小学数学6年级培优奥数讲义 第19讲 表面积和体积(含解析）.pdf

第 19讲表面积和体积学习目标京熟悉特殊图形的面积和体积计算公式；京能够通过观察法，把复杂的图形简单化；辛能够解表亘积利体积的相关题目0知识梳理*小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：(1)充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点2)把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍3)若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：(1)物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积这是物体全部浸没在水中的情况如果物体不全部浸在水中，那么派开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。

2)把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变3)求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积4)求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定金典例分析l|考点一：表面积例1、从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？例2、把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，如 图18-4所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积例3、把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个 大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？例4、一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加9 6立方里，求原长方体的表面积例5、如 图18-6所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体 求这个物体的表面积考点二：求体积例 1、有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为6米、3米、2米把两堆碎石分别沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了 6厘米和4厘米。

如果将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？例 2、一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入长和宽都是8厘米、高 是15厘米的一块铁块，把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？例 3、某面粉厂有一容积是24立方米的长方体储粮池，它的长是宽或高的2倍当贴着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大的半圆锥体时，求这堆面粉的体积（如图-1所示）18-7例4、一只集装箱，它的内尺寸是18X18X18现在有批货箱，它的外尺寸是1X4X9问这只集装箱能装多少只货箱？工实战演练一课堂狙击1、把一个长为12分米，宽 为6分米，高 为9分米的长方体木块锯成两个想同的小长方体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？2、将一个表面积为3 0平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体求大长方体的表面积是多少？3、一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3 厘米和2 厘米的长方体后，便成为一个正方体，其表面积减少了 120平方厘米原来长方体的体积是多少立方厘米？4、一个精美小礼品盒的形状是长9 厘米，宽 6 厘米，高 4 厘米的长方体。

请你帮厂家设计一个能装10个小礼品盒的大纸箱，你觉得怎样设计比较合理？为什么？5、用直径为20厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为30厘米、20厘米、5 厘米的长方体钢板，应截取圆钢多长（精确到0.1厘米）？6、如 图18-8所示，圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半这个容器还能装多少水?18-87、如右图18-9所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米?18-98、从一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的厂房体上面，尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？课后反击1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？2、有一个长方体如下图18-10所示，它的正面和上面的面积之和是209如果它的长、宽、高都是质数,这个长方体的体积是多少？3、一包香烟的形状是长方体，它的长是9 厘米，宽是5 厘米，高是2 厘米。

把 10包香烟包装在一起形成一个大长方体，称为一条可以怎样包装？算一算需要多少包装纸（包转念能够纸的重叠部分忽略不计）你认为哪一种包装比较合理？4、有 30个棱长为1米的正方体，在地面上摆成如右图的形式，求这个立体图形的表面积是多少平方米？5、现有一张长40厘米、宽 20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5 厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米？6、有一个长方体的盒子，从里面量长为40厘米、宽 为12厘米、高为7厘米在这个盒子里放长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，最多可放几块？7、一个正方体的纸盒中如图18-12所示，恰好能装入一个体积6.28立方厘米的圆柱体纸盒的容积有多大（I I取 3.14）?名师点拨工在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：(1)充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点2)把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍3)若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。

解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：(1)物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积这是物体全部浸没在水中的情况如果物体不全部浸在水中，那么派开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积2)把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变3)求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积4)求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定毫学 霸 经 验 二本节课我学到了我需要努力的地方是 Y第 19讲表面积和体积、蓼教学目标?熟悉特殊图形的面积和体积计算公式；?能够通过观察法，把复杂的图形简单化；?能够解表面积和体积的相关题目M知识梳理区小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成 数、形 结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：(1)充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。

2)把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍3)若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：(1)物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积这是物体全部浸没在水中的情况如果物体不全部浸在水中，那么派开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积2)把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变3)求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积4)求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定承典例分析考点一：表面积例 1、从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？【解析】这是一道开放题，方法有多种：按图18-2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米按图18-3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。

例 2、把 19个棱长为3 厘米的正方体重叠起来，如 图 18-4所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积解析】要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形（如 图 18-5所示）而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的整个立体图形的表面积可采用（S 上+S左+S前）x2 来计算3x3x94-3x3x8+3x3x10)x2=(81+72+90)x2=243x2=486（平方厘米）答：这个立体图形的表面积是486平方厘米例 3、把两个长、宽、高分别是9 厘米、7 厘米、4 厘米的相同长方体，拼成一个 大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？【解析】把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体，需要把两个相同面拼合，所得大厂房体的表面积就减少了两个拼合面的面积要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合面的面积最大，即减少两个9x7的面9x9+9x4+7x4）x2x29x7x2=（63+36+28）x4126=508 126=382（平方厘米）答：这个大厂房体的表面积最少是382平方厘米例 4、一个长方体，如果长增加2 厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3 厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4 厘米，则体积增加96立方里，求原长方体的表面积。

解析】我们知道：体积=长、宽x高；由长增加2 厘米，体积增加4 0 立方厘米，可知宽x高=40+2=20（平方厘米）；由宽增加3 厘米，体积增加90立方厘米，可知长x高=90+3=30（平方厘米）；由高增加4 厘米，体积增 加 9 6 立 方 厘 米，可 知 长 x 宽=96+4=24（平 方 厘 米）而 长 方 体 的 表 面 积=（长 x 宽+长 x 高+宽x高）x2=（20+30+24）x2=148（平方厘米）即40+2=20（平方厘米）90+3=30（平方厘米）96+4=24（平方厘米）（30+20+24）x2=74x2=148（平方厘米）答：原长方体的表面积是148平方厘米例 5、如 图 18-6所示，将高都是1 米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体求这个物体的表面积解析】如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻烦实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积这样，这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积3.14x 1,5x 1.5x2+2x3.14x 1,5x 1 +2x3.14x1x1+2x3.14x0.5x 1=3.14x(4.5+3+2+l)=3.14x10.5=32.97(平方米)18-6答：这个物体的表面积是32.97平方米。

考点二：求体积例 1、有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为6 米、3 米、2 米把两堆碎石分别沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了 6 厘米和4 厘米如果将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？【解析】中、小水池升高部分是一个长方体，它的体积就等同于碎石的体积两个水池水面分别升高了 6厘米和4 厘米，两堆碎石的体积就是。