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高等机构学武汉理工大学机电工程学院前言•Advanced Kinematics and Dynamics of Mechanisms•Advanced Mechanism Design : Analysis and Synthesis•教材：《高等机械学》韩建友 主编•为进行深入的专题研究打基础•以利于用各种研究方法撰写学术论文和专著•机械设计及理论专业研究生的一门必修课机械原理的基础上继续深入研究机构的结构、运机械原理的基础上继续深入研究机构的结构、运动分析、机构综合动分析、机构综合平面机构的分析与综合平面机构的分析与综合——空间机构的分析与综空间机构的分析与综合合转子惯性力的平衡转子惯性力的平衡——机构惯性力的平衡机构惯性力的平衡刚性构件刚性构件——弹性构件弹性构件单自由度机构单自由度机构——多自由度机构多自由度机构研究方法：以计算机为主、以坐标变换与矩阵运研究方法：以计算机为主、以坐标变换与矩阵运算为主的解析法算为主的解析法•基本内容：•机构的结构理论、刚体导引问题、运动几何学理论基础、布尔梅斯特理论、轨迹曲率理论、机构运动学与动力学分析的常用方法等 第一章第一章 机构结构理论机构结构理论 •1.1 基础概念基础概念•机器、机构、构件、零件；•构件一般是刚体，也可以是弹性体、绕性体等。

•运动副，运动副元素——对另一构件运动产生约束作用的几何形体•高副——组成运动副的两构件运动副元素几何形状不重合•低副——运动副元素几何形状重合•运动链、闭式运动链、开式运动链•闭式运动链成为机构——机架1.2 空间机构的自由度空间机构的自由度n__活动构件数活动构件数pi----具有具有i个自由度的运动副个自由度的运动副p----运动副总数运动副总数1.3 平面机构的分类方法（按杆组分级）平面机构的分类方法（按杆组分级） 1. 杆组的定义：杆组的定义：•主动件——1个自由度； 机构有确定运动条件：F=原动件数目•从动件系统：自由度=0•杆组：不可再分解的自由度为零的运动链•机构组成原理：任何机构都可以看着由若干个杆组依次加在机架和原动件上组成的.2. 杆组的分类：杆组的分类：只讨论平面机构，高副低代只讨论平面机构，高副低代 •杆组的分级按其包含的封闭形是几边形而杆组的分级按其包含的封闭形是几边形而分级分级 •杆组满足：杆组满足：3n-2p=0•Ⅱ级组 Ⅲ级组 　　　　Ⅳ级组　 •杆组具有运动确定性和静力确定性•运动确定性：某一外副的运动已知，则杆组中每一构件的运动均确定•静力确定性：若外力已知，则运动副反力可以求出 3n=2p，如二杆三副，6个约束反力未知数，二杆可列6个方程。

•同一机构，原动件不同，则机构的级不一样•运动分析，Ⅱ级组最容易，Ⅲ级组则困难的多1.4 平面机构的数综合平面机构的数综合 •一定数量的构件和运动副，可以组成多少种机构？•只限于研究单自由度的低副机构，且全部都是转动副•单自由度机构 4自由度运动链 • 如： F=4•即： 3n-2p=4 （*） n—构件总数 •令：具有i个运动副的构件数为ni（j=2.3.···i）• 则： n2+n3+n4+···+nJ=n• 2n2 +3n3+4n4+···+inJ=2p •（一个运动副有两个运动副元素）•单环运动链：（n）构件数=运动副数（p）•多环运动链：在单环上叠加运动链 • 其p-n=1（P=运动副数，n=构件数）•环数：L=p-n+1 代入（*）式 （消去n） • 得：p-3L=1（*.*）•满足上式的运动链有无穷多常用的组合形式有：• n=4 p=4 L=1 • n=6 p=7 L=2 • n=8 p=10 L=3 • n=10 p=13 L=4• 一个闭环，一种基本形式 • 两个闭环，两种基本机构形式• 瓦特型 斯蒂芬森型•瓦特型：两个闭环，每个闭环有4个构件组成。

•斯蒂芬森型：两个闭环，一个4构件，一个5构件•八杆运动链有三个闭环，运动链基本型式16种•十杆运动链有4个闭环，运动链基本型式有230种• 2. 图论基本知识图论基本知识• 3. 图与运动链变换图与运动链变换第二章第二章 平面连杆机构的运动分析平面连杆机构的运动分析•任务：已知结构、几何尺寸、原动件运动 规律，求从动件位置、速度、加速度•难点：位置方程，通常是非线性；且只有二级机构能列出待求变量与输入变量之间的显函数表达式；其他情况，方程要用数值解法•速度方程、加速度方程都为线性方程2.1 二级机构的运动分析二级机构的运动分析•2.1.1 三转动副（三转动副（RRR）二级组）二级组•1．位置分析．位置分析 外副p1 p2为运动已知点•如对于铰链四杆机构•p1为输入构件的端点，•p2则为固定点 •介绍两种建立位置方程的方法（1）由几何关系直接写出表达式（内副）的位置为： 构件2的角位移 计算机求得的的结果仅是1、4象限的值；要想获得4个象限中任意一个象限的值（真实值），则需要进行判断，检查x分量（分母）的正负，若x分量为负，就要计算结果中加上 。

(2) 矢量环方程解法（用的较多） 投影： （*）平方后相加： 记为： 用正切半角公式： 代入 得到一个关于的一元二次方程， 求解后得到：求出后，可根据（*）式求出的值 2. 速度分析•最简单、规范的方法，可将位置方程 对时间求导（机械原理），也可以根据相对速度关系，写出速度矢量方程（同一构件两点之间的运动关系）•点的速度矢量方程为：向x，y轴投影，得2个标量方程，2个未知量 ，  3.加速度分析：原理与速度分析一样（同一构件两点之间运动关系）绝对加速度=牵连加速度+相对加速度（基点） （切向、法向）2.1.2 内副为移动副的（内副为移动副的（RPR）二级组）二级组 1.位置分析，为运动已知的点，也可以用两种方法求解位置(1) 根据几何关系直接写出表达式则有： （*）(2) 矢量环方程： 投影得： 图中， 或将含有项移到方程一侧，平方后相加，整理得：式中：方程解法与2.1.1相同2. 速度分析滑块上点的速度矢量方程为： 前两项相加为杆上点速度，代表的单位矢量矢量方程投影后得两标量方程，可求出两个未知量 （*）式求导可得到点速度（*，*）3.加速度分析滑块上点的加速度矢量方程为投影可得两标量方程，解出两个未知量 式中： 将（*，*）式求导可得到点的加速度2.1.3 外副之一为移动副的（外副之一为移动副的（RRP）二级组）二级组• 为待求运动点，•滑块在其上滑动的构件• （导杆）上的两点 • 的运动已知 为运动已知点、 1．位置分析．位置分析即： （2-29） 投影得： 两个方程，两个未知量，可解出 代回（2-29）式，可求出  2. 速度分析速度分析点的速度矢量方程为： 两式联立，先解出 代回，可求出  3. 加速度分析加速度分析 点的加速度矢量方程为： 两式联立，（投影）展开后，可解得 代回上式之一，可求出 多杆机构的运动分析（二级机构）多杆机构的运动分析（二级机构） 飞剪机构，原动件为1，6 原动件运动规律给定后3，5为RRR二级组2，4为RRP二级组调用相应的公式，可求解出所有构件的运动。

2.2 复杂平面连杆机构的位置分析复杂平面连杆机构的位置分析• 含有三级以上杆组的机构称为高级或复杂机构，其位置求解要比二级机构困难；而速度和加速度分析则与二级机构相同2.2.1 位置方程的建立与求解位置方程的建立与求解低副机构的从动部分由若干个基本杆组组成基本杆组的杆数为2、4、6、8···等偶数杆组的外副总是与运动规律已知的构件相联n杆杆组，在建立位置方程时会引入n个运动变量 （转动副转角、移动副中的位移) 运动分析运动分析:建立待求运动变量与已知运动参数之间的联系建立待求运动变量与已知运动参数之间的联系如：与输入变量的关系 运动分析，就是找出这些运动变量封闭环方程（矢量方程）（虚线）N个构件组成的杆组，可得到n/2个独立的一般情况可得到确定解 投影后得到n个独立的方程，刚好可解n个运动变量，矢量方程（封闭环方程） （2-33） 矢量， 可以是转动副之间的联线， 移动副之间的位移， 转动副到移动副之间的位移等等 （2-33）可投影为： 为与x轴夹角 位置环方程的求解方法1.位置方程式的直接数值求解 牛顿—拉普森算法消元法使未知数的个数减少，最后得到一个关于某个2.位置方程式降维后数值求解。

未知数的非线性方程，再用迭代法求解2.2.2 用型转化法、数值迭代求解用型转化法、数值迭代求解 以上介绍的方法对于不同的机构都必须首先进行公式推导，因此不具备通用性型转化法：把复杂的杆组转化为多个简单的构件或二级杆组，再调用标准程序求解对于各种平面低副连杆机构，求解过程具有通用性用例子说明：6杆组：A、B、C、D为外副， 与原动件或机架相联其位置坐标已知，也说其受到约束解除一个外约束，加到内副上（给某个内副加上一个假定值，并假定某个外副的值是未知的），则杆组的级就会改变 如题，解除，假设的值，则6杆组拆为两个2杆组和2个单个构件用假设的E值，通过RRR二级杆组可求出F、G； 再通过RRR二级杆组求出H、I最后算出 的值，与原始的 值进行比较根据误差情况修正 的值，直到满足要求为止 例：4杆组A、F为外副，解除、的约束，假设已知，则4杆的长度是不变的，假定了后，根据已知的F点的位置可求出将求出的、与实际的、进行比较、迭代，直到满足精度为止 组可拆为两个2杆组∴第三章第三章 空间连杆机构运动分析的数学基础空间连杆机构运动分析的数学基础方法方法: 矢量法、矩阵法、对偶矩阵法、四元数法矢量法、矩阵法、对偶矩阵法、四元数法矩阵法用得最多，适用于任何空间机构，包括机器人机构矩阵法用得最多，适用于任何空间机构，包括机器人机构刚体或构件的定点转动刚体或构件的定点转动刚体或构件的一般运动的坐标变换及机构运动分析刚体或构件的一般运动的坐标变换及机构运动分析第三章第三章 空间连杆机构运动分析的数学基础空间连杆机构运动分析的数学基础 3．．1 共原点的坐标变换和刚体的定点的转动共原点的坐标变换和刚体的定点的转动 3．．1．．1 坐标变换矩阵的推导坐标变换矩阵的推导 ——方向余弦矩阵方向余弦矩阵两组共原点的坐标 i为旧系，j为新系。

(3-1) (3-2) 写成矩阵形式： （3—4）方阵中的每个元素都是坐标方向之间的余弦，所以叫做方向余弦矩阵  的组成： 是由j变到I的矩阵与是不同的 (3-6) 对于两个没有相对旋转的坐标系（空间平移）,则有：，其余元素均为零，这时方向余弦矩阵为单位矩阵∴对角线上的夹角为0º,其余夹角为90º3.1.2 方向余弦矩阵的性质互为转置1.方向余弦矩阵与；点的坐标变换公式： 参照的组成，可以写出的组成 也就是， ==或 2． 方向余弦矩阵中9个元素中，只有3个是独立的，各元素之间必须满足下面6个关系式任一列元素的平方之和为1 另外，由于三个坐标是俩俩垂直的1列乘2列） 由于存在6个关系式，只有3个彼此不在同一行或同一列的元素才是独立的3．方向余弦矩正为正交矩阵 (3-9) 逆矩阵就是转置矩阵有： 4．方向余弦矩阵的行列式等于1对（3-9）两边都取行列式， 由于 ∴ 3．．1．．3方向余弦矩阵的表示方向余弦矩阵的表示1. 绕一个坐标轴旋转的坐标变换(1) 绕Z轴旋转 相对于i 坐标系来讲，J 坐标系是绕Z轴旋转θ角， 相对于i 坐标系来讲，J 坐标系是绕Z轴旋转θ角， θ角的正负按右手法则来定。

拇指表示Z轴，四指转向代表θ正向） 由（3-6）可写出坐标变换矩阵：(3-11)(2) 绕x、y轴旋转 若 坐标系j是绕坐标系i的x轴转过α角，坐标系j是绕坐标系I的y轴转过β角，同样可以根据（3-6）式写出方向余弦矩2. 两个坐标轴旋转的坐标变换两个坐标轴旋转的坐标变换可以看作是先绕轴转过α角 轴转过θ角，接着再绕j坐标系相对于I坐标系而言， (） 第一次转动的坐标变换式为： 第二次转动的坐标变换式为： 其中方向余弦矩阵 如（3-11）式， 如（3-12）中的第1式 从j坐标系向I坐标系变换的矩阵关系为：方向余弦矩阵为：（3-13） …………（3-14） 3. 任意旋转的坐标变换：任意旋转的坐标变换：但是，这要解6个联立的二次方程式，比较困难介绍确定方向余弦矩阵的两种方法：共原点的坐标变换的一般形式，就是任意旋转的坐标变换，根据以前讨论的方向余弦矩阵的性质，知道9个元素中只有3个是独立的任意给定3个不在同一行或同一列的3个元素，其它元素就随之确定，可根据前面给定的6个方程求出(1) 用三个欧拉角表示的坐标变换矩阵同原点的新、旧两个坐标之间的关系可以这样看，新坐标系可以是经过3次转动而得到。

将I坐标系先绕轴转动θ角， 使得轴与重合；再绕（）转α角，转到； 最后绕轴转过δ角 利用（3-14）和（3-11）两式，可以写出经过三次连续转动后，以坐标系j变换到坐标系I的方向余弦矩阵(2) 用绕某任意轴的旋转角表示的坐标变换矩阵为了能利用绕坐标轴旋转的公式来进行推导，将绕任意轴旋转的问题变换为绕某个坐标轴（如Z）旋转的问题 步骤1）与步骤3）转动角度相同，1）转进，3）转出， 只不过中间扭动了φ角即： 因此有： (3-16)应用方向余弦矩阵的性质2， 6个未知数，6个方程，可求解将（3-16）式3个矩阵相乘展开，并化简可得：3．．1．．4刚体的定点转动刚体的定点转动 可以将以上讨论的同一点在两个共原点的坐标系的坐标变换，用于研究刚体的定点转动Z轴垂直于纸面两坐标系重合时，刚体在起始位置I刚体绕Z轴转过θ角后，处于位置Ⅱ I到Ⅱ的转动，可用方向余弦矩阵 来表示， 也称为刚体转动矩阵 (3-18)Xj、Yj、Zj坐标系取为固连在刚体上的坐标系刚体绕定点任意转动（坐标原点设在该点）后的位置列阵的表达形式如（3-18）相同，只不过其中转动矩阵要应用相应的方向余弦矩阵。

由前面的研究可知，刚体绕定点的任意转动可以认为是：这就是所谓的欧拉定理 有时，考虑刚体相对于坐标系的运动来推导旋转矩阵，比推导方向余弦矩阵更简单直观(1)变换矩阵表示为：饶单个坐标轴旋转矩阵的连乘积(2) 由并矢形式推导出变换坐标矩阵（推导的结果与（3-17）式相同，自学，书上应用了一些新的符号，并没有引进新的内容，只是为了书写简洁）3．．1．．5方向余弦矩阵的应用方向余弦矩阵的应用1．进行点的坐标或矢量的坐标轴分量的变换2．表达和计算矢量的方向余弦用来推导和计算矢量投影，矢量交角及公垂线的方向；这些在求机构中速度、加速度、力、力矩等矢量时常用到3.研究刚体的定点转动3.2 方向余弦矩阵的导数和刚体的瞬时转动方向余弦矩阵的导数和刚体的瞬时转动•3.2.1 方向余弦矩阵的一次导数和角速度矩阵方向余弦矩阵是用来表示坐标系转动的，所以它对时间的求导与刚体坐标系转动的角速度和角加速度有关1.方向余弦矩阵对时间的一次导数（从j坐标系变到i 坐标系）= = 所以从连续变换的过程可知（3——29） (与上式中的与上式中的（3——30） 方向余弦矩阵为正交矩阵（性质3）（3——9）对时间求导一次。

得到： 利用（3——29）、（3——30）代入：经过矩阵运算 在j系的j坐标系绕i的角速度反对称矩阵与i坐标系绕 j的角速度反对称矩阵的关系为:3．角速度矩阵的计算将（3——29）的矩阵相乘计算出来，再利用相等矩阵对应的元素应相等将（3——30）展开，同理，可以得到坐标系i中，系j对系i的角速度列阵不同坐标系中的角速度列阵可以通过方向余弦矩阵进行变换3．．2．．2方向余弦矩阵的二次导数和角加速度矩阵方向余弦矩阵的二次导数和角加速度矩阵…（3——40） 对（3——34）、（3——35） 求导 ——在i系表达…（3——41） 两个不同的坐标系中角加速度矩阵的变换关系： 由（3——40）、（3——42）可以推导出：3．．2．．3．刚体转动中点的速度和加速度．刚体转动中点的速度和加速度共原点的两坐标系，点的坐标变换公式为：(若利用（3——30）、（3——40） 以上讨论的是刚体在两个共原点的坐标系中，运动参数变换公式 角速度反对称矩阵在i系描述3．．3．不共原点的坐标变换和刚体的一般运动．不共原点的坐标变换和刚体的一般运动3．．3．．1．不共原点的坐标变换．不共原点的坐标变换J坐标系相对于 i坐标系 来讲，除了转动外，还有平移。

两个坐标系之间的坐标变换矩阵表达式，相对于共原点的两坐标系来说，增加了一项平移即： 式（3——58）可写为4阶矩阵形式点的坐标变换可以用4阶矩阵形式表达3．．3．．2．刚体的位移矩阵和螺旋位移参数．刚体的位移矩阵和螺旋位移参数以上的坐标变换关系，可以用来研究刚体的一般运动 I系——研究刚体时的参考系 J系——代表刚体运动——刚体上P点在动坐标系上的位置，（也可认为是P点）在 起始位置时，P点在静坐标系中的位置列阵 ——刚体从I运动到Ⅱ位置后，P点在静系（i）中的位置列 （3——61）描述刚体运动的坐标系与静系不共原点查理（chasles）定理：刚体的任何空间位移，都可以认为是对某同一轴线的移动和转动，即绕某螺旋线的一个螺旋位移 则： …（3——64）…（3——65）(由63式)3．．3．．3用逆矩阵运算法求刚体的位移矩阵用逆矩阵运算法求刚体的位移矩阵1．一般空间位移矩阵的求法由此可得： (由一个刚体的实际空间位置，只要三个点（如A、B、C）就可以确定，第4个点D的位置坐标应该由前三点来确定A、B、C三点构成空间中的一个平面，第4点D则不应该在这个平面上D点可以取在过该平面上的一个点（如c点）且与ABC平面垂直的法线上。

2．平面特例以上有关刚体位移矩阵公式，同样使用于研究在xy平面有限位移的平面刚体 例：已知平面刚体上A、C两点的两个位置， 1）最简单的方法，是以A、C为直角边作一个等腰△ACD确定D点代入已知数据：3．．4 刚体一般运动中，点的速度和加速度刚体一般运动中，点的速度和加速度点的坐标变换公式： （3——58） 求导可得到P点在i系中速度和加速度=…（3——98） 仿45式仿50式则可研究刚体的任意瞬时运动…（3——101）3．．5．用矩阵法研究复杂的相对运动．用矩阵法研究复杂的相对运动3．．5．．1．复杂相对运动中的位置、速度、加速度表达式．复杂相对运动中的位置、速度、加速度表达式有0，1，2，…，m个坐标系作复杂相对运动，0——固定坐标系 ——各坐标系原点在相邻（前）坐标系的坐标列阵——相邻两坐标系的坐标变换矩阵 ——p点（坐标系m相连的一点）在各坐标系中的坐标列阵可以写出逆推形式的方程式：…（3——107） …（3——108）该式子展开后的结果与（3——107）相同利用公式（3——29）公式（3——30） 对（3——107）求导可得到p点的绝对速度… …（3——109） …（3——109’）也可以通过对（3——108）式进行求导，得到用4阶矩阵计算的p点绝对速度表达式…+ …(3——110)式中： （ij=01;02;…;m-1,m）对公式（3——107）求导两次，可得到p点绝对加速度公式的一个形式：…(3——111)得到一系列刚体依次做相对运动时，刚体m上p点的速度和加速度关系式。

则得到刚体绕定点作复杂相对转动时的运动方程式 3．．5．．2．封闭性的矩阵方程式．封闭性的矩阵方程式如果最后一个刚体m与0重合，组成一个封闭链形式， 此时， 由（3——107）式可以得到：{ （3——116） 四阶矩阵即：（3——117） 右乘逆阵，上式又可以写为：（3——118） （3——116）（3——117）两式表明，对于封闭链形式的坐标系系统，从0系开始，经过1、2、…、m-1、m（即0）一个封闭的环形路线，又0系，所以称（116）（117）为封闭性的矩阵方程式相等矩阵中，对应的元素应相等从（116）式的第一式，可得到3个方程式116）式的第二式，可得到9个方程式，但是由方向余弦矩阵的性质，9个元素中存在6个关系式，这9个方程中只有3个是独立的 因此，由封闭性的矩阵方程式，一般得到6个独立的三角方程式第5章 铰链四杆机构•铰链四杆机构是其他四杆机构的基本形式，是研究其他连杆机构的基础5．．1 机构的回路和分支机构的回路和分支机构的回路：与装配有关的机构运动形式机构的分支：在一个回路上，机构运动到极限位置后， 可能产生的运动位置。

如：曲柄摇杆机构有两个回路，每个回路只有1个分支而摇杆曲柄机构也有两个回路，每个回路则有两个分支 机构的回路数，对应机构位置方程可能解的数量ch2,3R杆组，有2解） 一般来说，同一机构，不同的回路，与初始装配有关 回路缺陷：回路缺陷：一个机构必须改变回路才能从一个所期望的位置运动到另一个位置，回路缺陷是致命的，这种机构没有用处，因为不拆开重新装配就不能完成运动分支缺陷：分支缺陷：一个机构从一个回路运动到另一个回路，改变分支分支缺陷可能有用也可能没有用. 如：对心滑块曲柄机构，在两个极限位置可以由曲柄和连接其上的飞轮的惯性通过静止形位点，故能正常运转曲柄摇杆机构： 回路数 2 每一回路的分支数 1双曲柄 2 1双摇杆 2 2摇杆曲柄 2 2（只对非特殊情况的Grashof机构）机构的构件数越多，其回路数越多。

6杆机构有4或6个回路，8杆机构有16或18个回路 5．．2．铰链四杆机构的连杆曲线．铰链四杆机构的连杆曲线5．．2．．1．概述．概述关于连杆曲线的研究，从机构学这一学科形成之前直到现在，吸引了不少数学和机构学学者的注意，并不断获得新的发展 铰链四杆机构的运动链，按其杆长之间的关系，可分为三大类： 1.Grashof运动链：满足最短杆与最长杆长度之和小于另两杆长 度之和2.非Grashof运动链：不满足上述条件3.过渡类型：过渡类型：最短杆和最长杆长度之和等于另两杆长度之和又称特殊类型)最短杆为连架杆最短杆为机架最短杆为连杆第一种类型的运动链，无论以哪一个构件作为机架，都有两种装配形式，即两个回路，只有重新装配才可能由一种形式过渡到另一种形式；两种装配形式连杆上同一点c所描绘的曲线不同也就是说，对第一种类型的运动链，连杆上的某一点，有两条不能过渡的连杆曲线第二种类型的运动链，无论以哪一杆作为机架，一种机构只有一种装配形式，即一个回路（对称的除外） 因而其连杆曲线只有一条，但这一条曲线是由两个分支构成的连续曲线第三种运动链的特点是具有运动不确定的位置在这样的位置，机构可以由一种装配形式过渡到另一种装配形式。

以平行四杆机构为例，当机构为平行四边形时，连杆上某点的曲线为圆，若变为交叉四连杆机构时，该点的曲线则不同所以第三种类型运动链可以由一种连杆曲线过渡到另一种曲线如平行四边形机构的连杆曲线5．．2．．2．铰链四杆机构的连杆曲线方程．铰链四杆机构的连杆曲线方程式中： V=5.3 同源机构同源机构能够描绘同一连杆曲线的机构族称为同源机构不同的连杆机构，相同的连杆曲线）工程应用价值：为达到某种工程目的，需要一种连杆曲线，而当实现这种连杆曲线的固定轴（绞链点）的位置在机架上不方便安装（机构尺寸上受限制），在这种情况下，可采用同源机构  Sylvester仿图仪 就证明了此仿图仪的原理. (与前式等价)如是，就证明了仿图仪的原理Roberts——Chebyschev定理存在三个不同的平面铰链四杆机构描绘相同的连杆曲线，Samuel Roberts(1875)和Chebyschev（1878）独立发现这一定理，所以用他们两人的名字表示 为基本四杆机构， 其连杆上C点描绘连杆曲线，可以找出与其同源的另外两个机构上图称为Roberts图，三个四杆机构同源第七章 平面刚体导引机构综合•给定机构中不与机架相连的构件（连杆）一系列位置，设计机构，或者是其中某些位置（一个位置）具有给定的速度、加速度或更高阶变化率。

7.1 刚体有限分离问题及其综合公式的推导刚体有限分离问题及其综合公式的推导7.1.1 问题的提出问题的提出 有一个平面п，其在坐标系中的位置可由该平面上的一点P，和过P点的直线L来确定 对应的三个位置问题，可以用简单的作图法和解析法求解，本章介绍四个、五个位置的求法由第三章空间位移矩阵，可写出1到j的位移矩阵（7-1）7.1.2 四位置问题四位置问题7.1.3 五位置问题五位置问题方程（7-12）中包含有76个三阶行列式，上机计算时，只需要编一个计算三阶行列式的自定义函数程序就可以非常容易地算出各个值7-12）式的4个方程代表了4条布尔梅斯特曲线，其意义是：除了第一个位置外，分别满足2、3、4；2、3、5；2、4、5；3、4、5；另三个位置，要实现5个位置，就必须同时满足4个方程的布氏点，即求出四条曲线的公共交点 为此，从以上4个方程中消去三次项， 得到两个二次方程： （i=1、2、…6）（7——16） 7.1.4四次方程的解法四次方程的解法1．解数判定四次方程有4个实根、2个实根、无实根三种情况，解方程前要判定有没有解，有多少解如果判定方程无实根，则说明所给定的五个位置无解，因此就没必要求解了。

介绍华罗庚在《高等数学引论》中论述的方法，先假定（7-17）无重根，这种假设符合大多数情况，由于重根问题处理比较复杂，实际情况又绝少见，、故这里不加讨论（7-18）（7-18）式中各系数为：式（7-18）称为Sturm组2.方程求解方程求解（7-17）式可用公式法直接求解为简单起见，采用数值解法 7.2 复合五位置问题复合五位置问题7.2.1 复合五位置问题的综合公式复合五位置问题的综合公式复合位置问题又叫做“点一阶”位置问题，就是说，机构在运动过程中，除了要实现给定的连杆平面的位置，还要实现给定的速度加速度等各阶转动矩阵的表达形式： 7.2.2各种情况下的求解公式及计算例子各种情况下的求解公式及计算例子实现第一位置，第一点的速度参数，再实现2、3、4位置参数 原点的速度矢量与原点的坐标矢量之间的变换关系为： 连架杆长度不变： 两边对时间求导，考虑到连架杆的长度变化率为零，则有一阶约束方程：展开成标量形式： （7-33）速度位移矩阵： (7-34)式中各系数为：用方程（7-33）代替方程（7-4）中的第一个式子，再仿照5位置的解法即可方程（7-4）是给定连杆4个位置的求解方程，（j=2、3、4），由三个方程组成的方程组，用（7-33）代替其中一个。

原始位置不算，1-2-3-4，1-2-3-5，1-2-4-5，1-3-4-5，仍然是4条原点曲线计计算算结结果：果：=4将3阶约束方程展开后，还是得到一个关于圆点、圆心坐标为未知数的方程可得4阶约束方程： 四阶位移矩阵为四阶位移矩阵为。