圆有关概念X(精品).doc

一.圆的定义 如图，在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段叫做半径.以点为圆心的圆，记作“⊙”，读作“圆”注意：1．圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)；2．到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点都在圆上．满足上述两个条件，我们可以把圆看成是一个集合．圆是到定点的距离等于定长的点的集合．二、数量描述点和圆的三种位置关系若设圆O的半径为r，点P到圆心的距离为d三、圆的相关概念1．圆心不变，半径不相等的所有圆叫做同心圆.如图1所示：　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 图1 　　　　　　　　　　　图22．半径相等的圆(能够互相重合的圆)叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.如图2.等圆与位置无关3．弧的相关概念1)圆弧：圆上两点间的部分叫做圆弧，简称“弧”，用符号“”表示， 以A、B为端点的弧记作，读作“弧AB”.如图3所示：2)半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆.3)优弧：大于半圆的弧叫做优弧：如图4， 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧：如图4，　　　　　　　　 图3 图4(4)在同圆和等圆当中，能够互相重合的弧叫做等弧.4．圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.(如图4中的∠COD)5．弦的概念：连接圆上任意两点的线段叫做弦. 经过圆心的弦叫做直径(如图4——直径AD).四、垂径定理利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．在这里注意：①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦． 证明：．注：为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．　　即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：在⊙O中，　　1．如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心)，其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．某市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　垂径定理的逆定理 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．证明：五、确定圆的条件1．问题：(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？2)作圆，使它经过已知点A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？答：1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．、(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．2．过不在同一条直线上的三点作圆．作法图示1．连结AB、BC2．分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O3．以O为圆心，OA为半径作圆⊙O就是所要求作的圆因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等；连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等．ED与FG的满足条件．　　由上可知，过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．　　不在同一直线上的三个点确定一个圆．3．有关定义 由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫这个圆的内接三角形．　外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．3．已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？ 解：如下图．O为外接圆的圆心，即外心．锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．1、圆心角、弧、弦的关系　　在同圆或等圆中，若两个圆心角相等，则它们所对的两条弧、两条弦也分别对应相等；　　在同圆或等圆中，若两条弧相等，则它们所对的两个圆心角、两条弦也分别对应相等；　　在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对的两个圆心角、所对的两条优弧、两条劣弧也分别对应相等.2、圆周角(1)定义：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角.　　(2)定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.　　　 推论1：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.　　　 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.　　　 推论3：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于它的内对角.3、学好本单元内容的两个关键： (1)同弧或等弧是沟通圆周角之间、圆心角与圆周角之间联系的桥梁，利用同弧或等弧进行圆周角之间的相互转化是解决问题的关键；2)通过作弦心距或直径将一般的圆周角转化到特殊的直角三角形中，是解决问题的关键. 例1、判断下列各命题是否正确. (1)相等的圆心角所对的弧等；(2)相等的弧所对的圆心角相等；(3)圆周角等于圆心角的一半；(4)直径所对的角是直角；直角所对的弦是直径.2、已知，如图，⊙O是的外接圆，∠A=60°，BC=12，求⊙O的半径的长. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M是弧AC上一点，延长DC、AM交于F，求证：∠FMC=∠AMD. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　4、已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD、AD. 　　(1)求证：DB平分∠ADC；(2)若BE=3，ED=6，求AB的长.5、已知：BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，，BF和AD相交于E，求证：AE=BE. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。