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微分复形与数值计算 中国科学院计算效学所秦孟兆 近来，在构造和分析微分方程数值方法，微分复形如d eR h a m 复形起 着重要的作用，设计稳定的偏微分方程数值方法通常取决于能否抓住所 要离散的系统的微妙结构．在许多情况下，人们发现( B o s s a v i t ，M a t i u s s i ， T o n i ，T e i x e i r a ，R a v i a r t ，T h o m a s ，S h a s h k o v ，H i p t m a i r ，D ．A r n o l d ) 由微分 复形所揭示的微分几何结构是一个本质要素，所以正确离散原始微分 复形有着重要意义，这种新的几何观点为最近几十年发展起来的种种 数值方法给出了一个统一的理解，特别是电磁问题的稳定近似所发展 的数值方法． 本章试图从差分方法，有限体积法，有限元法，通过典型方程说明 由微分复形观点构造格式的重要性 4 ．1M a x w e l l 方程 4 ．1 ．1 ．M a x w e l l 方程积分形式 4 ．1 ．2 ．M a x w e ] l 方程微分形式 4 ．1 ．3 ．M a x w e l l 方程变分问题 4 ．2 ．d eR h a m 复形 4 ．2 ．1 ．单纯形，单纯复形 4 ．2 ．2 ．链与上链 4 ．2 ．3 ．在网格上的M E 方程 4 ．2 ．4 ．d eR h a m 微分复形 4 ．2 ．5 ．W h i t n e y 复形 4 ．3 ．H o d g e 算子的离散 4 ．3 ．1 ．星算子离散形式 4 ．3 ．2 ．H o d g e 星算子离散具体例子 4 ．4 ．算子g r a d ，c u r l ，d i v 离散的差分形式 4 ．4 ．1 ．算子( 离散算子) g r a d ( G R A D ) ，c u r l ( C U R L ) ，d i v ( D I V ) 的定义 域和实域 4 ．4 ．2 ．算子d i v ，g r a d ，c u r l 离散的网格 4 ．4 ．3 ．曲线坐标系算子g r a d ，c u r l ，d i v 表示 4 ．4 ．4 ．一维的数值例子 4 ．4 ．5 ．在一般网格上内积公式 2 ．算子g r a d ，c u r l ，d i v 离散的有限元法 3 ．算子g r a d ，c u r l ，d i v 离散的有限体积法 1 6 1 1 M a x w e l l 方程 4 ．1 ．1 ．电磁方程的积分形式 第一对电磁方程，首先考虑它的局部形式儆流高斯守恒律) 和法拉 弟的感应定律 d i v B = 0 ，( 高斯)( 4 ．1 ．1 ) c u r lE + 娑：o ，( 法拉弟) ( 4 ．1 ．2 ) d C B 磁流密度，E 电场强度．上面这些方程有电荷守恒定律 d i vJ 十五O p ：0 ( 4 ．1 ．3 ) ，电流密度，P 电荷密度．同样方程( 1 ) ，( 2 ) 可以定义向量势A 和数量 值势V g r a dV 一髻= E 与方程( 4 ．1 ．2 ) 对应有 d i vD = 届 c 圳一箬“ D 电流密度，H 磁场强度 啪) = ‘厶足( E ，r t l T ) ， B ( 叫) = 石二耳( 日r t ，T ) ， ‘，( 州) = ‘厶昂( E ，r ，' 下) ． ( 4 ．1 ．4 ) ( 4 ．1 ．5 ) ( 4 ．1 ．6 ) ( 4 ．1 ．7 ) 局部关系式 简单可写成 它们积分关系式为 D ( r ，￡) = ^ ( J E 7 ，r ，￡) ， B ( r ，t ) = 九( E ，r ’t ) ， J ( r ，t ) - - - 厶( E ，7 ．，￡) ， D ( r ) = E ( r ) E ( r ) ， B ( 7 ’) = p ( r ) H ( r ) J ( r ) = ∥( r ) E ( 7 ．) ， j ⅣB = b f a S E 七怠j S B = b ．j 霜¨聂dbp = b | 8 s A = b 一／tV - 氯dj L A = b ．1 霄D = b j 瘴H 一瓦dk D = b 1 6 3 4 ．1 ．2 ．M a x w e l l 方程微分形式 M a x w e l l 方程在频率域空间能写成 dE = i w B dH = 一i w D + J E dB = 0 dD = p E E ．日分别为电场和磁场，它们是1 ．形式 D ，B 分别是电流和磁流，它们是2 ．形式 如是电流密度 J D ￡是电荷密度 方程( 4 ．1 ．8 ) 一( 4 ．1 ．1 1 ) 是不依赖于它的度量． H o d g e 算子车e 和宰，I 是 D = _ c e E B = 丰^ H ( 4 ． ( 4 ． 4 ．1 4 ．1 ( 4 ．1 ．1 2 ) ( 4 ．1 ．1 3 ) H o d g e 算子是一个线性映射它映f ．形式到凡一f ．形式．H o d g e 算子 是依赖于度量的．E M 方程( 4 ．1 ．8 ) 一( 4 ．1 ．1 3 ) 它的度量包含在结构方程 ( 4 ．1 ．1 2 ) ，( 4 ．1 ．1 3 ) 中． 4 ．1 ．3 ．M a x w e l l 方程变分问题 电磁方程变分问题．令 ／d A 一= 口￡( e ，e ’) ，V e 7 ∈D g v l , o ( Q ) ／h ^ 云7 = o 土( 6 ，6 ，) ，V b 7 ∈D 户·o ( Q ) I n b ^ f t ' - a u ( h ，^ ，) ’V 九7 ∈脏1 t 。

Q ) ／e A a 7 = 口三( d ，∥) ，V ∥∈D 歹- 2 , o ( Q ) 1 6 4 ( 4 ．1 ．1 4 ) ( 4 ．1 ．1 5 ) ( 4 ．1 ．1 6 ) ( 4 ．1 ．1 7 ) 把上面方程写成另一种形式 而H o d g e 算子车e ，幸^ d e = i w b d h = 一¨d + j d b = 0 dd = P b = 奉^ = 弘^ ( 4 ．1 ．1 7 ) A 矿 厶d ^ ^ 一= iu ／d ^ ∥+ ／歹／＼舌；，v e t6D F l ' Q ) 利用分步积分上式可得 ／^ ^ d 一+ 石n ^ 八f i t = i ( ．d ／f ld 八∥+ f ：J 八卢7 利用关系式( 4 ．1 ．1 4 ) ，( 4 ．1 ．1 5 ) 可得 ( 4 ．1 ．1 8 ) ( 4 ．1 ．1 9 ) ( 4 ．1 ．2 0 ) ( 4 ．1 ．2 1 ) ( 4 ．1 ．2 2 ) ( 4 ．1 ．2 3 ) n 古( 6 I 彬) + Z n ^ 彬= i 崛( e ’e ”／n j 似V e I 6D ，1 ． Q ) 利用F a r a d a y ’S 定律，把b 通过d e 来表示 口古( d e J “) - w 2 a E ( e , e I ) 一i u 上n ^ 人∥= - i w ／n j 彬， ( 4 ．1 ．2 4 ) 得到了以“e ”为基的耍分彤式． - ( 4 ．1 ．1 8 ) A 五，得 上叭拈一山五⋯’， 利用分步积分 上e 硒7 一／a n e A 拈咖／f i b 脯，讹，∈掰1 ’№) 利用关系式( 4 ．1 ．1 6 ) ，( 4 ．1 ．1 7 ) ，利用A m p e r e ’s 定律i w d = - d h + j i 可得 口÷( 州∽一eA 粘一曲上6 删 n ÷( d ^ ，d ^ ，) - w 2 a p ( h ，”拙以Q eA h ’～t 。

j ，d h ’) ( 4 工2 5 ) ‘- ，一” ‘ 得到了以“^ ”为基的共轭变分问题． 我们可以把上面外微分记号它在通常意义下为 a e ( u ，u ) = 如c T l u ·“ ／1 v d x ， 口三( 让，u ) = 如￡～“ 7 2 u ·7 2 v d x ， C n 土( 让，口) = 矗# - i 7 2 u ·7 2 v d x ， “ 口p ( t c ，t ，) = 如弘饥u ·7 I v d x ， 函数空间QcA ( R 3 ) ，边界L i p s c h i t zp o l y h e d r o nw i t hp l a n ef a c e s ． 定义能量模： ⋯备- ( n ) ：= ㈣至：( Q ) + l l g r a du 眩：㈥ ⋯备( c u r l ；n ) ：= ㈣至2 ( n ) + | l c u r lu 旺2 ( Q ) I u I l 刍- ( d i v ；n ) ：= l | t 上| j 羔：( n ) + l l d i V t 上l I 兰：( n ) 简写成 ㈣备( d ；Q ) ：= ⋯至：( n ) + | l du 嵫( n ) 闭子空间，外导数之核的空间 例如： H ( d O ，Q ) ：= { u ∈H ( d ，Q ) ，d u = o ) ． H ( c u r l 0 ，Q ) ：= ( u ∈H ( c u r l ；Q ) ，c u r l u = 0 ) H ( d i v O ，Q ) ：= 7 ／, ∈H ( d i v ；Q ) ，d i v u = o ) H o ( c u r l ，Q ) ：= { “∈H ( c u r l ；Q ) ，m t ‘= o ) H ( d i v ，Q ) ：= { 扎∈H ( d i v ；Q ) ，3 ' n u = o ) 2d eR h a m 复形 4 ．2 ．1 ．单纯形，单纯复形 设a o ，a l ，⋯，a 口( 0 ≤q ≤n ) 是R n 中的点，若o l —a o ，a 2 一a o ，⋯，a q - - a o 线性关系，我们则说这一组点占有最广的位置，当q = 0 时就是一个 点，自然此点占有最广位置． 定义4 ．2 ．1 设a o ，a l ，⋯，a 。

是对中占有最广位置的q + 1 点，而 q ≤T ／, 则我们称点z 的集合 ，』 口 、 矿= { z = ∑№，凡≥0 ，∑沁= 1 ) ． i = Oi = O 为q 维单纯形，简称q ．维单纯形，a o ：口1 1 ．一，a 称为矿顶点，故常将 口q 记作( a o ，a 1 ．．一，a 口) 而系数k 称为此单纯形的重心坐标． 定义4 ．2 ．2 对于q 维单形o - q = ( a 07a l _ ．．．：D g ) ，我们称盯g 的( q + 1 ) 个顶点中的( r + 1 ) 个点‰，a f l ' ⋯，a ／．0 ≤r ≤q 所构成的r 维单形 仃r = ( a 均：a 小⋯，a i ) 为盯q 的一个r 维面． 盯口的零维面就是顶点，把 1 ．维面称为棱． 例4 ．2 ．1 考虑三维单形盯3 = ( a o ，o l ，口2 ：a 3 ) ，对于点z ∈盯3 就有 z = A o a o + A l a t + A 2 a 2 + 1 3 a 3 ， A o + 入l + A 2 + 1 3 = l ，A i ≥0 ，i = 0 ，1 ，2 ，3 ． 例如，a 3 为0 ．维面，( a l ，a 2 ) 为棱，( a l , a 2 ，a 3 ) 为面，( a o ，a l ，a 2 ，a 3 ) 为 体． 当q 0 时，矿鼋的q + l 点有( 留+ 1 ) ! 个排列，它们决定同一个矿口．把 这样单形盯q 称为无向单形，在( 0 ，1 ，⋯，q ) 排列中，有一半的偶置换， 一半是奇置换，因而这二个置换等价类构成了盯q 二个定向，指定了一 1 6 7 个定向单形称为有向单形．简记为“+ e r a ”= a oa 1 ．．．Q 。

这里指顶点次序 为a o ，a l ，⋯，a 口的有向单形．。