高中数学解三角形方法大全.docx

解三角形1 .解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形以下若无特殊说明,均设ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,则有以下关系成立:(1)⑵边的关系:角的关系:b, b c aA、B、C(或满足：两条较短的边长之和大于较长边)(3)边角关系:sin A0,sin( AB) sinC,cos(A B) cosC ,A BA B sin 2C cos— 2正弦定理、余弦定理以及它们的变形1板块一：正弦定理及其应用1.正弦定理：—sin A sin B sin Cc— 2R ,其中ABC的外接圆半径4’2 .正弦定理适用于两类解三角形问题：(1)已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；(2)已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角(注意此角有两解、一解、无解的可能)，再计算第三角，最后根据正弦定理求出第三边【例1】考查正弦定理的应用(1)ABC中，若60tanA 2BC 2 ,则 AC(2)ABC中，若30(3)ABC中，若458,则C(4)ABC中，若csin A,b的最大值为总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在ABC中，已知a、b、AAf(1)若A为钝角或直角，则当ab时，ABC有唯一解；否则无解。

2)若A为锐角，则当absinA时，三角形无解；当absinA时，三角形有唯一解；当bsinAab时，三角形有两解；当ab时，三角形有唯一解实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能板块二：余弦定理及面积公式1 .余弦定理：在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,则有余弦定理:2 .2 2a b c 2bccosAb2 a2 c2 2accosB , 其变式为:c2 a2 b2 2ab cosCcosAcosBcosC.2 2 2b c a2bc2 2,2a c b2ac2 . 2 2a b c2ab2 .余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题：(1)已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角(或由余弦定理求第二个角)，最后根据“内角和定理”求得第三个角；(2)已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角(或由余弦定理求第二个角)，最后根据“内角和定理”求得第三个角；说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决3 .三角形的面积公式(1)ABC2aha1…1,-bhb-chc22(ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高)；(2)ABC1.八1,〃一absinC-bcsinA(3)ABC22RsinAsinBsinC1c一acsinB2(R为外接圆半径)(4)ABCabc;4R(5)ABC..p(pa)(pb)(pc)1，、其中p(abc)2(6)ABC1-rl(r是内切圆的半径,2l是三角形的周长)【例】考查余弦定理的基本应用(1)在ABC中，若a2了，b展”，C45,求c、A、B;(2)在ABC中，若aJ13,b4,c3,求边AC上的高h；(3)在ABC中，若a2JT3,b8,A60,求c【例】(1)在ABC中，若a7,b8,cosC一，则ABC中最大角的余弦值为14111一(2)(10上海理)某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为」、」、」，则()13115A.不能作出这样的三角形B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形(3)以3、4、x为三边组成一个锐角三角形，则x的取值范围为【例】考查正余弦定理的灵活使用1 .OO.(1)在ABC中，右acosBbcosAcsinC,其面积S—(b2c2a2),则B4(2)在ABC中，若(J3bc)cosAacosC,贝UcosA(3) (07天津理)在ABC中，若a2b2v'3bc,sinC2n'4sinB,则A(4) (10江苏)在锐角ABC中，若B-6cosC,则"tanC-tanCabtanAtanB【例】判断满足下列条件的三角形形状(1)a2tanBb2tanA；(2)sinC2cosAsinB；(3)cosAcosBabc(4)(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)；(5)basinC,cacosB板块三：解三角形综合问题【例】(09全国2)32在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,cos(AC)cosB—，bac,求B4_【例】(11西城一模)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且cosB-,b2..5一一(1)当a一时，求角A的度数；(2)求ABC面积的最大值【例】在ABC中，sinAcosA匕，AC2,AB3,求sinA的值和ABC的面积【例】在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知c2,C(1)若ABC的面积等于J3,求a、b；(2)若sinCsin(BA)2sin2A,求ABC的面积cos A cos B【例5】(09江西理)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且tanCsinAsinBsin(BA)cosC(1)求A、C(2)若SABC3J3,求a、c.一、…一，.一.、，1【例】(09安徽理)在ABC中，sin(CA)1,sinB(1)求sinA的值；(2)设AC”6,求ABC的面积III【例】(10辽宁理)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC(1)求A的大小；(2)求sinBsinC的最大值a。

例】在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,,SABC—(a2b2c2)4(1)求C的大小;(2)求sin Asin B的范围【例】(11全国2)设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知AC90,ac&b,求CC【江西理】在ABC中，角A、B、C的对边分力1J是a、b、c,已知sinCcosC1sin—2(1)求sinC的值；(2)若a2b24(ab)8,求边c的值【11江西文】在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,已知3acosAccosBbcosC2.3(1)求cosA的值；(2)右cosBcosC,a1,求边c的值3。