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第四章第四章 态和力学量表象态和力学量表象 §§1 态的表象态的表象 §§2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示§§3 量子力学公式的矩阵表述量子力学公式的矩阵表述 §§4 Dirac 符号符号§§5 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象§§6 么正变换矩阵么正变换矩阵§1§2§3§4§5§6返回返回 （一）动量表象（一）动量表象（二）力学量表象（二）力学量表象（三）讨论（三）讨论§1 态的表象返回返回到目前为止，体系的状态都用坐标到目前为止，体系的状态都用坐标( (x,y,zx,y,z) )的函数表示，也就是说的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数力学量则用作用于坐标函数的算符表示描写状态的波函数是坐标的函数力学量则用作用于坐标函数的算符表示但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对不是唯一的一样坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。
空间的描写是完全是等价的波函数也可以选用其它变量的函数，波函数也可以选用其它变量的函数， 力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象以前采用表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象以前采用的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象 在坐标表象中，体系的状态用波函数在坐标表象中，体系的状态用波函数Ψ(x,tΨ(x,t) )描写，这样一个态如描写，这样一个态如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍动量本征函数：动量本征函数：组成完备系，任一组成完备系，任一状态状态Ψ可按其展开可按其展开展开系数展开系数假设假设 Ψ(x,tΨ(x,t) ) 是归一化波函数，是归一化波函数，则则 C(p,tC(p,t) ) 也是归一也是归一命题命题证证（一）动量表象（一）动量表象 | |C(p,tC(p,t)|)| 2 2 d p d p 是在是在Ψ(x,tΨ(x,t) )所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在p → p + d p p → p + d p 范围内的几率。
范围内的几率 |Ψ(x,tΨ(x,t)|)| 2 2d x d x 是在是在Ψ(x,tΨ(x,t) )所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在x → x + d x x → x + d x 范围内的几率范围内的几率Ψ(x,tΨ(x,t) ) 与与 C(p,tC(p,t) ) 一一 一一 对应，描述同一状态对应，描述同一状态Ψ(x,tΨ(x,t) ) 是该状态在坐标表象中的波函数；是该状态在坐标表象中的波函数；而而C(p,tC(p,t) ) 就是该状态在动量表象中的波函数就是该状态在动量表象中的波函数C(p,tC(p,t) ) 物理意义物理意义 若若Ψ(x,tΨ(x,t) ) 描写的态是具有确描写的态是具有确定动量定动量 的自由粒子态，即：的自由粒子态，即：则相应动量表象中的波函数：则相应动量表象中的波函数：所以，在动量表象中，所以，在动量表象中，具有确定动量具有确定动量p p’的粒的粒子的波函数是以动量子的波函数是以动量p p为变量的为变量的δ- 函数换言之，动量本征函换言之，动量本征函数在自身表象中是一数在自身表象中是一个个δδ函数。
函数x x 在自身表象即坐标表象中对应在自身表象即坐标表象中对应有确定值有确定值 x x’本征函数是本征函数是 δ(x'-xδ(x'-x) )同样同样这可由本征这可由本征值方程看出：值方程看出： 那末，在任一力学量那末，在任一力学量Q Q表象中，表象中，Ψ(x,tΨ(x,t) ) 所描写的态又如何表示呢？所描写的态又如何表示呢？推广上述讨论：推广上述讨论：x, px, p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，因此可以对任何力学量因此可以对任何力学量Q Q都建立一种表象，称为力都建立一种表象，称为力学量学量 Q Q 表象问题问题（（1）具有分立本征值的情况）具有分立本征值的情况（（2）含有连续本征值情况）含有连续本征值情况（二）力学量表象（二）力学量表象 （（1）具有分立本征值的情况）具有分立本征值的情况设设 算符算符Q的本征值为：的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn, ...，， 相应本征函数为：相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
将将Ψ(x,t) 按按 Q 的的本征函数展开：本征函数展开：若若Ψ, un都是归一化的，都是归一化的，则则 an(t) 也是归一化的也是归一化的证：由此可知，由此可知，| a| an n| | 2 2 表示表示在在Ψ(x,tΨ(x,t) )所描述的状态所描述的状态中测量中测量Q Q得得Q Qn n的几率a a1 1(t), a(t), a2 2(t), ..., (t), ..., a an n(t(t), ...), ...就是就是Ψ(x,t)所描写状态所描写状态在在Q表象中的表示表象中的表示写成写成矩阵形式矩阵形式 共轭矩阵共轭矩阵归一化可写为归一化可写为 （（2）含有连续本征值情况）含有连续本征值情况例如氢原子能量就是这样一种力学量，例如氢原子能量就是这样一种力学量，即有分立也有连续本征值即有分立也有连续本征值设力学量设力学量 Q Q 的本征值和本征函数分别为：的本征值和本征函数分别为：Q1, Q2, ..., Qn, ..., qu1(x), u2(x), ..., un(x), ..., uq(x)则则归一化则变为：归一化则变为：|an(t)|2 是在是在 Ψ(x,t) 态中测量力学量态中测量力学量Q 所得结果为所得结果为 Qn 的几率；的几率；|aq(t)|2dq 是在是在Ψ(x,t) 态中态中测量力学量测量力学量 Q 所得结果在所得结果在q → q + d q之间的几率。
之间的几率在这样的表象中，在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵仍可以用一个列矩阵表示：表示：归一化仍可表为：归一化仍可表为：Ψ+Ψ= 1 这这类类似似于于一一个个矢矢量量可可以以在在不不同同坐坐标标系系描描写写一一样样矢矢量量 A A在在直直角角坐坐标标系系由由三三分分量量A Ax x A Ay y A Az z 描描述述；；在球坐标系用三分量在球坐标系用三分量A Ar r A A A A 描述 A Ax x A Ay y A Az z 和和 A Ar r, A, A , A, A 形式不同，但描写同一矢量形式不同，但描写同一矢量A A态矢量态矢量基本矢量基本矢量同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同，同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同，波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态三）讨论（三）讨论 波函数波函数是是态态矢矢量量ΨΨ在在Q Q表表象象中中沿沿各各基基矢矢方方向向上上的的“分分量量”Q Q表表象象的的基基矢矢有有无无限限多多个个，，所所以以态态矢矢量量所所在在的的空空间间是是一一个个无无限限维维的的抽抽象象的的函函数数空空间，称为间，称为HilbertHilbert空间。
空间所以我们可以把状态所以我们可以把状态ΨΨ看成是一个矢量看成是一个矢量——态矢量选取一个特定力学量选取一个特定力学量 Q Q 表象表象，相当于选取特定的坐标系，，相当于选取特定的坐标系，u1(x), u2(x), ..., un(x), ...是是 Q 表象表象 的基本矢量简称的基本矢量简称基矢基矢 （一）力学量算符的矩阵表示（一）力学量算符的矩阵表示（二）（二）Q Q 表象中力学量算符表象中力学量算符 F F 的性质的性质（三）（三）Q Q 有连续本征值的情况有连续本征值的情况§§２２ 算符的矩阵表示算符的矩阵表示返回返回 坐标表象：坐标表象：Q表象：表象：假设只有分立本征值，将假设只有分立本征值，将Φ, ΨΦ, Ψ按按{ {u un n(x(x)})}展开：展开：两边左乘两边左乘 u*u*n n(x(x) )并对并对 x x 积分积分Q Q表象的表象的表达方式表达方式代入代入（一）力学量算符的矩阵表示（一）力学量算符的矩阵表示 Q表象的表达方式表象的表达方式F 在在 Q 表象中是一个矩阵，表象中是一个矩阵，Fnm 是其矩阵元是其矩阵元Φ=FΨ简写成简写成写成矩阵形式写成矩阵形式 不难证明补充：角动量升降阶算符补充：角动量升降阶算符(I) 定义定义显显然然有有如如下下性性质质所以，这两个算符所以，这两个算符不是厄密算符。
不是厄密算符II) 对易关系对易关系不不难难证证明明 可见，可见，(L+ Yl m) 也是也是 Lz 与与 L2 的共同本征函的共同本征函数，对应本征数，对应本征值分别为值分别为 (m+1) 和和 l (l+1) 2III) (III) 证明：证明：证：证：将将 Eq. (1) 作用于作用于 Yl m 得：得：将将 Eq. (2) 作用于作用于 Yl m 得：得：由于相应于这些本征值的本征函数是由于相应于这些本征值的本征函数是 Y Yl l, m+1, m+1所以，所以，L L+ + Y Yl l m m 与与 Y Yl l, m+1, m+1 二者仅差一个常数，即二者仅差一个常数，即 求求: 常系数常系数 al m, bl m首先对首先对式左边式左边 积分积分并注意并注意 L- = L++再计算再计算式右积分式右积分比较比较二式二式由（由（4）式）式 写写成成矩矩阵阵例例 1：求：求 Lx 在在 L2, Lz 共同表象，共同表象， =1时的矩阵表示时的矩阵表示令： 令： u u1 1 = Y = Y11 11 u u2 2 = Y = Y10 10 , u, u3 3 = Y = Y1-11-1 Lx矩阵是矩阵是3×3矩阵矩阵计算中计算中使用了使用了公式公式由此得由此得Lx矩阵元矩阵元(L(Lx x) )11 11 = (L= (Lx x) )22 22 = (L= (Lx x) )33 33 = 0 = 0 (L(Lx x) )13 13 = (L= (Lx x) )31 31 = 0= 0(L(Lx x) )12 12 = (L= (Lx x) )21 21 = (L= (Lx x) )23 23 = (L= (Lx x) )32 32 = = /2 /21/21/2Lz在自身表象中具有最简在自身表象中具有最简单形式，是一个对角矩阵，单形式，是一个对角矩阵，对角元素就是对角元素就是 Lz的本征值。
的本征值 同理可得同理可得Ly Lz则则 L Lx x 的矩阵元可如下计算：的矩阵元可如下计算： （（1 1）力学量算符用厄密矩阵表示）力学量算符用厄密矩阵表示所以厄密算符的矩阵所以厄密算符的矩阵表示是一厄密矩阵表示是一厄密矩阵例例2 2：在例：在例1 1中给出了中给出了 L Lx x, , L Ly y在在 L L2 2, , L Lz z表象中的矩阵表象中的矩阵形式，下面我们验证一下形式，下面我们验证一下这两个矩阵是厄密矩阵这两个矩阵是厄密矩阵厄密矩阵厄密矩阵（二）（二）Q Q表象中力学量算符表象中力学量算符 F F 的性质的性质 （（2 2）力学量算符在自身表象中的形式）力学量算符在自身表象中的形式Q的矩阵形式的矩阵形式结论：结论：算符在自身表象中是一算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就对角矩阵，对角元素就是算符的本征值是算符的本征值 （（1）只有连续本征值）只有连续本征值如果如果 Q Q只有连续本征值只有连续本征值q q ，上面的讨论仍然适用，，上面的讨论仍然适用，只需将只需将u, a, bu, a, b的角标从可数的的角标从可数的 n, m n, m 换成连续变换成连续变化的化的 q q，求和换成积分，见下表。
求和换成积分，见下表分立谱分立谱连续谱连续谱算符算符F在在Q表象仍是一个表象仍是一个矩阵，矩阵元由下式确定：矩阵，矩阵元由下式确定：只是该矩阵的行列只是该矩阵的行列是不是可数的，而是不是可数的，而是用连续下标表示是用连续下标表示（三）（三） Q Q 有连续本征值的情况有连续本征值的情况 例例3 3：求坐标表象中：求坐标表象中 F F的矩阵元的矩阵元例例4：： 求动量表象中求动量表象中 F的矩阵元的矩阵元要计算此积分，需要要计算此积分，需要知道知道 F的具体形式的具体形式. （一）平均值公式（一）平均值公式（二）本征方程（二）本征方程（三）（三）SchrodingerSchrodinger方程的矩阵形式方程的矩阵形式返回返回§3 §3 量子力学公式的矩阵表述量子力学公式的矩阵表述 坐标表象平均值公式坐标表象平均值公式在在Q表象中表象中式右写成矩阵相乘形式式右写成矩阵相乘形式简写成简写成（一）平均值公式（一）平均值公式 写成矩阵形式写成矩阵形式表成显式表成显式整整理理改改写写上式是一个齐次线性方程组上式是一个齐次线性方程组方程组有不完全为零解的条件是方程组有不完全为零解的条件是系数行列式等于零系数行列式等于零久久期期方方程程求解此久期方程得到一组求解此久期方程得到一组λ值：值：λ1, λ2, ..., λn, ....就是就是F的本征值。
的本征值将其分别代入原齐次线性方程组就将其分别代入原齐次线性方程组就能得到相应于各能得到相应于各λi的本征矢的本征矢于是求解微分方程的问题就化于是求解微分方程的问题就化成了求解代数方程根的问题成了求解代数方程根的问题二）本征方程（二）本征方程 例例1 1：： Â 本征函数本征函数 u um m(x(x) ) 在自身表象中的矩阵表示在自身表象中的矩阵表示同样将同样将 u um m(x(x) ) 按按 Â 的本征函数展开：的本征函数展开：显显然然有有所以所以 u um m(x(x) ) 在自身表象中的矩阵表示如下：在自身表象中的矩阵表示如下：例如：例如： L L2 2, , L Lz z的共同本征函数的共同本征函数Y Y1111, Y, Y1010, Y, Y1-11-1. .在在 L L2 2, , L Lz z 的共的共同表象中的矩阵形式就特别简单同表象中的矩阵形式就特别简单例例2 2：求：求 L Lx x本征态在本征态在 L Lz z表象中的矩阵表象中的矩阵表示，只讨论表示，只讨论( ( =1)=1)情况Lx的本征方程为：的本征方程为：解解欲得欲得a1, a2, a3 不全为零的解，必须要求系数行列式等于零不全为零的解，必须要求系数行列式等于零λ(-λ2 + 2) = 0 解得本征值解得本征值λ= 0, λ= 0, ±. . 取取λ= 代入本征方程得：代入本征方程得：解得：解得：a1=(1/21/2) a2 a3=(1/21/2) a2 由归由归一化一化条件条件定定 a2为简单计为简单计取实数取实数同理得另外两个本征值相应本征函数同理得另外两个本征值相应本征函数则则 =1, Lx = 的本征态的本征态可记为：可记为： 写写 到到 Q 表表 象象按力学量算符按力学量算符 Q的本征函数展开的本征函数展开左乘左乘 um*(t) 对对 x 整个空间积分整个空间积分Ψ H Ψ H 都是矩阵都是矩阵简写简写（三）（三）SchrodingerSchrodinger方程的矩阵形式方程的矩阵形式 例题（4.2）求一维无限深势(0,a)中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。
解：在势阱解：在势阱(0,a)中能量算符的本征函数为中能量算符的本征函数为∴ ∴在能量表象中，在能量表象中， ，， 则有：则有： 作作 业业•周世勋：《量子力学教程》4.1、、 4.3、、 4.4 §4 Dirac 符号符号 ( (一）引一）引 ( (二二) ) 态矢量态矢量（三）算符（三）算符（四）总结（四）总结返回返回 n前几章给出的都是前几章给出的都是 X - X - 表象中的形式，表象中的形式，n本章中给出了任一力学量本章中给出了任一力学量 Q-Q-表象中的形式，它们都是取定了某表象中的形式，它们都是取定了某一具体的力学量空间一具体的力学量空间, ,即某一具体的力学量表象量子描述除了即某一具体的力学量表象量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式中也可用矢量形式 A A 来表示一个矢量，来表示一个矢量，n而不用具体坐标系中的分量而不用具体坐标系中的分量(A(Ax x, A, Ay y, , A Az z) )表示一样。
表示一样n量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律这种抽象的描述方法是由这种抽象的描述方法是由 Dirac Dirac 首先引用的，首先引用的，n所以该方法所使用的符号称为所以该方法所使用的符号称为 Dirac Dirac 符号 (一）引一）引 （（1 1）右矢空间）右矢空间前前面面已已经经讲讲过过，，一一个个状状态态通通过过一一组组力力学学量量完完全全集集的的测测量量（（完完全测量）来确定，通常用所测得的力学量的量子数来确定全测量）来确定，通常用所测得的力学量的量子数来确定例例如如：：一一维维线线性性谐谐振振子子其其状状态态由由量量子子数数 n n 确确定定，，记记为为ψψn n(x(x) )；；氢氢原原子子的的状状态态由由量量子子数数 n, l, mn, l, m 确定，记为确定，记为 ψψn n l m l m( r,( r, , , ) )，， 如此等等如此等等在在抽抽象象表表象象中中 Dirac Dirac 用用右右矢矢空空间间的的一一个个矢矢量量 | | > >与与量量子子状状态态相相对对应应，，该该矢矢量量称为右矢。
称为右矢n > |n > ψψn n(x(x) )；； |n, l, m > |n, l, m > ψψn n l m l m状态状态 |n > |n > 和和 |n, l, m >亦可分别记成亦可分别记成 | |ψψn n > > 和和 | |ψψn n l m l m > >对力学量的本征态可表示为对力学量的本征态可表示为 |x>, |p>, ||x>, |p>, |Q Qn n> ...> ... 等因因为为力力学学量量本本征征态态构构成成完完备备系系，，所所以以本本征征函函数数所所对对应应的的右右矢矢空空间间中中的的右右矢矢也也组组成成该该空空间间的的完完备备右右矢矢（（或或基基组组）），，即即右右矢矢空空间间中的完备的基本矢量（简称基矢）中的完备的基本矢量（简称基矢）右右矢矢空空间间的的任任一一矢矢量量 |ψ> |ψ> 可可按按该该空空间间的的某某一一完备基矢展开完备基矢展开例如：例如：( (二二) )态矢量态矢量 （（2 2）左矢空间）左矢空间右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为左矢量，记为 < |< |。
例如：例如：Dirac 符号符号右右矢矢空空间间和和左左矢矢空空间间称称为为伴伴空间或对偶空间，空间或对偶空间，<ψ | <ψ | 和和 |ψ> |ψ> 称为伴矢量称为伴矢量|ψ>和和 <φ| <φ| 的标积为：的标积为：显然显然< <φ|ψφ|ψ> >* * = < = <ψ|φψ|φ> > 这就是用这就是用DiracDirac表示的波函数表示的波函数归一化条件。
归一化条件由标积定义得由标积定义得: : 本征态的正交归本征态的正交归一化条件可写为：一化条件可写为：由此可以看出由此可以看出 |ψ> |ψ> 和和 <ψ|<ψ|的关系：的关系：1 1）在同一确定表象中，各分量互为复共轭；）在同一确定表象中，各分量互为复共轭；2 2）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加；）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加；3 3）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数4 4）本征函数的封闭性）本征函数的封闭性展开式展开式两边左乘两边左乘 < 是任意态矢量，所以是任意态矢量，所以成立成立本征矢本征矢 |Qn > 的封闭性的封闭性I 分分 立立 谱谱 对于连续谱对于连续谱 |q > ，，q 取连续值，任一状态取连续值，任一状态 |ψ > 展开式为：展开式为：II 连连 续续 谱谱左乘左乘 < q' | 代入代入原式原式因为因为 |ψ > |ψ > 是任意态矢，所以有是任意态矢，所以有 同理，对于同理，对于 |x’ >|x’ > 和和 |p' >|p' > 分分 别别 有有这就是连续本征值的本征矢的封闭性。
这就是连续本征值的本征矢的封闭性由于由于所以所以 它们也它们也称为单位算符，称为单位算符，在运算中可插在运算中可插入（乘到）公入（乘到）公式任何地方而式任何地方而不改变原公式不改变原公式的正确性的正确性例如：在例如：在 |ψ > 左侧插入算符左侧插入算符 同理同理即得态矢按各种力学量本征矢的展开式即得态矢按各种力学量本征矢的展开式 投影算符投影算符| |Q Qn n><> > 或或 <
所以，我们也可以把封闭性解释为本征函数对于本征值的求和或积分是正交归一的它来自于本征函数的完备性，也是本征函数完备性的表示它来自于本征函数的完备性，也是本征函数完备性的表示分立谱分立谱连续谱连续谱封闭性与正交封闭性与正交归一性比较归一性比较在形式上在形式上二者相似二者相似区别区别 (1) (1) 右右矢空间矢空间在抽象的在抽象的DiracDirac表象表象DiracDirac 符符号号的的特特点点是是简简单单灵灵活活如如果果欲欲把把上上式写至式写至 Q Q 表象，则只需在适当位置插入单位算符表象，则只需在适当位置插入单位算符左乘左乘 < 若若 F是是厄密算符厄密算符 例：力学量算符例：力学量算符 x x 在动量中的形式在动量中的形式左乘左乘 < p |< p |代回原式代回原式故坐标算符故坐标算符 x x 在动量表象中取如下形式在动量表象中取如下形式: : （（1 1））X X 表象描述与表象描述与 Dirac Dirac 符号符号Dirac Dirac 符号符号 项目项目X X 表象表象（四）总结（四）总结 （（2 2）左右矢空间的对应关系）左右矢空间的对应关系左矢空间左矢空间 右矢空间右矢空间（（3 3）） 厄密共轭规则厄密共轭规则由常量由常量 C C、左矢、右矢和算符组成的表、左矢、右矢和算符组成的表示式，求其厄密共轭式的表示规则示式，求其厄密共轭式的表示规则1 1）把全部次序整个颠倒）把全部次序整个颠倒2 2）作如下代换：）作如下代换：常量常量 C CC C* *< | < | 左矢左矢 右矢右矢 | > | > | > < | | > < | 例如例如 （一）算符（一）算符 a, a+, N.a, a+, N.（二）占有数表象（二）占有数表象返回返回§5 §5 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象 本节我们从新的角度讨论这一问题，引进占有数表象。 本节我们从新的角度讨论这一问题，引进占有数表象2 2）定义新算符）定义新算符 a, a+, N.a, a+, N.令令 证明二者满足如下对易关系证明二者满足如下对易关系（一）算符（一）算符 a, a+, N.a, a+, N.（（1 1）坐标表象下的线性谐振子）坐标表象下的线性谐振子 证证[ [证毕证毕] ] （（3 3）用算符）用算符a, a+ a, a+ 表示振子表示振子HamiltonHamilton量量由由 a, a+ 定义式定义式 将算符将算符 x, p 用新算符用新算符 a, a+ 表示出来表示出来代入振子代入振子 Hamilton Hamilton 量量 2=/ （（4 4）） a, a+, N a, a+, N 的物理意义的物理意义I. a, a+ I. a, a+ 的物理意义的物理意义将将 a a 作用在能量本征态作用在能量本征态 ψψn n(αx(αx) ) 上上由由ψψn n 的的递推公式递推公式用用 Dirac 符号表示符号表示其中其中 |n>, |n-1>, |n+1> 等都是等都是 H 的本征基的本征基矢，矢， En, En-1, En+1。 是相应本征值是相应本征值因因为为 振振子子能能量量只只能能以以 ω ω 为为单单位位变变化化，，所所以以 ω ω 能能量量单单位位可可以以看看成成是是一一个个粒粒子子，，称称为为“声声子子”状状态态 |n |n > > 表表示示体体系系在在此此态态中有中有 n n 个粒子（声子）称为个粒子（声子）称为 n n 个声子态个声子态粒子粒子湮灭算符湮灭算符粒子粒子产生算符产生算符显然有显然有振子基态的基矢振子基态的基矢 用产生算符用产生算符 a a+ + 表示的振子基矢表示的振子基矢II. N II. N 的意义的意义上式表明，上式表明， n n 是是N N 算符的本征值，算符的本征值，描写粒子的数目，故描写粒子的数目，故N N 称为粒子数算符称为粒子数算符 以以 |n > |n > 为基矢的表象称为占有数表象为基矢的表象称为占有数表象湮灭算符湮灭算符 a a 的矩阵元的矩阵元 矩矩阵阵形形式式为：为：产生算符产生算符 a a+ + 的矩阵元的矩阵元 （二）占有数表象（二）占有数表象 （一）不同表象之间的变换和么正变换矩阵（一）不同表象之间的变换和么正变换矩阵（二）波函数和算符的变换关系（二）波函数和算符的变换关系（三）么正变换的性质（三）么正变换的性质§6 §6 么正变换矩阵么正变换矩阵返回返回 （（1 1）么正变换矩阵）么正变换矩阵力学量力学量 A, BA, B其本征方程分别为其本征方程分别为: : 由于本征基矢由于本征基矢的封闭性的封闭性 B B 基矢可基矢可按按 A A 的基矢展开：的基矢展开：展开系数展开系数：（一）不同表象之间的变换和么正变换矩阵（一）不同表象之间的变换和么正变换矩阵 写成矩阵形式写成矩阵形式（（2 2））S S 矩阵的么正性矩阵的么正性1 1））S S+ + S = I S = I2 2））S SS S+ + = I = IS S+ + S = S S S = S S+ + → S → S+ + = S = S-1-1所以所以 （（3 3）如何求么正变换矩阵）如何求么正变换矩阵方法方法 I：：由由 S S 矩阵元的定义式：矩阵元的定义式：计算出全部矩阵元即可得到计算出全部矩阵元即可得到 S S 矩阵。 矩阵方法方法 II ：：由表达式由表达式可知，可知，S S 矩阵元矩阵元S S kβkβ, k = 1, 2, 3, ... , k = 1, 2, 3, ... 即是即是 基矢基矢 | |φφββ > > 在在A A表表象中的表示，象中的表示，即即反之，如果我们已经知道了某一力学量基反之，如果我们已经知道了某一力学量基矢在另一力学量表象中的表示，那末我们矢在另一力学量表象中的表示，那末我们就可以直接把就可以直接把 S S 变换矩阵写出来变换矩阵写出来为为清清楚楚简简单单起起见见，，假假设设：：A A 和和B B的的本本征征矢矢各各只只有有3 3个个，，分分别别为为: :|ψ|ψ1 1>, >, |ψ|ψ2 2>, >, |ψ|ψ3 3> > 和和 |φ|φ1 1>, |φ>, |φ2 2>, |φ>, |φ3 3> > φ|φ1 1> = S> = S1 11 1|ψ|ψ1 1> + S> + S2 12 1|ψ|ψ2 2> + S> + S3 13 1|ψ|ψ3 3> >|φ|φ2 2> = S> = S1 21 2|ψ|ψ1 1> + S> + S2 22 2|ψ|ψ2 2> + S> + S3 23 2|ψ|ψ3 3> >|φ|φ3 3> = S> = S1 31 3|ψ|ψ1 1> + S> + S2 32 3|ψ|ψ2 2> + S> + S3 33 3|ψ|ψ3 3> >如果如果 |φβ >, (β = 1, 2, 3) 在在A表象中的表示表象中的表示 已知：已知： 在在 A A 表象中，表象中，B B 的本征基矢可表示为：的本征基矢可表示为：将三列矩阵元按原列次序组成一个新矩阵：将三列矩阵元按原列次序组成一个新矩阵：就是由就是由 A A 表象到表象到 B B 表象的么正变换矩阵。 表象的么正变换矩阵 （（1 1）波函数变换关系）波函数变换关系对任一态矢对任一态矢 |u > |u > 作用作用 A A 的单位算符的单位算符 则则于是于是 |u > |u > 在在 A A 表象中的表示为：表象中的表示为：同理：同理：则则 |u > |u > 在在 B B 表象中的表示：表象中的表示：为了找出为了找出 b bαα与与 a an n 之间的之间的关系，我们对此式插入关系，我们对此式插入 A A 表象的单位算符得：表象的单位算符得：b = Sb = S+ + a a = S = S-1-1 a ab b 与与 a a 之间之间的变换关系的变换关系（二）波函数和算符的变换关系（二）波函数和算符的变换关系 （（2 2）算符）算符 F F 的变换关系的变换关系A 表象：表象：B 表象：表象：F' = SF' = S+ + F S F S = S = S-1-1 F S F S 插入单位算符插入单位算符 （（1）么正变换不改变算符的本征值）么正变换不改变算符的本征值设设 F F 在在 A A 表象中的本征方程为：表象中的本征方程为：F a = F a = λaλa在在B B 表象，表象，= λ S= λ S-1-1 a a F' = SF' = S-1-1 F S F S b = S b = S-1-1 a aF' b =F' b == S= S-1-1 F a F a= S= S-1-1 λaλa= =λbλb可可见见，，不不同同表表象象中中，，力力学学量量算算符符 F F对对应应同同一一状状态态（（a a 和和 b b 描描写写同同一一状状态态））的的的的本本征征值值不不变变。 基基于于这这一一性性质质，，解解F F的的本本征征值值问问题题就就是是把把该该力力学学量量从从某某一一表表象象变变到到自自身身表表象象，，使使F F矩阵对角化矩阵对角化S S-1-1 F S S F S S-1 -1 a a （三）么正变换的性质（三）么正变换的性质 （（2 2）么正变换不改变矩阵的迹）么正变换不改变矩阵的迹矩阵的迹定义为该矩阵对角元素之和，即矩阵的迹定义为该矩阵对角元素之和，即F' F' 的迹等于的迹等于 F F 的迹，也就是说：么正变换不改变矩阵的迹的迹，也就是说：么正变换不改变矩阵的迹3 3）矩阵方程式经么正变换保持不变）矩阵方程式经么正变换保持不变表象表象 AFψ = φ表象表象 BF’ψ’ = φ’矩阵方程式矩阵方程式证证=φ’ F' = SF' = S-1-1 F S F S b = S b = S-1-1 a aF’ψ’ =(S-1 F S ) (S-1ψ)= S-1 Fψ = S-1φFψ = φ[ [证毕证毕] ] 例：设在例：设在 A 表象中对易关系：表象中对易关系：在在B表象表象对易关系在么正变换下保持不变对易关系在么正变换下保持不变（（4）么正变换不改变厄密矩阵的厄密性）么正变换不改变厄密矩阵的厄密性设：设：A 表象表象B表象：表象：F’ = S-1 F S= S= S-1-1 F S F S = F’ F F’ + += (S= (S-1-1 F S) F S)+ += S= S+ + F F+ + (S (S-1-1) )+ + 例一例一( (周周4.54.5））Lx的本征方程为：的本征方程为：解解欲得欲得a1, a2, a3 不全为零的解，必须要求系数行列式等于零不全为零的解，必须要求系数行列式等于零λ(-λ2 + 2) = 0 解得本征值解得本征值λ= 0, λ= 0, ±. . 取取λ= 代入本征方程得：代入本征方程得：解得：解得：a1=(1/21/2) a2 a3=(1/21/2) a2 由归由归一化一化条件条件定定 a2为简单计为简单计取实数取实数同理得另外两个本征值相应本征函数同理得另外两个本征值相应本征函数则则 =1, Lx = 的本征态的本征态可记为：可记为： 例题二：补充题例题二：补充题 作作 业业周世勋周世勋 《《量子力学教程量子力学教程》》4.5 物理学院2007级量子力学小论文目录1、在量子力学建立过程中体会科学的发展过程2、浅谈爱因斯坦与玻尔的论战 3、简述量子论的产生 4、量子力学对于波尔理论困难的解释 5、关于量子力学中的表象 6、关于波函数的几点讨论 7、简述爱因斯坦与玻尔的论战 8、关于不确定关系的几点讨论 9、对量子力学中波函数的看法 10、论力学量算符 11、浅谈力学量算符的对易关系 12、浅谈玻尔理论的困难和量子力学怎样来解决这些问题 13、论量子力学的基本假设 14、如何正确认识几率波 15、对微观粒子波-粒二象性的认识 16、论经典力学与量子力学的联系 。
