拉格朗日中值定理课件.pptx

拉格朗日中值定理及其应用 一 拉格朗日中值定理 定理1 设函数f x 满足 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 则至少存在一点 分析与罗尔定理相比 拉格朗日中值定理中缺少条件是f a f b 如果能由f x 构造一个新函数使在 a b 上满足罗尔定理条件 且由能导出则问题可解决 证令 由于f x 在 a b 上连续 因此在 a b 上连续 由于f x 在 a b 内可导 因此在 a b 内可导 又由于 因此在 a b 上满足罗尔定理条件 所以至少存在一点 使 即 从而有 几何解释 如果f x 在 a b 内可导 则在以为端点的区间上f x 也满足拉格朗日中值定理 即 因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理 其中为之间的点 也可以记为 或 推论1若在 a b 内恒等于零 则f x 在 a b 内必为某常数 事实上 对于 a b 内的任意两点 由拉格朗日中值定理可得 由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论 位于x1 x2之间 故有f x1 f x2 由x1 x2的任意性可知f x 在 a b 内恒为某常数 推论2若在 a b 内恒有 则有 其中C为某常数 由推论1可知f x g x C 即f x g x C f x g x C 事实上 由已知条件及导数运算性质可得 例1函数在区间 1 3 上满足拉格朗日中值定理的 由拉格朗日定理可知 必定存在 由于f b f 3 16 f a f 1 4 而 二 拉格朗日中值定理的应用 可解得 因此本例应选D 例2当x 0时 试证不等式 分析 取f t ln 1 t a 0 b x 则f t ln 1 t 在区间 0 x 上满足拉格朗日中值定理 因此必有一点使得 说明本例中 若令y lnt a 1 b 1 x 亦可利用拉格朗日中值定理证明所给不等式 这表明证明不等式时 f x 与 a b 的选取不是唯一的 即 进而知 谢谢大家 。