反函数与复合函数的导数隐函数的导数ppt课件.ppt

上页下页铃结束返回首页第二章第二章￿￿￿￿￿￿￿￿一元函数微分学一元函数微分学 第二节第二节 反函数与复合函数的反函数与复合函数的导数导数一、反函数的求导法则一、反函数的求导法则三、隐函数的导数三、隐函数的导数主要内容：主要内容：二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则隐函数的导数隐函数的导数1上页下页铃结束返回首页一、反函数的导数 设函数设函数 在区间在区间 内单调、连续内单调、连续, 则其反函则其反函内单调内单调, 连续连续: 若设若设 在区间在区间 内可导内可导, 且且 今来讨论今来讨论 的可导性的可导性. 给给 以增量以增量 由由 的的数数 在对应的区间在对应的区间单调性单调性, 知知2上页下页铃结束返回首页变形得到变形得到又由函数的连续性又由函数的连续性, 当当 时必有时必有 从而有从而有3上页下页铃结束返回首页由此说明了函数由此说明了函数 在在 处可导处可导, 且有且有简单地说简单地说, 反函数的导数等于直接函数的导数的倒数反函数的导数等于直接函数的导数的倒数.4上页下页铃结束返回首页例例1 求反正弦函数求反正弦函数解解 是是 的反函数的反函数.注意到在区间注意到在区间 内，内， 从而有从而有所以所以. 在区间在区间 内点点可导内点点可导, 且有且有而而 在区间在区间 内单调、可导内单调、可导, 并且并且 的导数的导数.5上页下页铃结束返回首页例例2 求反正切函数求反正切函数解解 函数函数 是是 在在 区间内的反函数，在区间内单调、可导区间内的反函数，在区间内单调、可导, 且且所以所以 在在 内每一点可导内每一点可导, 且有且有:有有的导数的导数.6上页下页铃结束返回首页注意到：注意到： 从而有从而有同理可得其它几个反三角函数的导数公式同理可得其它几个反三角函数的导数公式:7上页下页铃结束返回首页例例3 求对数函数求对数函数解解 是是 的反的反注意到注意到, 特别地特别地, 当当 时时, 有有函数函数, 且直接函数在定义域内单调、可导且直接函数在定义域内单调、可导, 且且的导数的导数.从而有从而有8上页下页铃结束返回首页二、复合函数的导数复合函数求导法则复合函数求导法则 如果函数如果函数 在点在点 可导可导,证证 设自变量设自变量 在在 处有增量处有增量 , 则函数则函数而函数而函数 在在 处可导处可导, 则复合函数则复合函数 在在 处可导处可导, 并且有关系并且有关系有增量有增量 相应地相应地, 函数函数有增量有增量 （（1））9上页下页铃结束返回首页当当 时时, 有有由函数由函数 的可导性的可导性, 得函数在得函数在 是连续的是连续的, 因因又又此当此当 时时, 有有 由此得由此得（（2））10上页下页铃结束返回首页由此得到由此得到:复合函数的求导公式常常表示为复合函数的求导公式常常表示为（（3））公式〔公式〔3〕称为复合函数的求导法则〕称为复合函数的求导法则11上页下页铃结束返回首页此公式可以作进一步的推广此公式可以作进一步的推广: 假设假设均为可导函数均为可导函数, 则相应的复合函数则相应的复合函数的导数为的导数为12上页下页铃结束返回首页例例4 求函数求函数解解而成而成, 故此由复合函数的求导公式故此由复合函数的求导公式, 得得的导数的导数.可以看成由可以看成由复合复合 13上页下页铃结束返回首页例例5 求函数求函数解解 因因的导数的导数.可视为可视为 复合而成复合而成, 由复合函数求导公式〔由复合函数求导公式〔2.6〕得〕得:14上页下页铃结束返回首页例例6 求函数求函数的导数的导数.15上页下页铃结束返回首页三、隐函数的导数 隐函数的概念隐函数的概念 所谓函数所谓函数 表示的是两个变量表示的是两个变量 和和 之间的之间的确的关系式来表示确的关系式来表示. 例如例如 都反映了都反映了这种对应关系这种对应关系. 这类关系的特点是这类关系的特点是: 对自变量对自变量 的每一的每一关系关系. 这种对应关系在某种情况下这种对应关系在某种情况下, 可以用一个较为明可以用一个较为明个取值个取值, 都可以通过表达式确定一个惟一的因变量都可以通过表达式确定一个惟一的因变量 的的的取值的取值. 用这种方式表达的函数称为显函数用这种方式表达的函数称为显函数. 16上页下页铃结束返回首页 但某种情况下但某种情况下, 这种对应关系是通过一个方程这种对应关系是通过一个方程就在区间就在区间 上确定了一个函数上确定了一个函数 又如又如当限定当限定 , 则在区间则在区间 内确定了一个函数内确定了一个函数.来确定的来确定的. 通过方程可以确定通过方程可以确定 和和 的对应的对应关系关系, 但这个关系不一定能象显函数那样用一个显式方但这个关系不一定能象显函数那样用一个显式方程来表示程来表示. 例如方程例如方程方程方程（（2.7）） 我们把这一类函数称为隐函数我们把这一类函数称为隐函数.17上页下页铃结束返回首页 在某些情况下在某些情况下, 隐函数能转化成显函数〔称为隐函数隐函数能转化成显函数〔称为隐函数 但在某些情况下但在某些情况下, 并不能把隐函数转化成显函数并不能把隐函数转化成显函数. 例例所确定的隐函数就很难把它表达成一个显函数的形式所确定的隐函数就很难把它表达成一个显函数的形式.的显化）的显化）, 例如在第一种情况下例如在第一种情况下, 相应的函数关系可转相应的函数关系可转如由如由化成化成18上页下页铃结束返回首页 对给定的方程对给定的方程 , 在什么条件可以确定隐在什么条件可以确定隐函数函数 , 并且并且 关于关于 可导可导, 这个问题在下册这个问题在下册中将会讨论中将会讨论. 在这里通过具体的例子来说明如何求出隐在这里通过具体的例子来说明如何求出隐函数的导数函数的导数.19上页下页铃结束返回首页例例7 求由方程求由方程所确定的隐函数所确定的隐函数 的导数的导数和和解解 将方程中的将方程中的 视为由方程确定的隐函数视为由方程确定的隐函数代入方程得恒等式代入方程得恒等式:方程两端求导方程两端求导, 得到得到:20上页下页铃结束返回首页整理后得整理后得:对方程对方程令令代入上式得代入上式得:注注 隐函数的导数的表达式中一般同时含有变量隐函数的导数的表达式中一般同时含有变量这是与显函数求导不同的地方这是与显函数求导不同的地方.21上页下页铃结束返回首页例例8 求由方程求由方程解解 方程两边对方程两边对 求导求导, 并注意到并注意到 是是 的函数的函数, 利用利用即有即有:从而得从而得:的导数的导数复合函数的求导法则复合函数的求导法则, 有有所确定的隐函数所确定的隐函数22上页下页铃结束返回首页例例9 求由方程求由方程解解 方程两边对方程两边对 求导求导, 得得因因 , 所以所以 即有即有-2xyo2424-2-4-4所表示的曲线所表示的曲线 在在 点的切线方程点的切线方程.代入代入所以切线方程为所以切线方程为23上页下页铃结束返回首页确定的曲线在确定的曲线在例例10 求由方程求由方程解解 方程两边对方程两边对 求导求导, 得得将将 代入上式代入上式, 解出解出 得得故切线方程为故切线方程为点的切线方程点的切线方程.24上页下页铃结束返回首页例例11 求函数求函数解解 两边取对数两边取对数, 得得 的导数的导数.两边求导两边求导, 得得即即25上页下页铃结束返回首页 上例中的方法可以普遍应用于求形如上例中的方法可以普遍应用于求形如的导数的导数. 基本方法是基本方法是: 两边先取对数两边先取对数, 得得求导后得求导后得:即有即有:该方法称为对数求导法该方法称为对数求导法.26上页下页铃结束返回首页例例12 求函数求函数的导数的导数.解解 两边取对数后得两边取对数后得求导后有求导后有即即27上页下页铃结束返回首页例例13 求函数求函数解解 对这一类函数尽管也可以用导数的四则运算来求得对这一类函数尽管也可以用导数的四则运算来求得,但是相当烦琐但是相当烦琐. 用对数求导法可大大简化计算用对数求导法可大大简化计算.的导数的导数. 两边取对数后得两边取对数后得:求导得求导得:即即 28上页下页铃结束返回首页小小 结结反函数的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则隐函数的导数隐函数的导数 方程两边分别关于自变量求导方程两边分别关于自变量求导幂指函数幂指函数的导数的导数对数求导法对数求导法29上页下页铃结束返回首页课后练习课后练习P72-73 习题习题2-3 1-6P79 习题习题2-4 1，，230上页下页铃结束返回首页第二次作业第二次作业P72 1、（、（1）（）（3）（）（5）（）（7））P79 1、（、（2）（）（3）） 31。