(有答案解析)常微分方程模拟题(浙江师范大学).doc

模拟试题1一、填空题: (每题2分,共8分)1. 方程的通解是 ① ;2. 是全微分方程(恰当方程)的充要条件 ② ;3. 方程的通解是③ ;4. 方程 的特解可设为 ④.·参考答案 o 1. 2. o 3. 4. 二、是非判断题: (每题2分,共12分)1. 如果是微分方程组的复值解(这里、、都是实向量函数,是实矩阵函数),那么是微分方程组的解; 2. 方程(是实数)的通解是;3. 如果存在定负函数V(X),使得V通过方程组其中）的全导数定正,那么这个方程组的零解渐近稳定;4. 方程(其中a(x),b(x),c(x)连续)可以有三个线性无关的解;5. 如果、均为方程组的基解矩阵,那么必存在可逆常数矩阵C使得成立;6. 方程=2 满足初始条件:x=0时y=0的解只有y=0 .·参考答案 o 1. ×, 2. ×, 3. √, 4. √, 5. √, 6.　 ×.三、(24分)求解以下各方程:1． =; 2. =; 3. ; 4. .·参考答案 o 1. = 通解为 或者 写成;o 2. ======,即,通解为;o 3. ,设,则==,所以 ,即得通解; o 4. x()2-2y( )+x=0 ,设,则,两边关于求导得或 . 由得 , 所以通解是,由得奇解 .四、(20分)求以下各方程的通解:1. ;2. .·参考答案 o 1. 的通解是 ,设原方程的特解是,将代入原方程得,所以有 ,所以原方程的通解是 ;注:如果用常数变易法或利用辅助方程求解,则参照此解法给分.o 2. 设 则原方程化为,(其中 ),即 ,此方程通解是,所以原方程的通解是.五、(14分)解方程组:·参考答案 o 由 =0 得 ,所以，特征值是 .对于，设 (6分) 代入方程组可得记,,则.对于,可求得一特征向量.因此,原方程的通解是 ,或者写成 .六、(12分)已知微分方程,其中g(x)=试求一连续函数y=y(x),满足条件y(0)=0,且在区间内满足上述方程.·参考答案 o 1.当时,,所以,.由得;当时,,所以,.因为y(x)在x=1连续,所以.所以,所求函数是.　　七、(10分)判断以下方程组的零解的稳定性:1．2．·参考答案 o 1. 一次近似方程是 ,特征方程 ,,.因为,特征根的实部都,所以原方程组的零解是渐近稳定的.o 2. 构造Lyapunov函数(定正),则 定负,因此,原方程组的零解是渐近稳定的. 模拟试题2一．填空题：（第1小题4分，其它每题3分，共25分）1．方程是阶是(非)线性方程.2．若方程（连续）是全微分方程，则满足关系 .3．李普希兹条件是保证初值问题 解唯一性的条件.4．对于一阶方程（p(x),q(x)∈C(a,b)）, 则其任一解的存在区间是.5．对于欧拉方程 ，只需作变换，即可将其化为常系数线性方程. 6．对于二阶方程，其由解所构成的Wronski行列式必为.7．对于常系数线性齐次方程组，若常系数矩阵A的特征根的实部都是负的，则方程组的任一解当∞时.8．单摆运动方程可化为一阶方程组.·参考答案 1.三 ，非 2 ． 3．充分， 4．(a,b)， 5．，o 6．常数 ， 7. 趋于零， 8. . 二．求解下述方程：（每题6分，共42分）1．2．3．4.5.6.7.·参考答案 o 1. (6分)o 2. ，解为 o 3. 积分因子为，解为 (6分)；o 4. 设(1分)，令，解为 (6分)；o 5. （I）当，;（II）当,不防设a>0,则方程的两个基本解为，易求得一个特解 所以此时方程的解为 o 6. x″+x=0的通解是 (2分)，设原方程的特解是(4分)，将代入原方程得 ，所以有 ,所以原方程的通解是 注：如果用常数变易法或利用辅助方程求解，则参照此解法给分o 7. ,设，则（2分）.所以，原方程化为 由得，因此得 （6分）三．（本题11分）1．何谓是线性齐次方程组的基解矩阵？ 2．试求系数矩阵A=上述方程组的基解矩阵.·参考答案 o 1. 称是的基解矩阵，如果满足（a） (b) .（4分）o 2. 令，可求得（7分）对于 由可取, 对于，由可取对于，由可取因此基解矩阵为.（11分）四．讨论题：（本题12分） 研究方程 1． 当n=1, 方程是什么类型的方程？并求解之。

2． 当n=2, 方程是什么类型的方程?通过观察能否直接求出其解？如何作变换将其化为可求解的类型，并具体求解之·参考答案 o 1. 当 n=1 时，方程为线性非齐次方程，其解为 （3分）o 2. 当 n=2 时，方程为Riccati方程，通过观察，易知为其一特解（6分），令（8分），代入原方程后可化简为 此为伯努里方程，再令，则又可化为可求其解为，因此原方程的解为 .五．证明题：（本题10分）设是方程的基本解组，则线性非齐次方程满足初始条件的解可表为（其中w 为解所成的Wronski行列式），试证明之.·参考答案 o 证明：设 为方程 （1）的两个线性无关解.令 ，则（1）化为，其中 （3分）则据常数变易公式，满足初始条件的解为,（6分）其中 代入可算得 . 模拟试题3一、填空题：（每题3分，共21分）1. 方程的阶数是①.2. 方程的通解是②；3. 是方程的积分因子的充要条件是③；4. 方程的通解是④；5. 方程的特解可设为⑤；6. 如果是某个二阶线性非齐次方程的特解，那么这个方程的通解是⑥；7. 方程满足条件的解有⑦个. ·参考答案 o 1. 三，o 2．，o 3．，o 4．，o 5．,o 6．，o 7.无穷多.二、是非判断题：（每题2分，共10分）8. 如果是微分方程组的复值解（这里、、都是实向量函数，是实矩阵函数），那么是微分方程组的解.9. 方程（a是实数）的通解是.10. 方程（其中连续）可以有三个线性无关的解.11. 如果是n维方程组=A(t)X的基解矩阵，C是n阶可逆常数矩阵，那么C也是方程组=A(t)X的基解矩阵.12. 方程= 2满足初始条件：x=0时y=0的解只有y=0. ·参考答案 o 8. ×， 9. ×， 10 √， 11,√ 12,×. 三、（24分）求解以下各方程：1. ；2. =；3. -=；4. .·参考答案 o 1. =(3分) 通解为或者写为 (6分)；o 2. ==(3分) (6分)；o 3. 设(2分)，则= (4分)，所以，通解是(6分)；o 4. 设(1分)，则，两边关于求导得 (4分)代入得(5分)，所以通解是 (6分).四、（18分）求以下各方程的通解：1. ；2. .·参考答案 o 1. 的通解是(2分)，设原方程的特解是(4分)，将代入原方程得，所以有，以原方程的通解是(6分).注：如果用常数变易法或利用辅助方程求解，则参照此解法给分.o 2. 设(2分) 则原方程化为，（其中） (4分)，此方程通解是，所以原方程的通解是(6分).五、（15分）(1) 求方程组, ,一基解矩阵；(2) 利用常数变易法求方程组+F(t) F(t)= ，满足初始条件X（0）=的特解X(t).·参考答案 o (1) .o (2) .六、（12分）已知微分方程，其中试求一连续函数，满足条件，且在区间内满足上述方程.·参考答案 o 当时，，所以，.由得；当时，，所以，.因为在x=1连续，所以.所以，所求函数是. 模拟试题4一、填空题: (每题3分,共21分)1. 方程的阶数是①; 2. 方程的满足条件的特解是 ②;3. 方程存在只与y有关的积分因子μ=μ(y)的充要条件是 ③;4. 方程的通解是④;5. 方程的特解可设为⑤;6. 方程的特解可设为⑥;7. 方程满足条件的解有 ⑦个.·参考答案 o 1. 三 , 2. , 3., 4. , o 5., 6., 7. 无穷多.二、是非判断题: (每题2分,共10分)1. 如果是微分方程组的复值解(这里、、都是实向量函数,是实矩阵函数),那么是微分方程组的解; 2. 方程(是实数)的通解是 ;3. 方程y″+a(x)y′+b(x)y=c(x)(其中a(x)、b(x)、c(x)连续)最多有三个线性无关的解;4. 如果Φ(t)是n维方程组的基解矩阵,C是n阶常数矩阵,那么Φ(t)C也是方程组的基解矩阵;5. 对于常系数方程组X′= AX,若A的特征根的实部都是非正的,则方程组的任一解当时都趋于零.·参考答案 o 1.√, 2.×, 3.√, 4.×, 5.×.三、求解以下各方程: (49分)1. ; 2. ;3. ;4. .5. x″+x=et;6. ;7. .·参考答案 o 1.;2. 或者 ;3. 设，则 ,所以，通解是 ;4. ;通解是 y=0也是解;5. x″+x=0的通解是 ,设原方程的特解是,将代入原方程得 ,所以有 所以原方程的通解是 ;6. ,设 ,则原方程化为,(其中 ),的通解是,的通解是, 所以原方程的通解是 . 7. 的通解是.设,代入原方程得所以,原方程的通解是 .四、求方程组的基解矩阵,其中.(9分)·参考答案 o 因为所以,特征值是 . 对于,解齐次方程组 得特征向量,同理,对于,可求得特征向量.因此,原方程的通解是,或者写成.五、证明题:(11分)1.(6分)给定方程,其中在上连续,设是上述方程的两个解,证明极限存在.2.(5分)设f(x)是已知的以ω为周期的连续函数,k是非0常数,试证明方程有且仅有一个周期为ω的周期解,并求出这个周期解.·参考答案 o 1.证明:由条件知是线性齐次方程的解,因为 的特征方程是 ,特征根是,所以 的通解 ,所以 ,从而极限 存在.o 2. 证明:如果有两个以ω为周期的周期解,则是齐线性方程的解,所以.由于是以ω为周期的函数,所以c=0,即.方程的通解是.由得,所以.因此,所求解是.模拟试题5        一、填空题：(3′×10)1．方程的通解为.2．形如的方程叫做欧拉方程.3．若方程组中矩阵有个互不相等的特征根λ1 ，λ2 ，…,λn，而是对应的特征向量，则基解矩阵为Ф() =__________________.4．阶非齐线性方程+ ＋…＋＋＝的通解等于与之和.5．考虑定义在区间[a，b]上的函数, 如果存在，使得恒等式对于所有t∈[a,b]都成立，则说这些函数是线性相关的. 6．设函数组，则在区间上它们的伏朗斯基行列式是它们在区间上线性相关的条件（填“充分”，“必。