河南省2020年全国高中数学联合竞赛预赛试题（河南卷）（通用）.doc

2020年全国高中数学联赛河南省预赛试题本试卷满分140分一、填空题（满分64分）1、在小于20的正整数中，取出三个不同的数，使它们的和能够被3整除，则不用的取法种数为_________________.2、将长为的线段任意截成三段，则这三段能够组成三角形的概率为_________________.3、在中，，，为中点，将沿折起，使之间的距离为，则点到面的距离为_________________.4、若锐角满足，则角的度数为_________________.5、函数，若互不相同，且，则的取值范围是_________________.6、各项均为正数的等比数列中，，则的最小值为_________________.7、一只蚂蚁由长方体顶点出发，沿着长方体的表面达到顶点的最短距离为6，则长方体的体积最大值为______________.8、表示不超过实数的最大整数，则二、（本题满分16分）如图，已知四棱锥的地面为菱形，且,,.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.三、（本题满分20分）已知函数（1）当时，求证：（2）当且时，不等式成立，求实数的值.四、（本题满分20分）数列中，且（1）设，求数列的通项公式.（2）设，数列的前项的和为，证明：.五、（本题满分20分） 已知椭圆，是圆上任意一点，过 点作椭圆的切线，切点分别为，求的最大值和最小值. 2020年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题一、选择题(满分36分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第1页指定地方，答对得6分，答错或不答均记0分) 2+x x＞01.｛5 x=0 则f(-2)+f(0)+f(1)+f(3)的值为2x x＜0 （A） 8. （B） 11. （C）131/4 （D）151/22. 一个锐角的正弦和余弦恰是二次三项式ax+bx+c的不同的两个根，则a、b、c之间的关系是(A) b=a-4ac (B) b=a+4ac (C) b=a-2ac (D) b=a+2ac3.定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)=x-2x，则f(x)在x∈[-4,-2]上的最小值为（A）-1/9 （B）-1/3 （C）1/3 （D）1/94. 定义在正整数集Z+上的函数f,对于每一个n∈Z+和无理数π=3.14159265358...满足f(n)= { k的末位数字, (π的小数点后第n位数字k≠0) 3 (π的小数点后第n位数字k=0)若函数f(f(n)的值域记为M ，则A 1M B 5M C 6M D 9M5.如图，在△ABC中，∠A=30，∠C=90，以C为圆心，CB为半径作圆交AB边于M，交AC边于N，P为CM与BN的交点，若AN=1，则S△CPN-S△BPM等于（A）1/8 （B）√3/8 (C)1/4 (D) √3/46.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy),且当x∈(-1,0)时，f(x)＞0，若P=f(1/4)+f(1/5),Q=f(1/6),R=f(0)；则P，Q，R的大小关系为（A）R＞P＞Q. (B)R＞Q＞P. (C)P＞R＞Q. (D)Q＞P＞R.二、填空题(满分64分，每小题8分，请将答案填入第1页指定地方)1、求log2sin(π/3)+log2tan(π/6)+log2cos(π/4)的值 2. 已知f(x)是四次多项式,且满足f(i)=1/i ,i=1,2,3,4,5,求f(6)的值3.若[x]表示不超过x的最大整数，求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2020的自然数n的值4、如图,半径为1的两个等圆相交，在圆的公共部分作一内接正方形ABCD。

如果圆心距O1O等于1，试求正方形ABCD的面积.5.求的值6.在单位正方形ABCD中，分别以A、B、C、D四点为圆心，以1为半径画弧，如右图所示.交点为M，N，L，K，求阴影部分的面积.7、已知二次函数f(x)满足f(-10)=9，f(-6)=7,f(2)=-9,求f(100)的值8、上底BC=2，下底AD=3的梯形ABCD的对角线相交于点O，彼此外切于点O的两个圆分别切直线AD于点A和D，交BC分别于点A和D，交BC分别交于点K和L，求AK+DL的值。