函数对称性、周期性全解析.doc
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函数的对称性和奇偶性函数 函数对称性、周期性基本知识一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数，如果存在一种不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一种值时，均有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期如果所有的周期中存在着一种最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期2、 对称性定义（略），请用图形来理解3、 对称性：我们懂得：偶函数有关y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式 奇函数有关（0，0）对称，奇函数有关系式 上述关系式与否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数有关对称、、(异号考虑对称) 也可以写成 或 简证：设点在上，通过可知，，即点上，而点与点有关x=a对称 若写成：，函数有关直线 对称 （2）函数有关点对称 或 简证：设点在上，即，通过可知，，因此，因此点也在上，而点与有关对称 若写成：，函数有关点 对称 （3）函数有关点对称:假设函数有关对称，即有关任一种值，均有两个y值与其相应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不也许有关对称。
但在曲线c(x,y)=0，则有也许会浮既有关对称，例如圆它会有关y=0对称4、 周期性： （1）函数满足如下关系系，则 A、 B、 C、或（等式右边加负号亦成立） D、其她情形 （2）函数满足且，则可推出即可以得到的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内有关垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数” （3）如果奇函数满足则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为（以上） 如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为 （以上） （4）如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数定理3：若函数在R上满足，且（其中），则函数觉得周期. 定理4：若函数在R上满足，且（其中），则函数觉得周期. 定理5：若函数在R上满足，且（其中），则函数觉得周期.二、 两个函数的图象对称性1、 与有关X轴对称。
换种说法：与若满足，即它们有关对称2、 与有关Y轴对称换种说法：与若满足，即它们有关对称3、 与有关直线对称换种说法：与若满足，即它们有关对称4、 与有关直线对称换种说法：与若满足，即它们有关对称5、 有关点(a,b)对称换种说法：与若满足，即它们有关点(a,b)对称6、 与有关直线对称7、 函数的轴对称：定理1：如果函数满足，则函数的图象有关直线对称.推论1：如果函数满足，则函数的图象有关直线对称.推论2：如果函数满足，则函数的图象有关直线（y轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.8、 函数的点对称：定理2：如果函数满足，则函数的图象有关点对称.推论3：如果函数满足，则函数的图象有关点对称.推论4：如果函数满足，则函数的图象有关原点对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.三、试题1．已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（A ）.A．恒不不小于0 B．恒不小于0 C．也许为0 D．可正可负.分析：形似周期函数，但事实上不是，但是我们可以取特殊值代入，通过合适描点作出它的图象来理解其性质.或者，先用替代，使变形为.它的特性就是推论3.因此图象有关点对称.在区间上单调递增，在区间上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.，且函数在上单调递增，因此，又由，有，.选A.固然，如果已经作出大体图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.2：在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则( B ) A.在区间上是增函数，在区间上是减函数 B.在区间上是增函数，在区间上是减函数 C.在区间上是减函数，在区间上是增函数 D.在区间上是减函数，在区间上是增函数分析：由可知图象有关对称，即推论1的应用.又由于为偶函数图象有关对称，可得到为周期函数且最小正周期为2，结合在区间上是减函数，可得如右草图.故选B3.定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一种正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则也许为（ D ） A.0 B.1 C.3 D.5 分析：，， ∴，则也许为5，选D.4．已知函数的图象有关直线和都对称，且当时，.求的值.分析：由推论1可知，的图象有关直线对称，即，同样，满足，现由上述的定理3知是以4为周期的函数.，同步还知是偶函数，因此.5．，则，，，…，中最多有（ B ）个不同的值.A.165 B.177 C.183 D.199 分析：由已知.又有，于是有周期352，于是能在中找到.又的图像有关直线对称，故这些值可以在中找到.又的图像有关直线对称，故这些值可以在中找到.共有177个.选B. 6：已知，，，…，，则（ A ）.A. B. C. D.3 分析：由，知，，.为迭代周期函数，故，，.选A.7：函数在R上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则的值为 .解：，，令，则，即有，令，则，其中，，，. 或有，得.8．设函数为奇函数，则（ c ） A．0 B．1 C． D．5分析：答案为B。
先令f（1）= f（--1+2）=f（--1）+f（2）=1/2，根据奇函数的定义可求得f（--1）=--1/2，因此，f（2）=1，f（5）=f（3）+f（2）=f（1）+f（2）+f（2）=5/2，因此，答案为c9． 设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象有关直线x=3对称，则下面对的的结论是 （ B ）(A)； (B)；(C)； (D)分析：答案为B做这种带周期性、单调性的试题，一般的做法是将f（x）设成正弦或余弦函数，具体到本题，可将f（x）设成正弦函数或余弦函数，令其周期为6，通过平移使其满足在（0,3）内单调递减，根据图像，即可求出，答案为B10．设函数与的定义域是,函数是一种偶函数，是一种奇函数，且，则等于（C）A. B. C. D.分析：答案为C. 本题是考察函数奇偶性的鉴定，并不难，根据奇偶性的定义，即可得出答案为C 高考资源网 11：已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0 一、几种重要的结论（一）函数图象自身的对称性（自身对称）1、函数 满足 （T为常数）的充要条件是 的图象有关直线 对称2、函数 满足 （T为常数）的充要条件是 的图象有关直线 对称3、函数 满足 的充要条件是 图象有关直线 对称4、如果函数 满足 且 ，（ 和 是不相等的常数），则 是觉得 为周期的周期函数5、如果奇函数 满足 （ ），则函数 是以4T为周期的周期性函数6、如果偶函数 满足 （ ），则函数 是以2T为周期的周期性函数二）两个函数的图象对称性（互相对称）（运用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、曲线 与 有关X轴对称2、曲线 与 有关Y轴对称3、曲线 与 有关直线 对称4、曲线 有关直线 对称曲线为 5、曲线 有关直线 对称曲线为 6、曲线 有关直线 对称。
