体或薄板内切去一部分(例如有空穴或孔的物体)，则这类物体的重心，仍可应用与分割法相同的公式来求得，只是切去部分的体积或面积应取负值例313 试求如图所示振动沉桩器中的偏心块的重心已知 R= 100mm，r=17mm，b=13mm解：将偏心块看成是由三部分组成，即半径为R的半圆 ，半径为r+b的半圆 和半径为 r 的小圆 (切去的部分)3)用实验方法测定重心的位置外形复杂或质量分布不均的物体(a)悬挂法(b)称重法首先称量出汽车的重量P，测量出前后轮距l和车轮半径r因车身是平衡的，故得(a)同理得(b)以汽车为例设汽车是左右对称的，重心必在对称面内重心距地面的高度 和距后轮的距离 由图中的几何关系知重心与后轮中心的高度差。