直角座标与二元一次方程式的图形.pdf
12页
直角座標與二元一次方程式的圖形 95逢甲大學國中小資優數學班直角座標與二元一次方程式的圖形 直角座標與二元一次方程式的圖形 一、二元一次方程式的圖形一、二元一次方程式的圖形： ： 二元一次方程式的標準式為 ax＋by＝＝c，則： ax＋by＝＝c ⇔ by＝＝－ax＋c ⇔ y＝＝－axb＋c b令m＝－a b，k＝c b，則原式可改寫為：y＝＝mx＋k 稱此式為直線方程式，其中m即是直線方程式之斜率 1. 1. m＝＝0 的圖形： 直線方程式 m＝＝0 的圖形是一條平行x軸的水平直線， 如右圖所示： 2. 2. m＞＞0 的圖形： 直線方程式 y＝＝mx＋k，當 m＞＞0 時為一條 由左而右向上傾斜的直線，如右圖： 3. 3. m＜＜0 的圖形： 直線方程式 y＝＝mx＋k，當 m＜＜0 時為一條 由左而右向下傾斜的直線，如右圖： 二、二元一次方程式的圖解二、二元一次方程式的圖解： ： 設二元一次方程式為 ⎩⎨⎧ =+=+222111 cbxacbxa，則： (1) 兩直線相交(1) 兩直線相交：：當21 aa≠21 bb時，此聯立方程式有唯一解，且圖形相交於一直線 (2) 兩直線重合 (2) 兩直線重合：：當21 aa＝21 bb＝21 cc時，此聯立方程式有無限多解，且兩條直線重合。
(3) 兩直線平行 (3) 兩直線平行：：當21 aa＝21 bb≠21 cc時，此聯立方程式無實數解，且兩條直線平行 (0，k)xyoy＝kyxy=axy=ax+k , k>0y=ax+k ,k0y=ax+k ,k−+=−+=+ACPCPAACPCPAACBC ∴C點是在第二象限或第三象限 答案選（D） 12. 在坐標平面上，直線L的方程式為axy+−=3若0>a，則L不通過第幾象限？ （A）一 （B）二 （C）三 （D）四 【95年第一次基測】 重點重點：圖形的平移 0,3>+−=aaxy 如右圖可知，L不通過第三象限 答案選（C） x 係數為負aAByx 3.4567公分AByx3.4567公分PC圖（九） 直角座標與二元一次方程式的圖形 100逢甲大學國中小資優數學班13. 如圖（五） ，坐標平面上有 A（25,1） 、B（35−,-4）兩點 【96年第二次基測】 過 A、B 兩點作直線 L 後，判斷下列哪一點與直線 L 的 距離最短？ （A） （3,-1） （B） （1,2） （C） （0,-21） （D） （0,-2） 重點 重點：直角座標與函數圖形 設直線 L 的方程式為baxy+=，通過 A 與 B 兩點 則 (2) 435(1) 125⎪⎪ ⎩⎪⎪ ⎨⎧−=+−=+LLLLbaba利用加減消去法，將(1)－(2)可得： 5625=a ⇒ 56=a ， 將56=a代入(1)，得2−=b ⇒ 直線 L 方程式為256−=xy 因（3,-1） 、 （1,2）與（0,-21）都在直線 L 外，只有（0,-2）在直線 L 上 所以（0,-2）與直線 L 的距離最短 答案選（D） ※ 請閱讀下列的敘述後，回答第19題和第20題 如右圖，坐標平面有一正方形ABCD，A、C的坐標分別為(1,1)、(-1,-1)。
已知甲、乙兩人在A點第1次相遇後，甲自A點方向以每秒a公尺的速率， 沿著正方形的邊以逆時針方向等速行走；乙自A點以每秒b公尺的速率， 沿著正方形的邊以順時針方向等速行走 【95年第二次基測】 14. 若ba7=，則甲、乙第2次相遇在何處？ (A) 1(,)0 (B) 0(,)1 (C) 0(,)1 (D) 1(−,)1 重點重點：平面直角座標綜合性質與推理 甲走7步，乙走1步，以A點為出發點，走一次要8步 甲走7步到達)0,1(，乙走1步到達)0,1( 因此甲、乙第2次相遇在)0,1( 答案選（A） 甲乙 ADCBA(1,1) (1,0) (1,-1) (0,-1) (-1,-1) (-1,0) (-1,1) (0,1) (1,1)ADCBA(1,1) (1,0) (1,-1) (0,-1) (-1,-1) (-1,0) (-1,1) (0,1) (1,1)7步7步7步1步1步1步. . .. . .xyBACD(1,1)(-1,-1)甲乙直角座標與二元一次方程式的圖形 101逢甲大學國中小資優數學班15. 若ab7≠，且甲、乙第2次相遇在D點，則此兩人第91次相遇在何處？ (A) A點 (B) B點 (C) C點 (D) D點 重點重點：平面直角座標綜合性質與推理 ∵甲、乙第1次相遇在A點且甲、乙第2次相遇在D點。
∴可推得甲、乙的速率比為1:3 ⇒甲、乙第3次相遇在C點 ⇒甲、乙第4次相遇在B點 ⇒甲、乙第5次相遇在A點 ⇒甲、乙第6次相遇在D點 M M M 91 4223⇒÷=K ， 因此可知兩人第91次相遇在何處C點 答案選（C） 16. 坐標平面上，若點23(−，)4在直線325=− ayx上，則=a？【模擬94年第一次基測】 (A) 2− (B) 637(C) 2449− (D) 3 重點重點：二元一次方程式的圖形 將23(−，)4代入325=− ayx324)23(5=×−−×⇒a324215=−−⇒a 649 6445 32 2154−=−−=−−=⇒a2449−=⇒a 答案選（C） 17. 附圖為五個點A、B、C、D、E在1:=− xyL的直線方程式之上今有一點),(yxP 亦在直線L上且距離B點2單位，距離D站23單位，則下列何者表示正確？ （A）5 . 15 . 2−am （D）0,0>>am 重點重點：圖形的平移 L不通過第四象限且L：amxy+= 如右圖可知，0,0>>am。
答案選（D） 19. 如附圖，A、B兩點在x軸上今甲、乙兩車分別從A、B兩點 同時出發，且分別以逆時針與順時針方向分別遶著大、小兩圓周 行駛若甲車每45分鐘繞一圈，乙車每30分鐘繞一圈，則當乙 車剛好繞完第五圈時，甲車位於第幾象限？【模擬95年第一次基測】 （A）一 （B）二 （C）三 （D）四 重點重點：平面直角座標綜合性質與推理 乙車︰150530=×分，310 45150=≒ 3..3（圈） 206 1033 . 0==又205 41=，2010 42=，2015 43=（如右圖） ∵2010 206 205<< ，∴甲車在第三象限內 答案選（C） ※ 請閱讀下列的敘述後，回答第25題和第26題 如附圖，坐標平面有一正六邊形ABCDEF已知甲、乙兩人在A點 第1次相遇後，甲自A點方向以每秒a公尺的速率，沿著正六邊形 的邊以逆時針方向等速行走；乙自A點以每秒b公尺的速率，沿著 正方形的邊以順時針方向等速行走 【模擬95年第二次基測】 20. 若ba3=，則甲、乙第3次相遇在哪一點？ (A) A (B) B (C) D (D) E 重點重點：平面直角座標綜合性質與推理 甲走3步，乙走1步，以A點為出發點，走一次要4步 axyO係數為正xyx3 42 41 44 4yxOBA(乙)(甲)xyBAC甲乙DEF直角座標與二元一次方程式的圖形 103逢甲大學國中小資優數學班甲走9步到達D，乙走3步到達D， 因此甲、乙第2次相遇在D。
甲再走9步到達A，乙再走3步到達A， 此甲、乙第3次相遇在A 答案選（A） 21. 若ba3≠，且甲、乙第2次相遇在F點，則此兩人第88次相遇在何處？ (A) A點 (B) B點 (C) C點 (D) D點 重點重點：平面直角座標綜合性質與推理 ∵甲、乙第1次相遇在A點且甲、乙第2次相遇在F點 ∴可推得甲、乙的速率比為1:5 ⇒甲、乙第3次相遇在E點 ⇒甲、乙第4次相遇在D點 ⇒甲、乙第5次相遇在C點 ⇒甲、乙第6次相遇在B點 ⇒甲、乙第7次相遇在A點 ⇒甲、乙第8次相遇在F點 M M M 414688K=÷⇒，因此可知兩人第88次相遇在何處D點 (如右表，甲與乙的速率比也可為1:11、1:17、L等) 答案選（D） 22.（4，a） 、 （－2，b）在直線 2x－3y＝0 上，則（b，a）在第幾象限？ （A）一 （B）二 （C）三（D）四 重點重點：直角座標系 （4，a）代入⇒8－3a＝0，a＝83 （－2，b）代入⇒－4－3b＝0，b＝－43 （b，a）＝（－43，8 3） ， ∴ （b，a）在第二象限 答案選（B） 甲乙 D A D A D A D A DF E D C B A F E D甲乙 A F E D C B A F EA F E D C B A F E. . .. . .5步5步5步1步1步1步甲乙 A F E D C B A F EA F E D C B A F E. . .. . .11步11步11步1步1步1步直角座標與二元一次方程式的圖形 104逢甲大學國中小資優數學班23. y＝mx－n的函數圖形，通過(－6，8)、(－1，－4)兩點，則 m＝？，n＝？ 重點重點：通過直線圖形的點之幾何意義 (－6，8)代入 ⇒ －6m－n＝8……○１ (－1，－4)代入 ⇒ －m－n＝－4……○２ ○１－○２ －5m＝12，m＝－125代入○２ 125－n＝－4，n＝125＋4＝325答： m＝－125，n＝325。
24. y＝2x－4，y＝－3x＋18 兩函數圖形與 y 軸所圍成的三角形面積＝？ 重點重點：直線圖形的應用 y＝2x－4 x0 2 y－4 0 y＝－3x＋18 x0 6 y18 0 ⎩⎪⎨⎪⎧y＝2x－4……○１ y＝－3x＋18……○２， ○１－○２ 0＝5x－22，x＝225代入 ○１ ，y＝445－4＝245 ∴ △PAB 面積＝12×│18－（－4） │×22 5＝2425答：2425平方單位 25. 如附圖，直線L平行直線M，且通過(0，5)、( – 3，0 )，直線M通過(3，0) ，求 直線M的方程式為何？ 重點重點：兩直線平行的幾何意義 設L 的方程式為y = ax + b，∴ ( 0，5 )代入5＝b， ( – 3，0 ) 代入 0＝－3a+ b，∴ 0＝－3a+ 5 ⇒ a＝35， ∴ L 的方程式為y = 35x +5 ∵ 直線L平行直線M ，∴ 直線M的方程式為 y = 35x +k， (3，0) 代入 0＝5+k ∴ k＝－5 ， ∴ 直線M的方程式為 y = 35x－5 答：直線M的方程式為 y = 35x－5 直角座標與二元一次方程式的圖形 105逢甲大學國中小資優數學班26. 下列何者最可能是x＝4 與y＋2＝0 在坐標平面上之圖形？ (A) (B) (C) (D) 重點重點：直線圖形的判別。
x＝4 與y＋2＝0，其交點為(4，－2)落在第四象限，所以選(C) 答案選（C） 27. 若二元一次方程式 ⎩⎨⎧ =−=+ 525 yxyax與 ⎩⎨⎧ =−=+ 7321 byxyx有相同的解，請問﹙a，b﹚為何？ ﹙A﹚ ﹙2,-1﹚ ﹙B﹚ ﹙1,-1﹚ ﹙C﹚ ﹙-2,3﹚ ﹙D﹚ ﹙3,1﹚ 重點重點：兩直線相交的應用 ∵ 有相同的解 ∴四個方程式會相交於一點 解25 1xy xy−=⎧ ⎨+=⎩，可得：2x =，1y= − 代入5 237axy xby+=⎧ ⎨−=⎩則215 437a b− =⎧ ⎨+=⎩，可得：3a =，1b =，所以 答案選（D） 28. 如下圖，是坐標平面上的一個方格圖，圖中線段(縱、橫 各 8 條)的交點稱為格子點A為給定的格子。
