解三角形应用举例-2025年高考数学备考复习.pdf

第六章平面向量、复数第5讲 解三角形应用举例课标要求命题点五年考情命题分析预测能用余弦余弦定2021全国卷本讲知识单一，主要考查利用正、余弦定理求解距定理、正理、正弦乙 T9；离、高度、角度问题，对数学建模能力的要求较高，弦定理解定理应用 2021全国卷一般以选择题形式出现，难度中等.在2025年高考的备决简单的举例甲T8考中要提升阅读理解能力，要能够从文字信息中提取实际问题.出解三角形的模型.n学生用书P129测量中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在竖直平面内的目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线 上方的叫做仰角，目标视线在水平视线 下方的叫做俯角./目标/视线掌 角水平I飞角视线、，目标视线方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.方位角的范围是0W 0=CB、sin45所以高度差 4 4，c c，=N+3=sin750100._o _ V2空坐+100=即:n45+100=%嘤+100=詈 +100=100(V3+1)+100373.sin75 sin75 sinl50 二一夜-4故选B.角度3角度问题例 3 如图所示，位于4 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的8 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西3 0 ,相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东。

的方向即沿直线C2前往8 处救援，则 c o s 0=_ _.解析 在/8 C 中，AB=40,AC=20,Z B A C=120.由余弦定理，得 1202 8 0 0,所以 3 c=2077.由正弦定理，得 sin/C 2=-sin/R 4 C=包.BC7由N A 4C=120,知N4C5 为锐角，故 cosN 4cg=手，从而 cos9=cos(N 4C 5+30)=cosZACBcos 300 sinN4cgsin 30=X-X i=.7 2 7 2 14方法技巧1.解三角形实际问题的一般求解步骤（1）分析.理解题意，分析已知与未知，画出示意图.（2）建模.根据已知条件与求解目标，把已知量与所求量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解三角形的模型.（3）求解.利用正、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.（4）检验.检验上述所求出的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解.2.对于立体测量问题，通常要转化为两类平面问题，一类是竖直放置的平面，通常要解直角三角形；另一类是水平放置的平面，通常要解斜三角形.训 练（1）如图，为测量某塔的高度C,在点N测得塔底在北偏东60方向的点处，塔顶C的仰角为30。

在点A的正东方向且距离D点、50m 的2 点测得塔底在北偏西45方向，则塔的高度CD约 为（参考数据：伤心2.4）（C）A.30 m B.35 m C.40 m D.45 m解析 由题意知，BD=5 0 m,/DAB=NDAC=30,Z DBA=45,在中，由正弦定 理 得 磊=含则 4 0 =50夜 m,所以 tan/ZM C=广=一,得 C D=-弋AD 50V2 3 340（m）,故塔的高度CD约为40 m.故选C.（2）多选 一艘轮船航行到/处时看灯塔2 在/的 北 偏 东 75方向，距离为12连海里,灯塔C 在/的 北偏西30方向，距离为12g海里，该轮船由/沿正北方向继续航行到处时再看灯塔8 在其南偏东60方向，则下列结论正确的有（ABD）A./Z）=24 海里B.CD=12 海里C.Z CDA=60 或/CDA=120D.ZCDA=60解 析 如图，由题意得N 3/D=75,ZCAD=30,Z A D B=60,A B=12迎海里，/C=1 2百海里，在中，易得2=4 5 ,由正弦定理得3 ,黑=磊，则4D=上 步=24（海里），故 A 正 确.在 中，由余sin45 sin60 见2弦定理得 C O Z n/c+N。

22X/C XN）XCOS3 0 ,得 CD（12百）2+242-2X12V3X24X=1 4 4,所以CD=12海里，故 B 正 确.在 中，由正弦定理得-=2sin30A-,得 s in/C D 4=%=,故/C7M =60或=1 2 0,因为 所以sinz.CDA 12 2/C D 4 为锐角，所以NCO/=6 0 ,故 C 错误，D 正确.故选ABD.1.角 度 1 如图，曲柄连杆机构中，曲柄C 3绕 C 点旋转时，通 过 连 杆 的 传 递，使活塞做直线往复运动.当曲柄在C为位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点/在恁处.设连杆A B长 200 m m,曲柄C B长 70 m m,则曲柄自C为按顺时针方向旋转53.2时，活塞移动的距离（即连杆的端点/移动的距离/B）约 为 36 mm.（结果保留整数，取 sin 53.2W）I.解析 解法一 在N8C 中，AB=200 mm,5C=70mm,ZACB=53.2,sin/N C 3=(由正弦定理得sin/R 4C=空 辿*=口，由题意知/2/C,N/C 3 均为锐角，所以co s/2/C=_ ()2=|,co sZ A C B=Jl-(.)2=|,所以 sinN/5C=sin(ZACB+ABAC)=-X+-X=一,所以/C=-=200X-X-=234(m m),故/自=5 25 5 25 125 smZ-ACB 125 4(4)5o+&C)AC=(200+70)-234=36(m m),即曲柄自C&按顺时针方向旋转53.2。

时，活塞移动的距离约为36mm.解法二 因为/NC5=53.2,sinZ A C B=,且/C 8 为锐角，所以 co s/4 cB=J l-s i/乙4cB=2.在4BC 中，由余弦定理可得/5 2=/C2+B C2-2 /C X BCCOSN/C 2,解得NC=234mm(负值舍去),故 44=(A0B0+B0C)AC=(200+70)234=36(m m),即曲柄自C为按顺时针方向旋转53.2时，活塞移动的距离约为36mm.2.角度2如图，为测量山高M V,选择/和另一座山的山顶C 为测量 *观测点，从点4 测得点M 的仰角/M NN=60点 C 的仰角/C 48=45 厂：/以及/M 4C=75测得/MCN=60已知山高B C=1 0 0 m,贝|；-4 u山高 MN=150 m.解析 在4BC 中，因为/A 4C=45,ZABC=9Q,5 c=1 0 0,所以/C=B-=100夜.sin45在中，因为NM4C=75,ZM C A=60,所以N 4W C=45,由正弦定理可得卫”sin600=鳖 2 解 得/河=100b.在 R t 4 W 中，jW=/M sinN M 4N=100bX sin60=150sin45以山高MV为 150 m.(-)练习帮:练透好题 精准分层-。

学生用书练习帮P325 础 练 知识四关1.2024黑龙江省实验中学开学考试 中国古代四大名楼之一鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作 登鹳雀楼而闻名遐迩.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度M N,在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物/瓦高约为37 m,在地面上点处(B,C,N 三点共线)测得建筑物顶部/,鹳雀楼顶部M 的仰角分别为30和 45在 N处测得鹳雀楼顶部M 的仰角为15则 鹳 雀 楼 的 高 度 约 为(B)A.64 m B.74 m C.52 mD.91 m解析 在 RtZXZBC 中，ABLBC,AB=37,Z A C B=30,所以 4C=2/5=7 4,在及ACVC 中，NC上MN,NMCN=45所以 ACV=MCsin 45由题意，/M AC=15+30=45,ZMC4=180-45-30=105,故180 10545=30.在/C W 中，由正弦定理MCsinz.MAC4csinz.AMC行MC付 sin4574sin30Q,故 MC=7 4 所以MN=y X 7 4 V 2=7 4,故选 B.2.设问创新/多选024江苏南通阶段检测 重庆的解放碑是重庆的地标性建筑，吸引了众多游客打卡拍照.某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，如图所示，4 为解放碑的顶端，8 为 基 座（8 在/的正下方），在步 行 街（与 8 在同一水平面内）上选取C,。

两点，测 得 C 的长为100 m.小组成员利用测角仪已测得/C B=g 则根据下列各组中的测量,3数据，能 计 算 出 解 放 碑 高 度 的 是（ABD）nA.ZBCD,ZBDC B.ZACD,ZADCC.ZBCD,ZACD D.ZBCD,ZADC解 析 对于A,根据CD,ZBCD,Z B D C,可解三角形求得C 3,从而在RtZ48C中求得A B,所以A 符合题意.对于B,根据CD,ZACD,Z A D C,可解三角形求得/C,从而在R tZ/8C 中求得N8,所以B 符合题意.对于C,根据CD,ZACB,ZBCD,N/C D 四个条件，无法通过解三角形求得4 8,所以C 不符合题意.对于D,第一步，/A C B已 知,在 RtZ4BC中，用4 8 表示出3C,A C;第二步，在BCD中，根 据 余 弦 定 理 用 表 示 出 A D,在/?（中，根据正弦定理用4 8 表示出A D-,第三步，在中，利用勾股定理列方程，即可求得48.所以D 符合题意.3.2023皖豫名校联考 如图，一艘巡逻船由南向北行驶，在/处测得某山的底部在北偏东15方向上，匀速向北航行20 min到达3 处，此时测得该山的底部C 在北偏东60。

方向上，测得山顶P（尸在C 正上方）的仰角为6 0 ,已知山的高度为2遮 km.则巡逻船的航行速度为6（+1）km/h.i解析 由题意知，在3C尸中，PC=2V3 km,ZPBC=6 0 ,故 ta n/P 8 C=仃，得5C=2km.在中，0 =60 15则 嬴 嬴=嬴 而即，上一=_ 与_sin 15 sin 45sin 15=sin(453 0 )=以，所以 A B u d l X-p=2(V3+1)(k m).所以巡逻船476 72的航行速度为 2(遍+1)+：=6(V3+1)(km/h).4.2023郑州一中期中 如图所示，遥感卫星发现某海域上有三个小岛，小岛3 位于小岛/北偏东75的 60海里处，在小岛8 北偏东 15方向上，相 距(30国一3 0)海里处有一个小岛C.(1)求小岛/与小岛C 之间的距离；(2)如果有游客想直接从小岛/出发到小岛C,求游船航行的方向.解析(1)在4BC 中，NB=60,3 c=30旧一30,/4 B C=180 75+15=120根据余弦定理得，AC2A B2+BC2-2ABBC-COSZABC 602+(30V3-30)2-2X 60X(30百一3 0)义cos 120。

5 4 0 0,得 NC=30限小岛/与小岛C 之间的距离是30历海里.(2)根据正弦定理得,AC _ ABsinz.ABC sinz.ACB 30V6 _ 60(*sml20-sinZi4CB,得 sinZAC B=f又,.05由光线反射性质得/5 0=N C A D,所以ta n/4 B 0=tan/C A D,即 也=以，同理可得GO tti-=,0 十 a a2由可得=也，解得a o=/l L,代入整理得=同 S 2 j a i)=4.5 X ,/T2)=6,故C LQ al a2 -al 九 1-5选 A.6.背景创新 1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长(即视角最大，视角是指由物体两端引出的两条光线在眼球内交叉而成的角)？这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山顶上的铁塔，塔高9 0 m,山。