新教材人教A版数学必修章册学案-三角函数-章末综合提升-含答案.doc

类型1　三角函数式的化简与求值本章主要学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、倍角公式等．(1)牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.在倍角公式中特别关注cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α及其变形．(2)诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．【例1】　(1)已知sinsin＝，α∈，则的值为__________．(2)化简：(π<α<2π)．(1)－　[(1)∵＋＝，∴sin＝cos.∴sinsin＝sincos＝sin＝，∴sin＝，即cos 2α＝.又α∈，∴2α∈(π，2π)，∴sin 2α＝－.∴cos2α＝＝＝.∴＝＝－.](2)[解]　原式＝＝＝＝－.∵π<α<2π，∴<<π.∴cos <0.∴原式＝cos α.1．已知sin α＋cos α＝，且α∈(0，π)．(1)求tan 2α的值；(2)求2sin2－sin.[解]　(1)由sin α＋cos α＝，得sin αcos α＝－，因为α∈(0，π)，所以α∈，所以sin α－cos α＝＝，解得sin α＝，cos α＝－，故tan α＝－，所以tan 2α＝＝.(2)2sin2－sin＝1－cos－sin＝1－cos α＋sin α－sin α－cos α＝1－cos α＝. 类型2　三角函数的图象与性质(1)三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，一般先通过恒等变换将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象①“五点法”作图；②图象伸缩、平移变换．【例2】　已知函数f(x)＝4sincos ωx在x＝处取得最值，其中ω∈(0,2)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．若α为锐角，且g(α)＝－，求cos α的值．[解]　(1)∵f(x)＝4sincos ωx＝4cos ωx＝2sin ωxcos ωx－2cos2ωx＝sin2ωx－cos 2ωx－＝2sin－.因为f(x)在x＝处取得最值，∴－＝＋kπ，k∈Z，即ω＝2k＋，k∈Z，又ω∈(0,2)，∴ω＝.∴f(x)＝2sin－.∴函数f(x)的最小正周期T＝.(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin－＝2sin－的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝2sin－的图象，即g(x)＝2sin－.∵α为锐角，g(α)＝2sin－＝－，∴sin＝.∴cos＝＝.∴cos α＝cos＝cos－sin＝×－×＝.2．(1)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2(2)已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.①求f(x)的最小正周期和最大值；②讨论f(x)在上的单调性．(1)D　[因为y＝sin＝cos2x＋－＝cos，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos.故选D.](2)[解]　①f(x)＝sinsin x－cos2x＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.②当x∈时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减． 类型3　三角函数模型的应用如果某种现象的变化具有周期性，那么我们可以根据这一现象的特征和条件利用三角函数知识建立数学模型——三角函数模型．在解题中务必关注以下两点：(1)自变量的取值范围；(2)数形结合的灵活运用．【例3】　如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮作匀速转动，每2 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．(1)试确定在时刻t min时P点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70 m.[解]　(1)建立如图所示的平面直角坐标系．设φ(0≤φ≤2π)是以Ox为始边，OP0(P0表示点P的起始位置)为终边的角，OP在t min内转过的角为t，即πt.∴以Ox为始边，OP为终边的角为(πt＋φ)，即P点纵坐标为40sin(πt＋φ)，∴P点距地面的高度为z＝50＋40sin(πt＋φ)，(0≤φ≤2π)，由题可知，φ＝，∴z＝50＋40sin＝50＋40cosπt.(2)当50＋40cosπt≥70时，解得，2k－≤t≤2k＋，持续时间为min.即在摩天轮转动一圈内，有minP点距离地面超过70 m.3.如图所示，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)(2)估计当年3月1日动物种群数量．[解]　(1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，则解得A＝100，b＝800.又周期T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝＝，∴y＝100sin＋800.又当t＝6时，y＝900，∴900＝100sin＋800，∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴取φ＝－，∴y＝100sin＋800.(2)当t＝2时，y＝100sin＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.1．(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则(　　)A．cos 2α＞0　　 B．cos 2α＜0C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0D　[法一：由题意，知－＋2kπ<α<2kπ(k∈Z)，所以－π＋4kπ<2α<4kπ(k∈Z)，所以cos 2α≤0或cos 2α>0，sin 2α<0，故选D.法二：当α＝－时，cos 2α＝0，sin 2α＝－1，排除A，B，C，故选D.]2．(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　)A．　　 B．　　　　　C．　　 D．B　[∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin＝，故选B.]3．(多选)(2020·新高考全国卷Ⅰ)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝(　　)A．sinB．C．cosD．cosBC　[由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，∴＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y＝sin(2x＋φ)，将点代入得，sin＝0，∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin.由于y＝sin＝sin＝sin，故选项B正确；y＝sin＝cos＝cos，选项C正确；对于选项A，当x＝时，sin＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝＝时，cos＝1≠－1，错误．当ω＝－2时，y＝sin(－2x＋φ)，将代入，得sin＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin，但当x＝0时，y＝sin＝－<0，与图象不符合，舍去．综上，选BC.]4．(2020·江苏高考)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是__________．x＝－　[因为函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度可得g(x)＝f ＝3sin＝3sin，则y＝g(x)的对称轴为2x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z.当k＝0时，x＝，当k＝－1时，x＝－.所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x＝－.]5．(2020·浙江高考)已知tan θ＝2，则cos 2θ＝________，tan＝________.－　　[tan θ＝2，则cos 2θ＝＝＝＝－. tan＝＝＝.]。