高等数学同济第六版课件第一章10闭区间连续函数性质.ppt

第十节 闭区间上连续函数的性质,定理1(最值定理),,,设函数 f(x)闭区间[a,b]上连续,,则 f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值.,即,一、有界性与最大值最小值定理,使得,有,推论(有界性定理),若 f(x)闭区间[a,b]上连续,,则 f(x)在[a,b]上有界.,注意: 若区间是开区间, 定理不一定成立;,定理2 (零点定理),且f(a)f(b)0,,则至少存在一点ξ∈(a,b),,使f(ξ)=0,设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,,,,,二、零点定理与介值定理,例1 证明方程 在区间(0,1)内,证 令,由零点定理,,至少有一个实根则f(x)在[0,1]上连续使,即,故方程 在区间(0,1)内,至少有一个实根例2 设函数 f(x)闭区间[a,b]上连续,,且 f(a)a ,,且 f(b)b ,,证明至少存在一点ξ∈(a,b),使,f(ξ)=ξ,证 令,由零点定理,,则F(x)在[a,b]上连续使,即,定理2 (介值定理),且f(a)=A,,且f(b)=B,,A≠B,,则对于A与B之间的任一个数C，,则至少存在一点ξ∈(a,b),,使f(ξ)=C.,,,,证 设,设函数 f(x)闭区间[a,b]上连续,,则 在[a,b]上连续,,,,证：记 f(x1) = M, f(x2) = m, x1, x2∈[a,b], 不妨设x1 x2,推论 设 f(x)在[a,b]上连续, 其最大值为M最小值为m， m C M，,则至少存在一点ξ∈(a,b), 使f(ξ)=C.,则 f(x) 在[x1, x2]上连续， 又f(x2) C f(x1),至少存在一点ξ∈(x1, x2),,使f(ξ)=C.,故至少存在一点ξ∈(a,b), 使f(ξ)=C.,例3 设 f(x)在[a,b]上连续, a x1 x2 x3 b,,证明在(x1, x3)内至少存在一点ξ，使,证 f(x)在[a,b]上连续, 故在[x1, x3]上连续.,记 f(x)在[x1, x3]的最大值为M最小值为m，,（1）若,则由推论知：在(x1, x3)内至少存在一点ξ，使,（1）若,则,则,成立,（2）同理可证当 时，,结论成立。