光路计算与近轴光学系统.ppt

第三节 光路计算与近轴光学系统,一、基本概念与符号法则二、实际光线的光路计算三、近轴光线的光路计算,※ O：顶点 ※ C：球面曲率中心 ※ OC：球面曲率半径，r※ OE：透镜球面，也是两种介质 n 与 n’ 的分界面 ※ h：光线投射高度※ 物方截距：顶点O到入射光线与光轴交点，用L表示※ 物方倾斜角：入射光线AE与光轴的夹角，也叫物方孔径角，用U表示※ 像方截距：顶点O到折射光线与光轴交点，用L’表示※ 像方倾斜角：折射光线EA’与光轴的夹角，也叫像方孔径角，用U’表示※ 入射角I ※ 折射角I’ ※ 法线与光轴的夹角φ※ 子午平面：通过物点和光轴的截面,一、基本概念与符号法则,,只知道无符号的参数，光线可能有四种情况要确定光线的位置，仅有参量是不够的，还必须对符号作出规定符号规则,（一）光路方向,从左向右为正向光路，反之为反向光路二）线段,即线段的原点为起点，向右为正，向左为负沿轴线段：从起点（原点）到终点的方向与光线传播方向相同，为正；反之为负1）曲率半径 r，以球面顶点 O 为原点，球心 C 在右为正，在左为负。

2）物方截距 L 和像方截距 L’ 也以顶点 O 为原点，到光线与光轴交点，向右为正，向左为负3）球面间隔 d 以前一个球面的顶点为原点，向右为正，向左为负在折射系统中总为正，在反射和折反系统中才有为负的情况）,垂轴线段：以光轴为界，上方为正，下方为负三）角度,角度的度量一律以锐角来度量，由起始边顺时针转到终止边为正，逆时针为负1）光线与光轴的夹角，如 U、U’，以光轴为起始边起始边规定如下：,-U,U’,（2）光线与法线的夹角，如I、I’，以光线为起始边3）入射点法线与光轴的夹角φ（球心角），以光轴为起始边A,B,-L,y,O,E,-U,C,r,L’,A’,U’,B’,h,-y’,I,I’,φ,练习：试用符号规则标出下列光组及光线的位置,（1）r = -30mm、L = -100mm、U = -10°（2）r = 30mm、L = -100mm、U = -10°（3）r1 = 100mm、r2 = -200mm、d = 5mm、L = -200mm、U = -10°（4）r = -40mm、L’ = 200mm、U’ = -10°（5）r = -40mm、L = -100mm、U = -10°、L’= -200mm,符号规则是人为规定的，一经定下，就要严格遵守，只有这样才能导出正确结果,当结构参数 r , n , n’ 给定时，只要知道 L 和 U ，就可求 L’ 和 U’,,二、实际光线的光路计算,△AEC中，－L＋r = AC，并由正弦定理可得：,,在△EA’C中，CA’ = L’-r，由正弦定理，可得,上述四个公式就是子午面内光路计算的实际光路公式，当 n、n’、r 和 L、U 已知时，可依次求出 U’ 和 L’。

当物点位于光轴上无限远处时，可以认为它发出的光是平行于光轴的平行光，此时有 L = -∞，U = 0,然后再按其它实际光路公式计算,入射角可以按,计算,例：已知一折射球面其 r = 36.48mm，n = 1，n’ = 1.5163轴上点A的截距 L = -240mm，由它发出一同心光束，今取 U 为 -1°、-2°、-3°的三条光线，分别求它们经折射球面后的光路即求像方截距L’和像方倾斜角U’）,U= -1°: U’= 1.596415° L’=150.7065mmU= -2°: U’= 3.291334° L’=147.3711mmU= -3°: U’= 5.204484° L’=141.6813mm,可以发现：同一物点发出的物方倾斜角不同的光线过光组后并不能交于一点！,轴上点以宽光束经球面成像时，存在像差（球差）折射球面对轴上点以宽光束成像是不完善的，所成的像不是一点，而是个模糊的像斑，在光学上称其为弥散斑一个物体是由无数发光点组成的，如果每个点的像都是弥散斑，那么物体的像就是模糊的将物方倾斜角 U 限制在一个很小的范围内，人为选择靠近光轴的光线，只考虑近轴光成像，这是可以认为可以成完善像,U，U’，I，I’ 都很小，我们用弧度值来代替它的正弦值，并用小写字母表示。

同时 L，L’ 也用小写表示三、近轴光线的光路计算,则实际光路公式可写成：,称为近轴公式,,当无限远物点发出的平行光入射时，有,继续用其余三个公式例2：仍用上例的参数 r = 36.48mm, n = 1, n’ = 1.5163, l = -240mm, sinU = u = -0.017求：l’, u’,与大 L 公式计算的结果比较：L’ = 150.7065mm.(1°),近轴光学的基本公式的推导,对于近轴光而言，AO = -l，OA’ = l’，tgu = u，tgu’ = u’,有：lu = l’u’ = h,给出了 u 和 u’ 的关系,给出了 l 和 l’ 的关系,“阿贝不变量”当物点位置一定时，物空间和像空间的 Q 值相等由阿贝不变量公式和物像位置关系公式可知，l’ 与 u 无关由近轴细光束成的完善像称为高斯像,光学系统在近轴区成像性质和规律的光学称为高斯光学或近轴光学这说明轴上点发出的靠近光轴的细小同心光束经球面折射后仍是同心光束，可以会聚到一点，也就是所成的像是完善的第四节 球面光学成像系统,一、单个折射面成像二、球面反射镜成像三、共轴球面系统,（一）垂轴放大率,垂直于光轴，大小为 y 的物体经折射球面后成的像大小为 y’，则,β 称为垂轴放大率或横向放大率,一、单个折射面成像,△ABC ∽ △A’B’C 有：,可得：,可见β只取决于介质折射率和物体位置。

根据β的定义和公式，可以确定物体的成像特性：,（1）若β> 0，即 y 与 y’ 同号，表示成正立像反之成倒立像对横向放大率的讨论,（2）若β > 0，即 l 与 l’ 同号，表示物象在折射球面同侧，物像虚实相反反之 l 与 l’ 异号，物像虚实相同可归结为： β>0，成正立像且物像虚实相反 β<0，成倒立像且物像虚实相同3）若 |β| > 1，则 |y’| > |y|，成放大像，反之 |y’| < |y|，成缩小像,还可发现，当物体由远而近时，即 l 变小，则β增大,成像的位置、大小、虚实、倒正极为重要！！！,轴向放大率表示光轴上一对共轭点沿轴向移动量之间的关系它定义为物点沿光轴作微小移动 dl 时，所引起的像点移动量 dl’ 与 dl 之比，用α表示二）轴向放大率,整理后,由于,所以,（1）折射球面的轴向放大率恒为正，说明物点沿轴向移动时，像点沿光轴同方向移动2）轴向与垂直放大率不等，空间物体成像时要变形，立方体放大后不再是立方体折射球面不可能获得与物体相似的立体像3）公式应用条件：dl 很小讨论：,在近轴区内，角放大率定义为一对共轭光线与光轴夹角 u’ 与 u 的比值，用γ表示,（三）角放大率,将式,l u = l’ u’ = h,代入上式,可得,上式两边乘以n’/n，并利用垂轴放大率公式，可得,上式为角放大率与横向放大率之间的关系式。

角放大率表明了折射球面将光束变宽或变细的能力，只与共轭点的位置有关，与光线的孔径角无关,将轴向放大率与角放大率公式相乘，有：,上式为三种放大率的关系即：,J 称为拉赫不变量或传递不变量，可以利用这一性质，在物方参数固定后，通过改变 u’ 来控制 y’ 的大小，也就是可以通过控制像方孔径角来控制横向放大率上式称为拉格朗日－赫姆霍兹公式，它表明实际光学系统在近轴区域成像时，在一对共轭面内，其 n，u，y 或 n’，u’，y’ 的乘积为一常数 J解：,β < 0：倒立、实像、两侧,|β| < 1：缩小,例1-3：已知一个光学系统的结构参数， r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163, l = - 240mm, y=20mm 已求出：l’=151.838mm， 现求β, y’ （横向放大率与像的大小）,上例中，若 l1 = -100mm，l2 = -30mm，求像的位置大小当 l1 = -100mm 时： l1’ = 365.113mm β1 = -2.4079 y1’ = -48.1584mm,利用公式,,当 l2 = -30mm 时： l2’ = -79.0548mm β2 = 1.7379 y2’ = 34.7578mm,（一）物像关系,二、球面反射镜成像,,（二）放大率,现在已知 l1 和 u1，要求 l2’ 和 u2’,三、共轴球面系统,（1）用近轴公式算出光线经第一个折射面后的像方截距 l’1 和孔径角 u1’,问题分两步解决：,（2）将第一个面的出射光线作为第二个面的入射光线，再利用近轴公式求解最终的 l’2 和 u2’,将第一个折射面像空间参数转化为第二个折射面物空间参数，称为转面公式。

注意：,推而广之，如果有k个折射球面，也必须先给定光学系统的结构参数：,（1）每个球面的曲率半径r1，r2……rk（2）每个球面间隔d1，d2……dk（3）每个球面间介质折射率n1，n’1=n2，n’2=n3 …… n’k-1=nk，最后一个面后的折射率为n’k.,反复应用近轴公式进行计算，此时，前一个面的像空间就是后一个面的物空间参数关系：,上述公式为共轴球面系统近轴光线计算的转面公式，它对于宽光束成像也适用，只需将小写字母 u 和 l 换成大写即可由于：,有：,这就是光线高度转面公式的一般形式，在计算时如 u1 和 h1 已知，则可算出 hk 和 u’k,将公式,两式中对应项相乘，可得：,拉赫公式,由第一面，有拉赫公式,同样第二面，有,而,所以有,这说明，拉赫不变量不仅对于一个面的物像空间，而且对于整个系统的每一个面都是不变量利用这一点，我们可以对计算结果进行检验,放大率公式,（一）横向放大率,由于y’1=y2, y’2=y3……上式可以写成：,整个系统的横向放大率是各个折射面放大率的乘积,若将,代入，可得：,由拉赫公式,还可得到：,说明整个光学系统的轴向放大率是各个折射面放大率的乘积,（二）轴向放大率,（三）角放大率,根据转面的一般公式可变换为：,（四）三者关系,很明显，为：,成像计算中有三种方法,及过渡公式,方法1：,对每一面用追迹公式,对每一面应用物像位置公式,及过渡公式,方法2：,方法3：,像平面上 y ＝ 0 来计算物体经过多个折射球面后像面的位置。

及过渡公式,对每一面应用物像位置公式,作业,。