人教版数学九年级下册同步精品讲义第9课相似单元检测（含解析）.doc

第9课 相似单元检测一、单选题1．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ）A．· B．点C、点O、点三点在同一直线上C． D．【答案】C【分析】根据位似的性质解答即可．【详解】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，∴与是位似三角形，∴，点C、点O、点三点在同一直线上，，故A、B、D正确；∵△AOB∽△A′OB′，∴OA：OA′=AB：A′B′=1：2，∴OA：AA′=1：3，故C错误；故选：C．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，位似变换的两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过位似中心；对应边平行．2．如图，D、E是AB的三等分点，DF∥EG∥BC，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=（ ）A．1：2：3 B．1：2：4 C．1：3：5 D．2：3：4【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算可得解.【详解】∵D、E是AB的三等分点，且DF∥EG∥BC，∴△ADF∽△AEG，∴，∴，即S1：S2=1：3，∴ 同理，∴S1：S3=1：5，∴S1：S2：S3=1：3：5，故选C考点：平行线分线段成比例；相似三角形的性质．3．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（　　）A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺【答案】B【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【详解】设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴，解得x=45（尺），故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．4．如图，△ABC中AB两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC的位似比为2：1．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算．【详解】设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2（﹣1﹣x）＝a+1，解得x＝﹣（a+3），故选：D．【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．5．已知≠0且a+b﹣2c＝9，则a的值为（　　）A．3 B．12 C．15 D．18【答案】D【分析】利用已知用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案．【详解】解：∵≠0，∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，∵a+b﹣2c＝9，∴6x+5x﹣8x＝9，解得：x＝3，故a＝18．故选D．【点睛】本题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．6．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于点F，交AD的延长线于点E，若AB＝4，BM＝2，则△DEF的面积为（　　）A．9 B．8 C．15 D．14.5【答案】A【分析】由勾股定理可求AM的长，通过证明△ABM∽△EMA，可求AE=10，可得DE=6，由平行线分线段成比例可求DF的长，即可求解．【详解】解：∵AB＝4，BM＝2，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠B＝∠C＝90°，∴∠EAM＝∠AMB，且∠B＝∠AME＝90°，∴△ABM∽△EMA，∴∴∴AE＝10，∴DE＝AE﹣AD＝6，∵AD∥BC，即DE∥MC，∴△DEF∽△CMF，∴，∴＝3，∵DF+CF＝4，∴DF＝3，∴S△DEF＝DE×DF＝9，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理；熟练掌握相似三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.7．如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（　　）A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．【答案】D【分析】根据∠1＝∠2，可知∠DAE＝∠BAC，因此只要再找一组角或一组对应边成比例即可．【详解】解：A和B符合有两组角对应相等的两个三角形相似；C、符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；D、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似．故选D．【点睛】考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（ ）A． B．2 C．2 D．3【答案】B【分析】首先连接PP′交BC于O，根据菱形的性质可得PP′⊥CQ，可证出PO∥AC，根据平行线分线段成比例可得，再表示出AP、AB、CO的长，代入比例式可以算出t的值．【详解】解：连接PP′交BC于O，∵若四边形QPCP′为菱形，∴PP′⊥QC，∴∠POQ=90°，∵∠ACB=90°，∴PO∥AC，∴∵设点Q运动的时间为t秒，∴AP=t，QB=t，∴QC=6-t，∴CO=3-，∵AC=CB=6，∠ACB=90°，∴AB=6，∴解得：t=2，故选B．【点睛】本题考查平行线分线段成比例；等腰直角三角形及菱形的性质．9．如图，点A段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC=∠AED=90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD=2BE；③MP•MD=MA•ME；④2CB2=CP•CM．其中正确的是（　　）A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①③④【答案】D【分析】①求出∠CAM=∠DEM=90°，根据相似三角形的判定推出即可；②求出△BAE∽△CAD，得出比例式，把AC=AB代入，即可求出答案；③通过等积式倒推可知，证明△PME∽△AMD即可；④2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．【详解】∵在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠ABC=∠AED=90°，∴∠BAC=45°，∠EAD=45°，∴∠CAE=180°-45°-45°=90°，即∠CAM=∠DEM=90°，∵∠CMA=∠DME，∴△CAM∽△DEM，故①正确；由已知：AC=AB，AD=AE，∴，∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD，∴，即，即CD=BE，故②错误；∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴，∴MP•MD=MA•ME，故③正确；由②MP•MD=MA•ME∠PMA=∠DME∴△PMA∽△EMD∴∠APD=∠AED=90°∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=AB，∴2CB2=CP•CM，故④正确；即正确的为：①③④，故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形等知识点，在等积式和比例式的证明中应注意采用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=3，AD=4，BC=，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】分两种情况：（1）当点P在AB上移动时，点D到直线PA的距离不变，恒为4；（2）当点P在BC上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出△PAB∽△ADE，即可得出y（3＜x≤6），据此判断出y关于x的函数大致图象是哪个即可．【详解】根据题意，分两种情况讨论：（1）当点P在AB上移动时，点D到直线PA的距离为：y=DA=4（0≤x≤3），即点D到PA的距离为AD的长度，是定值4；（2）当点P在BC上移动时．△ADP的面积不变，为 又∵∴y（3＜x≤6）．综上，纵观各选项，只有D选项图形符合．故选D．【点睛】本题考查了动点问题函数图象，关键是利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论．11．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF＝AE，其中正确的是（　　）A．①② B．③④ C．②③ D．②③④【答案】D【分析】首先证明，推出，再证明，可得②③正确，利用直角三角形斜边中线的性质即可判断④正确.【详解】，，，，，，，，故②正确，，，，，，，，，，，故③正确；在中，，，，，，，，，故④正确；，，无法判断，故①错误.故选.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.12．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，边长为2的正方形的边，分别在轴，轴上，点在第一象限，正方形绕点逆时针旋转，的对应边恰好落在直线上，则的值为（ ）A． B． C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】连接GB并延长交x轴于点D，过点D作DM⊥GH于点M..利用角平分线的判定定理易证GD平分∠OGH，再根据角平分线的性质证明DO=DM，根据直线解析式解得OG=b=MG，OH=b，由勾股定理得GH=b，因为CB∥OD，所以△GCB∽△GOD，根据相似三角形的性质可得：，即，解得OD==DM， 再证明△HDM∽△HGO，所以，即，解得：b1=0（舍去），b2=5。

详解】解：连接GB并延长交x轴于点D，过点D作DM⊥GH于点M..∵BC⊥OG于点C，BA′⊥GH于点A′,BC=BA′=2，DO⊥OG于点O，DM⊥GH于点M，(易证M与O′重合)∴GD平分∠OGH，DO=DM，又∵GD=GD，∴Rt△GOD≌Rt△GMD(HL)∴OG=MG∵直线与轴，轴分别交于，两点，∴OG=b=MG，OH=b。