线性代数行列式的性质与计算.ppt

将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为 DT (Transpose)或D  .即如果,2.1 行列式的性质,第2节 行列式的性质与计算,显然，( DT )T=D .,下页,行列式的转置,性质3 用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以此行列式.,性质1 行列式与它的转置行列式相等，即D =DT.,推论1 如果行列式的某一行(列)的元素全为零，则D＝0.,性质2 互换行列式的两行(列)，行列式的值变号.,推论 如果行列式D中有两行(列)的元素相同，则D=0.,推论2 如果D中有两行(列)对应元素成比例，则D=0.,下页,,,,性质4 若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，则 此行列式可以写成两个行列式之和.即,性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加到另一行 (列)对应位置的元素上，行列式的值不变.即,下页,,,行列式的计算,要点：利用性质将其化为上三角行列式，再进行计算.,下页,为表述方便，引入下列记号 (行用r，列用c) ：,以数k≠0乘以行列式的第i行，用kri表示；,以数k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示.,（换法变换）,（倍法变换）,（消法变换）,思考：这三种变换的结果分别是什么？,例1. 计算行列式,解：,= -85.,下页,例2. 计算行列式,解:,下页,例3. 计算行列式,解： 将各行都加到第一行，从第一行提取 [ x+(n-1)a ] 得,下页,解：,例4. 计算行列式,下页,一、余子式与代数余子式定义5 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后, 余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij.,,,例如，求4阶行列式中a32的代数余子式,M32,,A32 (-1)3+2M32,= -M32,令Aij(1)ijMij，,Aij称为元素aij的代数余子式.,2.2 行列式按行(列)展开,下页,一、余子式与代数余子式定义5 在n行列式D=|aij|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后, 余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij.,令Aij(1)ijMij，,Aij称为元素aij的代数余子式.,再如，求4阶行列式中a13的代数余子式,M13,,A13 (-1)1+3M13,= M13,,,下页,2.2 行列式按行(列)展开,定理4 n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应 的代数余子式乘积的和.即,定理5 n阶行列式D=|aij|的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素 的代数余子式乘积的和等于零.即,Dai1Ai1, ai2Ai2,   , ainAin,(i=1, 2,    , n)，,Da1jA1j, a2jA2j,   , anj Anj,(j=1, 2,    , n).,ai1Aj1 ai2Aj2     ainAjn 0 (i  j)，,a1iA1ja2iA2j     ani Anj 0 (i  j).,二、展开定理,下页,,,例1．分别按第一行与第二列展开行列式,解：按第一行展开,a11A11,a12A12,a13A13,D,=1,(-1)1+1,+0,(-1)1+2,(-1)1+3,+(-2),=1(-8)+0+(-2)5,=-18.,,三、利用展开定理计算行列式,下页,按第二列展开,=0+1(-3)+3(-1)5,=-3-15,=-18 .,例1．分别按第一行与第二列展开行列式,解：按第一行展开,a11A11,a12A12,a1nA1n,D,=1(-8)+0+(-2)5,=-18.,(-1)3+2,+3,(-1)2+2,+1,(-1)1+2,=0,a12A12,a22A22,a32A32,D,,下页,,解：,将某行(列)化为一个非零元后展开,例2．计算行列式,=(-1)(-1)3+2,6 0 2,9 0 -1,1 1 2,=1(-1)2+2,=-6-18,=-24.,7 0 1 4,7 0 -2 -5,3 -1 -1 0,1 0 1 2,下页,例3. 计算行列式,解：,下页,, ( D2=5 ),解：,例4. 计算行列式,下页,证明：从最后一行起每一行加上前一行的(-a1)倍，得,例5. 证明范得蒙（Vandermonde）行列式,下页,下页,下页,由此推得 ，,… …,即,… …,下页,例如 n = 4 时,D4 =,下页,范得蒙（Vandermonde）行列式,下页,注意：,j=1,2,…,n,有且仅有一个解,第3节 克莱姆法则,定理6 含有n个未知量n个方程的线性方程组,当其系数行列式,时,其中，Dj是把系数行列式D的第j列换为方程组的常数列b1,b2,…,bn所得到的n阶行列式（j=1,2,…,n）.,下页,,例1. 解线性方程组,下页,解: 方程组的系数行列式,故方程组有唯一解.,适用条件,⑴ 未知数的个数 = 方程的个数； ⑵ 系数行列式D≠0.,解: 方程组的系数行列式,故方程组有唯一解.,而,故方程组的解为,下页,推论（定理6之逆否命题） 含有n个未知量n个方程的线性方程组,如果无解或非唯一解, 则系数行列式D=0.,例2. 解线性方程组,下页,显然，此方程组无解.,,其系数行列式为,定理7 （齐次线性方程组） 含有n个未知量n个方程的线性方程组,当其系数行列式,时,方程组只有零解, 而没有非零解.,下页,推论 若齐次线性方程有非零解，则必有系数行列式 .,．,,例3. λ取何值时，下列方程组只有零解?,解：因为,所以，当D≠0，即 λ≠5，λ≠ 2 且 λ≠ 8 时，方程组只有零解.,下页,由对角线记忆法得,= (l+2),=(l+2)2(l-4),,作业： 21页 4 (3)(4) 22页 5(4) 6 (2)(4) 23页 9,10(1),结束,,,,,,,,,,ai1Aj1 ai2Aj2     ainAjn,,例2. 计算行列式,解：,下页,,第2章 向量与矩阵,2 矩阵的概念与运算,下页,1 向量的概念与运算,,3 逆矩阵,4 分块矩阵,5 矩阵的初等变换与初等矩阵,6 矩阵的秩,7 向量组的线性相关性,8 向量组的正交化,第1节 向量的概念与运算,定义1 n个数a1，a2， ，an组成的有序数组 (a1, a2,  , an)， 称为n维向量，记为a，其中a i (i=1,2,…,n)叫做向量的第i个分量.,a=(a1, a2,  , an)，,写成列的形式，称为列向量，记为,n维向量写成行的形式，称为行向量，记为,下页,1.1 向量的概念,下页,(-a1, -a2,  , -an)T，,为向量a的负向量，记作 - a .,称向量,(0, 0,  , 0)T,为零向量，记作O .,称向量,如果向量a=(a1, a2,  , an)T,与向量b=(b1, b2,  , bn)T都是,n维向量，且对应的分量都相等，则称它们相等，记作a＝b.,本教材约定向量的形式为列向量，即,或记做 a =(a1, a2,  , an)T,向量满足以下8条运算规律(设a、b、g都是n维向量，k、l为实数):,(1)a +b =b +a(2)a +(b +g )=(a +b ) +g(3)a +O =a(4)a +(-a) =O,(5)(k+l)a=ka +la (6)k(a +b)=ka + kb (7)(kl)a= k(la) (8)1a=a,1.2 向量的运算,定义2 设 ,则,（1）,下页,向量的加法,向量的数乘,下页,向量的减法,设a、b都是n维向量，,利用负向量可定义向量的减法为:,a - b,,即对应分量相减.,= a + (- b ),例1．设,解：,解：,a+2g+(-a)=b+(-a) ；两边加a 的负向量,a+(-a) +2g =b+(-a) ；交换律,O+2g =b-a ；性质4,a+(-a) +2g =b-a ；约定（减法）,2g =b-a ；性质3,½*2g = ½ *(b-a) ；数乘运算,1g = ½ *(b-a) ；恒等变换,g = ½ *(b-a) ；性质8,下页,例2．设,说明：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别.,(计算结果，略.),定义3 设a=(a1, a2, , an )T与b=(b1, b2, , bn )T是两个 n维向量，则实数,称为向量a和b的内积，记为(a , b )，或aT b.,向量的内积,例如，设a=(-1, 1, 0, 2)T，b=(2, 0, -1, 3)T , 则a与b的内积为,(a , b ),=(-1)2+10+0(-1)+23,=4 .,下页,内积的性质设a，b，g为Rn中的任意向量，k为常数.(1) ( a,b ) =(b,a ) ；(2) (ka,b ) = k ( a,b ) ；(3) (a+b,g ) = ( a,g ) + ( b, g ) ；(4) ( a,a ) 0，当且仅当a=o时，有( a,a ) =0 .,,下页,向量的长度,定义4 对于向量a=(a1, a2, , an )T，其长度(或模)为,例如，向量a=(-1, 2, 0, 2)T的长度为,向量长度的性质（了解）,下页,,长度为1的向量称为单位向量.,向量的单位化（标准化）,下页,例4．n维单位向量组e1，e2，，en，是两两 正交的：(ei ,ej ) =0 (ij) .,例3．零向量与任意向量的内积为零，因此零向量 与任意向量正交.,定义5 如果向量a与b为非零向量，它们的夹角θ定义为：若(a ,b )=0，则称向量a与b互相正交(垂直), .,下页,定义6 如果m个非零向量组 a1，a2，，am两两正交， 即 (ai ,aj )=0(ij)，则称该向量组为正交向量组.如果正交向量组a1，a2，，am的每一个向量都是单 位向量，则称该向量组为标准正交向量组.,下页,显然,例4中n维单位向量组e1，e2，，en,,,,为标准正交向量组.,标准正交向量组,在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线性 方程组的每个方程对应一个有序数组：,(a11 a12  a1n b1),   ,(a21 a22  a2n b2),(am1 am2  amn bm),→,→,→,→,这些有序数组可以构成一个表,这个表就称为矩阵.,2.1 矩阵的概念,下页,第2节 矩阵的概念与运算,其中 aij 称为矩阵的第 i 行第 j 列的元素.一般情况下，我们用大写字母 A，B，C 等表示矩阵. mn矩阵A简记为 A(aij)mn 或记作 Amn .,定义1 由 mn 个数 aij(i1, 2,  , m；j1, 2, , n)排成一个m 行 n 列的矩形表称为一个 mn 矩阵，记作,下页,如果矩阵A与B的行数相等，列数也相等，则称A与B是 同型矩阵或同阶矩阵。

零矩阵所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O. 行矩阵与列矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小 写黑体字母 a，b，x，y 等表示.例如,。