换元法与通项归纳.doc

-学 习 改 变 命 运-- 1 -第一部分 计算综合第四讲第四讲 换元与通项归纳换元与通项归纳【【专题知识点概述专题知识点概述】】本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高授课批注授课批注】】在计算中，还原是化零为整，把繁琐的算式用一个字母代替在计算中，还原是化零为整，把繁琐的算式用一个字母代替 ，进而得到化简的目的，体，进而得到化简的目的，体现了数学的灵活性但是和裂项一样要求学生善于观察，敢于发现算是中蕴藏的规律，巧现了数学的灵活性但是和裂项一样要求学生善于观察，敢于发现算是中蕴藏的规律，巧妙利用规律使问题简化，这是对所有学习此部分学生提出的一个能力要求妙利用规律使问题简化，这是对所有学习此部分学生提出的一个能力要求换元与通项归纳1 1、、 “ “通项归纳通项归纳” ”可以形象地说成可以形象地说成“ “找规律，总结性的写出第找规律，总结性的写出第 n n 项项” ”，它其实是我们解，它其实是我们解决奥数问题的一种重要思想，我们先通过几道题目体会这种思路，而后在较复决奥数问题的一种重要思想，我们先通过几道题目体会这种思路，而后在较复杂的裂项中将充分展示它的魅力！如果发现式子中都是成规律的运算，可先找杂的裂项中将充分展示它的魅力！如果发现式子中都是成规律的运算，可先找出通项公式，根据通项展示的规律性结论，解答问题。

对于简单题目这样做也出通项公式，根据通项展示的规律性结论，解答问题对于简单题目这样做也许会显得比较繁琐，当碰到较复杂的题目时，这个思路会很清晰的像我们展示许会显得比较繁琐，当碰到较复杂的题目时，这个思路会很清晰的像我们展示其中蕴含的规律，大大简化计算过程其中蕴含的规律，大大简化计算过程2 2、换元则是将算式中相同的因数或因式利用一个或几个字母代替运算，使问题、换元则是将算式中相同的因数或因式利用一个或几个字母代替运算，使问题简化授课批注授课批注】】在给学生讲解此部分知识时，要分题型来讲，例如用一个字母换元的，用两个字母换元的，在给学生讲解此部分知识时，要分题型来讲，例如用一个字母换元的，用两个字母换元的，有关公式裂项，含有平方数以及其它类型的，另：换元要用到乘法分配律可以先铺垫有关公式裂项，含有平方数以及其它类型的，另：换元要用到乘法分配律可以先铺垫学 习 改 变 命 运-- 2 -【【重点难点解析重点难点解析】】1 1．寻找算式中相同的因式．寻找算式中相同的因式2 2．寻找算式中变化的规律．寻找算式中变化的规律1.1. 繁分的化简繁分的化简【【竞赛考点挖掘竞赛考点挖掘】】1 1．利用通项化简算式．利用通项化简算式2 2．繁分数的运算．繁分数的运算-学 习 改 变 命 运-- 3 -【【习题精讲习题精讲】】【【例例 1】1】 （难度级别（难度级别 ※※））11111111111111(1) ()(1) ()23423452345234【【例例 2】2】 （难度级别（难度级别 ※※※※））111111111111111111(1...) (...)(...) (1...)23499100234992349910023499【【例例 3】3】 （难度级别（难度级别 ※※※※））   947458358739207378947458358739126621207378947458358739947458358739126621【【例例 4】4】 （难度级别（难度级别 ※※※※））21239123911239239()()(1) ()23410234102234103410LLLL-学 习 改 变 命 运-- 4 -【【例例 5】5】 （难度级别（难度级别 ※※※※※※））(7.88＋6.77＋5.66)×(9.31＋10.98＋10)－(7.88＋6.77＋5.66＋10)×(9.31＋10.98)＝______。

例例 6】6】 （难度级别（难度级别 ※※※※※※））计算：2222222212232004200520052006 1 22 32004 20052005 2006L【【例例 7】7】 （难度级别（难度级别 ※※※※※※））2221111112131991   L【【例例 8】8】 （难度级别（难度级别 ※※※※※※））111112123122006-学 习 改 变 命 运-- 5 -【【例例 9】9】 （难度级别（难度级别 ※※※※※※））12389(1) (2) (3)(8) (9)234910L【【例例 10】10】 （难度级别（难度级别 ※※※※※※））3332223333222233322233223226212621 43214321 321321 2121 11 【【例例 11】11】 （难度级别（难度级别 ※※※※※※※※））计算 57171911552343458 9 109 10 11   L（）【【例例 12】12】 （难度级别（难度级别 ※※※※※※※※※※））22 2 2281181181111()()(1) ()118118118811-学 习 改 变 命 运-- 6 -【【例例 13】13】 （难度级别（难度级别 ※※※※※※※※））234101----1 (12) (12) (123) (123) (1234)(129) (129 10) LLL【【例例 14】14】 （难度级别（难度级别 ※※※※※※※※））   22222210211 211 11 21201 541 32124LLL【【例例 15】15】 （难度级别（难度级别 ※※※※※※※※））计算下列式子的值：22222211111111111111(1+++++...+) +(++++...+) +(+++...+)23451980122345198012345198012 111111111111+(++...+) +(++...+) +...+() +(1+++++...+)45198012561980121980122345198012-学 习 改 变 命 运-- 7 -【【例例 16】16】 （难度级别（难度级别 ※※※※※※※※））试求 1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+…+99×100【【例例 17】17】 （难度级别（难度级别 ※※※※※※※※））12123 123412350 2232342350    LLL【【例例 18】18】 （难度级别（难度级别 ※※※※※※※※））1111(1 2)(2 3)(3 4).....(7 8)3 44 55 69 10    -学 习 改 变 命 运-- 8 -【【例例 19】19】 （难度级别（难度级别 ※※※※※※※※※※））试求+的和？20051141312120051141311111【【例例 20】20】 （难度级别（难度级别 ※※※※※※※※※※））已知 a＝，b＝，试比较 a、b 的大小．99113121100199113121-学 习 改 变 命 运-- 9 -【【习题精讲习题精讲】】【【例例 1】1】 （难度级别（难度级别 ※※））11111111111111(1) ()(1) ()23423452345234【【分析与解分析与解】】设设，则原式化简为：，则原式化简为：111 234a 1111(1555aaaa( + )( + )-+ )=【【例例 2】2】 （难度级别（难度级别 ※※※※））111111111111111111(1...) (...)(...) (1...)23499100234992349910023499【【分析与解分析与解】】设设，，11111...23499100a 则原式可化为：则原式可化为：. .111(1)()(1)100100100a aaa 【【例例 3】3】 （难度级别（难度级别 ※※※※））   947458358739207378947458358739126621207378947458358739947458358739126621【【分析与解分析与解】】设设621739458739458,126358947358947ab原式原式378378378621378()()()9207207207126207ababab【【例例 4】4】 （难度级别（难度级别 ※※※※））21239123911239239()()(1) ()23410234102234103410LLLL【【分析与解分析与解】】-学 习 改 变 命 运-- 10 -设设，则有，则有1239 23410t L22211111(1)()()222222tttt ttttt  【【例例 5】5】 （难度级别（难度级别 ※※※※※※））(7.88＋6.77＋5.66)×(9.31＋10.98＋10)－(7.88＋6.77＋5.66＋10)×(9.31＋10.98)＝______。

分析与解分析与解】】设设 7.887.88＋＋6.776.77＋＋5.66=a,5.66=a, 9.319.31＋＋10.98=b.10.98=b.原式原式=a=a（（b b＋＋1010））-b(a-b(a＋＋10)=0.210)=0.2【【例例 6】6】 （难度级别（难度级别 ※※※※※※））计算：2222222212232004200520052006 1 22 32004 20052005 2006L【【分析与解分析与解】】（法（法 1 1）：可先来分析一下它的通项情况，）：可先来分析一下它的通项情况，2222(1)(1)1 (1)(1)(1)1nnnnnnnannnnnnnn原式原式= =213243542005200420062005()()()()()()122334452004200520052006L200520052005 2401020062006 （法（法 2 2）：）：22222(1)2211122(1)(1)nnnnnannnnnnnn【【例例 7】7】 （难度级别（难度级别 ※※※※※※））2221111112131991   L-学 习 改 变 命 运-- 11 -【【分析与解分析与解】】22221(1)(1)1(1)1(1)1(2)nnnannnn 原式原式2 23 398 9899 99 (2 1) (2 1)(3。