大学文科数学课件：极限与连续.ppt

单击此处编辑母版标题样式,极限与连续,极 限 与 连 续,2.1,数列的极限,2.2,函数的极限,2.3,无穷大量与无穷小量,2.4,极限运算法则,2.5,等价无穷小,2.6,函数的连续与间断,2.7,连续函数的运算与性质,2.1,数 列 的 极 限,我们先来看几个例子：,在这几个例子当中，都是按照一定顺序排列的一些数,.,我们把按照一定顺序排列的无穷多个数,a,1,，,a,2,，,，,a,n,，,称为无穷数列，简称数列，记做,a,n,.,其中,a,n,称为数列的通项或一般项,.,例如,:,设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为,A,1,；再作内接正十二边形，其面积记为,A,2,；,；再作内接正,62,n,1,边形，其面积记为,A,n,（,n,N,).,当,n,无限增大时，这个数列,A,n,越来越接近圆的面积，如图,2.1.1,所示,.,图2.1.1,定义,2.1.1,给定数列,a,n,，如果当项数,n,无限增大时，通项,a,n,无限地趋向于（或接近于）某一个常数,A,，则称,A,为,n,趋于无穷时数列,a,n,的极限，记做当一个数列有极限的时候，我们也说这个数列是收敛的,.,如果当,n,时，数列,a,n,不以任何常数为极限，则称数列,a,n,是发散的,.,例,2.1.1,下列各数列是否收敛,若收敛,试指出其收敛于何值,.,(1)2,n,；,(2),(3)(,1),n,+1,；,解,(1),数列,2,n,即为,2,4,8,2,n,可见，当,n,无限增大时，,2,n,也无限增大，故该数列是发散的,.,(2)数列即为,可见，当,n,无限增大时，无限地接近于,0,，故该数列收敛于,0,，记做,(3),数列,(,1),n,+1,即为,1,1,1,1,(,1),n,+1,可见，当,n,无限增大时，,(,1),n,+1,无休止地反复取,1,1,两个数，而不会无限接近于任何一个确定的常数，故该数列是发散的,.,(4)数列即为,可见，当,n,无限增大时，,(,n,1)/,n,无限地接近于,1,，故该数列收敛于,1,，记做,(5),数列,1,即为,1,，,1,，,1,，,1,，,，,1,，,这个数列每一项都等于,1,，这是我们所说的常数列,.,对于常数列来说，它的极限就是它自身，即,2.2,函 数 的 极 限,2.2.1,x,无限增大（记做,x,+,）时函数,f,(,x,),的极限,例,2.2.1,考察当,x,+,时,函数,的变化趋势,.,从图,2.2.1,中我们可以看到，当自变量,x,+,时函数,(,x,0),就会无限地变小，并且无限地接近于常数,0.,这时，我们就把常数,0,称为函数当,x,+,时的极限,.,图2.2.1,例,2.2.2,考察当,x,+,时,函数的变化趋势,.,从图,2.2.2,中我们可以看到，当自变量,x,+,时，函数的值在,0,的上下来回摆动，并且摆动的幅度越来越小，最终无限地接近于,0.,这时，我们就把常数,0,称为函数当,x,+,时的极限,.,定义,2.2.1,一般地，给定函数,f,(,x,),，如果当,x,无限增大时，,f,(,x,),无限地接近于某一个常数,A,，那么我们就称这个常数,A,为函数,f,(,x,),当,x+,时的极限，记做例如，我们可以将例,2.2.1,和例,2.2.2,中的两个极限分别表示成,定理,2.2.1,例,2.2.3,考察当,x,时，函数的极限,.,从图,2.2.3,中可以看到，无论,x,+,还是,x,，函数都无限地接近于常数，所以,图2.2.3,2.2.2,x,趋于有限值时的极限,例,2.2.4,考察函数处的特征,.,从函数的形式中我们发现，该函数的定义域为,x,R,且,x,1.,对于任何,x,1,，我们可以通过对分子的因式分解，消去公因子而化简这个函数，即,因此该函数的图像就是挖掉点,(1,2),的直线,y,=,x,+1,如图,2.2.4,所示,.,图2.2.4,从表,2.2.1,中可以看到，当,x,趋近于,1,（记做,x1,）时，,f,(,x,),无限地趋近于,2.,这时我们称常数,2,为函数当,x,1,时的极限,.,例,2.2.5,考察当,x,a,时，常函数,f,(,x,)=,C,的极限,.,从图,2.2.5,中可以看到，当,x,a,时，以上所讲的,x,趋于,a,时,f,(,x,),的极限为,A,，包含了两种情形,:,一个是当,x,a,时向,a,趋近；另一个是当,x,a,时向,a,趋近,.,这两种情形下,f,(,x,),都趋近于,A,.,有时我们还要考虑,x,仅从,a,的一侧趋近于,a,时,f,(,x,),的极限,.,图2.2.5,例,2.2.6,函数,y,=,f,(,x,),的图像如图,2.2.6,所示，从图像中我们可以看到，当,x,从,0,的左侧（即,x,0,）向,0,趋近时，,f,(,x,),无限地趋近于,1,，类似地，我们称,1,为,f,(,x,),当,x,趋于,0,时的右极限,.,图2.2.6,可见，左、右极限存在但不相等，所以不存在，图像如图,2.2.7,所示,.,图2.2.7,例,2.2.8,讨论当,x,趋于,0,时函数的变化趋势,.,从图,2.2.8,中我们可以看到，当,x,无限地趋向于,0,时，的图形在,1,与,1,之间发生了剧烈的振荡，即,f,(,x,),不趋向于某一个常数，所以当,x,0,时，没有极限,.,图2.2.8,2.3,无穷大量与无穷小量,2.3.1,无穷大量,我们先来看两个函数的极限,:,，,对于函数,f,(,x,)=2,x,，当,x,+,时，其函数值无限增大；而对于函数，当,x,0,时，其函数值的绝对值无限增大,.,这种函数的变化趋势称做是无穷大量,.,2.3.2,无穷小量,定理,2.3.1,其中,(,x,),是当,x,x,0,时的无穷小,.,除此之外，无穷小量还具有其他一些非常重要的性质,.,定理,2.3.2,在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小,.,定理,2.3.3,有界函数与无穷小的乘积是无穷小,.,推论,2.3.1,在自变量的同一变化过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小,.,推论,2.3.2,常数与无穷小的乘积是无穷小,.,推论,2.3.3,有限个无穷小的乘积是无穷小,.,例如，当,x,0,时，都是无穷小,.,，,2.3.3,无穷小与无穷大的关系,(1),若,f,(,x,),是无穷大量，则为无穷小量；,(2),若,f,(,x,),是无穷小量且,f,(,x,)0,，则为无穷大量,.,例2.3.1 求,解 因为,根据无穷小与无穷大的关系有,2.4,极限运算法则,2.4.1,极限的四则运算法则,定理,2.4.1,若在同一变化过程下，,lim,f,(,x,),和,lim,g,(,x,),都存在，并且,lim,f,(,x,)=,A,，,lim,g,(,x,)=,B,，则,推论,2.4.1,如果,lim,f,(,x,),存在，而,c,为常数，则,lim,cf,(,x,),=clim,f,(,x,),这说明，在极限运算中，常数因子可以提到极限符号外面,.,推论,2.4.2,如果,lim,f,(,x,),存在，,n,是正整数，则,lim,f,(,x,),n,=,lim,f,(,x,),n,例,2.4.1,求 解,例,2.4.2,求,解 因为,所以,(1),设,f,(,x,)=,a,0,x,n,+,a,1,x,n,1,+,a,n,，则有,(2)设,且,Q,(,x,0,)0,，则有,例2.4.3 求,解 因为,，所以商的法则不能用.,又因为,所以,由无穷小与无穷大的关系，得,例,2.4.4,求解 当,x,1,时，分子、分母的极限都是,0,，这种类型的极限记做,0,0,型,.,求解时可以先约去不为,0,的无穷小因子,x,1,后再求极限，即,例,2.4.5,求解 当,x,时，分子、分母的极限都是无穷大，这种类型的极限记做,型,.,求解时可以用分子、分母中幂次最高的项去除分子、分母，分出无穷小，再求极限,.,本例中，我们用,x,3,去除分子、分母，即,我们把这种方法称做无穷小因子分出法,.,同时，我们可以总结出对于这种极限的求解法则，即当,a,0,0,，,b,0,0,，,m,和,n,为非负整数时，有,例,2.4.6,求解 当,x,4,时，所以不能直接使用商的极限运算法则,.,但是可以采用分母有理化消去分母中的零因子，即,例,2.4.7,求解 当,n,时，原数列是无穷小之和，可以先变形再求极限，即,例,2.4.8,求解 当,x,时，,1,x,为无穷小,.,而,sin,x,是有界函数，所以,图2.4.1,2.4.2,两个重要极限,下面通过一组数据的对比，来观察当,x,0,时，,sin,x,取值的变化情况，如表,2.4.1,所示,.,例2.4.11 求,解,=1,例2.4.12 求,例2.4.13 求,例2.4.14 求,例2.4.15 求,解,解,例,2.4.16,求,例,2.4.17,求,解,例2.4.18 求,解,例2.4.19 求,解,例,2.4.20,求,解,例,2.4.21,一投资者欲用,1000,元投资,5,年，设年利率为,6%,，试分别按单利率、复利率、每年,4,次复利率和连续复利率付息方式计算，到第,5,年末，该投资者应得的本利和,S.,解 按单利率计算,S,=1000+10000.065=1300(,元,),按复利率计算,S,=1000(1+0.06)5=10001.338 23=1338.23(,元,),按每年4次复利率计算,按连续复利率计算,(元),2.5,等 价 无 穷 小,用一组数据来进行说明，如表,2.5.1,所示,.,例,2.5.1,证明：当,x,0,时，,2xtan,3,x,为,x,的四阶无穷小,.,证 因为,故当,x,0,时，,2xtan,3,x,为,x,的四阶无穷小,.,例,2.5.2,当,x,0,时，求,tan,x,sin,x,关于,x,的阶数,.,解 因为,所以,tan,x,sin,x,为,x,的三阶无穷小,.,例,2.5.3,当,x,1,时，将下列各量与无穷小量,x,1,进行比较,.,(1),x,3,3,x,+2,；,(2)lg,x,；,(3),解,(1),由,知，当,x,1,时，,x,3,3,x,+2,是无穷小量，又,所以,x,3,3,x,+2,是比,x,1,高阶的无穷小量,.,例,2.5.4,求,解 因为,，所以当,x,0,时，,sin,x,x,，于是,例,2.5.5,求,解 当,x,0,时，,tan3,x,3,x,，,sin2,x,2,x,故,例2.5.6 求,解 当,x,0,时，,1,cosx(1,2),x,2,，,tan2,x,2,x,故,例,2.5.7,求错解 当,x,0,时，,tan,x,x,，,sin,x,x,，所以,例,2.5.8,求解,当,x,0,时，,故,例2.5.9 求,解 当,x,0,时，,tan,x,x,，故,例2.5.10 求,解 当,x,0,时，,sin,2,x,x,2,，故,例2.5.11 求,解 先化简分子，得,因为当,x,0,时，,ln(1+,x,2,+,x,4,),x,2,+,x,4,，,所以,2.6,函数的连续与间断,2.6.1,连续,为了介绍连续的定义，我们先来讨论增量的概念,.,如图,2.6.1,所示，设函数,f,(,x,),在,U,(,x,0,),内有定义，,x,U,(,x,0,),x,=,x,x,0,称为自变量在点,x,0,处的增量,y,=,f,(,x,),f,(,x,0,),称为函数,f,(,x,),相应于,x,的增量,.,图2.6.1,例,2.6.2,证明函数,y,=sin,x,在区间,(,+),上是连续的,.,证 任取,x,(,+),，有,因为,则,例,2.6.3,讨论函数,在,x,=0,和,x,=1,处的连续性,.,解 在,x,=0,处,:,因为,所以,例2.6.4 已知函数,在,x,=0,处连续，求,b,的值,.,解 因为,又知,f,(,x,),在,x,=0,处连续，则,即,b,=,1.,2.6.2,间断,定义,2.6.3,如果,f。