第7章 代数结构的基本知识.docx

§7.1代数系统的基本概念 2§ 7. 1. 1代数系统 2§ 7. 1. 2代数系统常见的一些性质 2§7.2 同构与同态 3§ 7. 2. 1 同构 3§ 7. 2. 2 同态 6第七章代数结构的基本知识§ 7. 1代数系统的基本概念§7.1.1代数系统定义7.1.1代数系统是满足以下三个条件的数学系统：(1) 有一个非空集合S (代数系统的定义域)；(2) 有若干个建立在S上的运算；运算符一般用“△”等表示；(3) 这些运算符在S上是封闭的，即若x, yeS,贝x°yGSo♦集合S具有运算“的代数系统记为(S,)，如果有几个运算则加上几个 运算1 (I, +),其中I为整数集，+为加法运算2 (R, +, x)o3 (I, %)□♦如果两个代数系统有相同个数的运算符，且相应的运算符有相同的n元运算, 则称这两个代数系统类型相同在后面的介绍中，我们主要考虑二元运算例4 (I, +)与(N, x)类型相同，N是自然数集合例5 (I, +, x)与(N, +)类型不相同> 子代数相同(子系统或子代数)：(S\ *)是(S, °)的子系统，如果满足下 列条件：(1) S0(2) 如果 a, beS\ 则 a*b=a°b<>例6 (E, +)是(I, +)的子系统，其中E是偶数集合。

§7.1.2代数系统常见的一些性质1. 结合律:a°(b°c)= (a°b)°c,如集合代数的“并”、“交”运算，命题代数的“合 取”、“析取”运算等，但整数集合的减法运算不满足结合律2. 交换律：a°b= b°a,如集合代数的“并”、“交”运算，命题代数的“合取”、“析取”运算等，但方阵的乘法运算不满足结合律♦如果一个代数系统满足结合律和结合律，则在计算两％2%33“时，可按任 意次序运算3. 分配律：对于代数系统(S,),如果任意的a、b、cgS,有 a°(b*c)=(a°b)*(a°c),则称运算对运算*满足第一分配律如果有 (b*c)°a=(b°a) *(c°a),则称运算对运算*满足第二分配律例8集合代数的“并”对“交”满足分配律，“交”对“并”也满足分配律4. 代数系统(S,)上运算的幺元(单位元或恒等元)：如果某个元素ewS,对 于任意的xwS,有e°x=x°e=x,则称e是幺元例9 (R, +, x),运算+的幺元为0,运算x的幺元为1幺元有左幺元和右幺元，如果任意的xgS,有ei°x=x, q是左幺元，如果任意 的xwS,有x°er=x, 是右幺元由于©0=©.=©,即痊幺元和右幺元相等。

定理7.1.2代数系统(S, °)的运算若存在幺元，则是唯一的证明 如果有另一个幺元e‘，则=eo5. 代数系统上运算的零元：如果某个元素OwS,对于任意的xgS,有6°x=x°0=6, 则称B是零兀例10 (I, x)的0为零元例11 (I+，“min”)，1+正整数集合，min为取两个正整数中最小者，则1 为“min”的零元同样定义左零元和右零元，且左零元二右零元，零元是唯一的6. 代数系统(S,)上运算的的逆元：如果任意的aeS,有afloa=e, 是a的左逆元，如果任意的aeS,有a°ar 1=e, a；】是a的右逆元如果任意的aeS, 有a_loa=a°a_1=e, a"是 a 的逆元定理7.1.3代数系统(S, °),如果运算满足结合律，且一个元素有左、右逆 元，则左、右逆元相等证明 af x=af loe=aflo (a°ap x) = (afloa) °a71=e°a7x=ap1例12 (I, +), 0是其幺元，x的逆元是-x例13非零的有理数集上的乘法，1是其幺元，a的逆元是1/a7. 吸收律：(S, °, *),如果任意的a, bGS,有a° (a*b) =a, a* (a°b) =a,则称运算。

和*满足吸收律如集合代数的交和并运算An(AuB)=A, AkJ(Ar>B)=Ao8. 等幕律(幕等律)：(S, °),如果任意的awS,有a°a=ao如集合代数的交运算§7.2同构与同态两个代数系统的比较§ 7. 2.1同构Aabaabbbb表 7.2.1b表 7.2.1a* I 0 飞0 0 11 1 1上述两个表是代数系统({0,1}, *)和({a, b}, A)的运算表(运算的组合表)其实就是对应的元素不同，其它都完全一样，它们是同构的定义7.2.1设(X,)与(Y, *)是同类型的代数系统，如果存在一一对应的映 射(双射)g： X->Y,使任意的X］、x2gX,都有 g(x1°x2)=g(xi)* g(X2)，则称(X, °)与(Y, *)同构，记为(X, °) = (Y, *), g叫做同构映射两个代数系统同构的三个条件：(1) 必须类型相同；(2) 映射是双射；(3) 在映射g下是保运算的,即g(x1°x2)=g(x1)* g(x2)o例1 (I, +)与(A, +)同构，其中I是整数集，A是偶数集，g： xt2x例3 设 S= {4, 5, 6), P= {1, 2, 3),运算如下表：表 7.2.2ao456445454556456表 7.2.2b*123112121223123证明(1) (S, °)和(P, *)是同类型的；(2) 构造映射g： StP, g(a)=a-3,显然g是个双射；(3) 表a和表b是对称的，所以只需要验证4。

4, 5°5, 6°6, 4°5, 4°6, 56,验证可得g(a1°a2)=g(a1)* g(a2)»因此是保运算的f(b)=c, f(c)=b, f(d)=ao定义7.2.2如果(X, *)与(X, *)同构，则称为自同构abcdaabcdbbaaccbddcdabcd例4 设2 {a, b, c, d),运算如下表:构造映射f： AtA,使f(a)=d,可以验证f的双射且保运算，需要验证:a*a, a*b, a*c, a*d：b*a, b *b, b *c, b *d；c*a, c *b, c *c, c *d；d*a, d *b, d *c, d *do 所以(A, *)在映射f下是自同构的♦同构能够保持上一节中的8个性质下面假设同构映射是g,來验证这些性 质1. 结合律的保持如果(X,)满足结合律，则(Y, *)也满足结合律证 Vyx, y2, y3eY,则有x2> x3eX, ffig(x1)=y1, g(x2)= y2» g(x3)= y3, 那么yi*(y2*y3)= g(Xl)*[g(X2)* g(X3)]=g(X1)*[g(X2OX3)]=g(X1o(X2OX3))= gffXx%)%)) =g(xi°x2)*g(x3)=[ g(xi)* g(x2)]* g(x3)=( yi*y2 )*y3 °2. 交换律的保持如果(X,。

)满足交换律，则(Y, *)也满足交换律证 Vyx, y2 gY,则有X], x2 gX,使 g(x1)=y1, g(x2)= y2» 那么y I*y2 = g(Xi )*g(x2) = g(Xi°x2 )= g(x2 °X1 )= g(x2) *g(x 1 )= y2 *yx □3. 幺元的保持如果(X, °)存在幺元ex，则(Y, *)也存在幺元ey,且g(ex)= eyo证 Vy gY,贝!I有 xwX,使 g(x)=y,另外 g(ej=ey,那么ey*y=g(ex)* g(x)=g(ex°x)=g(x)=y, y*ey = g(x)* g(ex)=g(x°ex)=g(x)=yo4. 逆元的保持如果(X, °)每个“X存在逆元x—-则(Y, *)每个ywY也存在逆元yT 证 Vy gY,贝!I有 xwX,使 g(x)=y,设 x 的逆元是x_1, i£y_1=g(x_1),贝ij y_1*y= g(x-1)* g(x)= g(x_lox)=g(ex)= ,y*y_1= g(x)* g(x_1)= g(x°x_1)=g(ex)= ey,故y~i*y= y*y_1=eyo5. 零元的保持如果(X, °)存在零元则(Y, *)也存在零元Oy,且g(0X)= Oyo证 Vy gY,则有 xgX,使 g(x)=y,另外 g(0x)= 0y,那么ey*y= gOx)* g(x)=g(ox°x)=g(ex)= oy, y*ey=g(x)* g(ox)= g(x°ex)=g(ox)= ey。

6. 分配律的保持如果(X,)满足分配律，则(Y, O, ®)也满足分配律证 Vyx, y2, y3eY,则有x2> x3eX, ffig(x1)=y1, g(x2)= y2» g(x3)= y3, 那么Yi O (y2®y3 )= g(xi) O [ g(x2) ® g(x3 )]= g(Xi) O [ g(x2 *x3 )]=g(X1°(X2*X3))=g((X1oX2)*(X1°X3))= g(x1°x2) Og(Xi°X3)=[g(xi) Og(x2)] ®[g(xi) O g(x3)]=( yi0y2)0(yi0y3 )同理可证y2 (y2Oy3)=(yi®y2)O (yx ®y3 )定理7.2.1代数系统间的同构关系是等价关系证明设(X, °), (Y, *),(乙△)是三个代数系统1) (X, °)与(X, °)是同构的，即(X,)到(X, °)存在同构映射， 所以是自反的2) 设(X, °) = (Y, *),即(X,)到(Y, *)存在同构映射g,下面证明 其逆映射g-l (双射)是(Y, *)到(X,)的同构映射V*, y2eY,存在x】，x2gX,使 g(xx)= yt, g(x2)= y2, Wg_1(y1)= xx, g_1(y2)=x2o 所以 g_1(yi*y2)= g_1(g(xi)* g(x2))= g_1(g(x1ox2))=x1ox2=g_1(yi)0 g_1(y2) BPg-1是(Y, *)到(X, °)的同构映射(3) 如果(X, °) = (V, *), (Y, *)=(乙△),那么存在双射 g： XtY, h： Yt乙使得VX], x2gX 和by” y2eY 有 g(xi°x2)=g(xi)*g(x2) , h(yi*y2)=h(yi)Ah(y2)现在构造复合映射(双射)f=h°g： XtZf(xi°x2)= h°g(x1°x2)= h(g(X]Ox2))=h(g(Xi)* g(x2))=h(g(x1)) A h(g(x2))=h°g(xj A h°g(x2)= f(xt)A f(x2)即f是X到Y的同构映射，所以(X, °)=(乙△)(传递性成立)。

§ 7. 2. 2同态定义7.2.3设(X,)与(Y, *)类型相同，如果存在映射g： XtY,使得 xi，x2gX,有 g(xi°x2)= g(xi)* g(x2),则称(X, °)与(Y, *)同态同态的两个条件：(1)映射可以是多对一、一对一或一一对应；⑵ 映射的象集合可以为g(X)uY或g(X)=Y。