材料力学应力圆法.ppt

7 3平面应力状态分析 图解法 Analysisofplanestress statewithgraphicalmeans 一 莫尔圆 Mohr scircle 将斜截面应力计算公式改写为 把上面两式等号两边平方 然后相加便可消去 得 因为 x y xy皆为已知量 所以上式是一个以 为变量的圆周方程 当斜截面随方位角 变化时 其上的应力 在 直角坐标系内的轨迹是一个圆 1 圆心的坐标 Coordinateofcirclecenter 2 圆的半径 Radiusofcircle 此圆习惯上称为应力圆 planestresscircle 或称为莫尔圆 Mohr scircle 1 建 坐标系 选定比例尺 二 应力圆作法 Themethodfordrawingastresscircle 1 步骤 Steps o 2 量取 OA x AD xy 得D点 OB y 3 量取 BD yx 得D 点 4 连接DD 两点的直线与 轴相交于C点 5 以C为圆心 CD为半径作圆 该圆就是相应于该单元体的应力圆 1 该圆的圆心C点到坐标原点的距离为 2 该圆半径为 2 证明 Prove 三 应力圆的应用 Applicationofstress circle 1 求单元体上任一截面上的应力 Determinethestressesonanyinclinedplanebyusingstress circle 从应力圆的半径CD按方位角 的转向转动2 得到半径CE 圆周上E点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力 o 2 0 证明 1 点面之间的对应关系 单元体某一面上的应力 必对应于应力圆上某一点的坐标 2 夹角关系 圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍 两者的转向一致 2 求主应力数值和主平面位置 Determineprinciplestressandthedirectionofprincipleplanebyusingstresscircle 1 主应力数值 A1和B1两点为与主平面对应的点 其横坐标为主应力 1 2 2 主平面方位 由CD顺时针转2 0到CA1 所以单元体上从x轴顺时针转 0 负值 即到 1对应的主平面的外法线 0确定后 1对应的主平面方位即确定 3 求最大切应力 Determinemaximumshearingstressbyusingstresscircle G1和G两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力 因为最大最小切应力等于应力圆的半径 例7 4 1已知求此单元体在 30 和 40 两斜截面上的应力 例7 4 2 讨论圆轴扭转时的应力状态 并分析铸铁件受扭转时的破坏现象 解 1 取单元体ABCD 其中 这是纯剪切应力状态 2 作应力圆主应力为 并可确定主平面的法线 3 分析纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等 但一为拉应力 另一为压应力 由于铸铁抗拉强度较低 圆截面铸铁构件扭转时构件将沿倾角为45 的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏 已知受力物体内某一点处三个主应力 1 2 3 利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力 一 空间应力状态下的最大正应力和最大切应力 themaximumnormalstressandshearstressinthree dimensionalstress state 7 4三向应力状态分析 analysisofthree dimensionalstress state 首先研究与其中一个主平面 例如主应力 3所在的平面 垂直的斜截面上的应力 1 2 2 用截面法 沿求应力的截面将单元体截为两部分 取左下部分为研究对象 主应力 3所在的两平面上是一对自相平衡的力 因而该斜面上的应力 与 3无关 只由主应力 1 2决定 与 3垂直的斜截面上的应力可由 1 2作出的应力圆上的点来表示 该应力圆上的点对应于与 3垂直的所有斜截面上的应力 O 与主应力 2所在主平面垂直的斜截面上的应力 可用由 1 3作出的应力圆上的点来表示 与主应力 所在主平面垂直的斜截面上的应力 可用由 2 3作出的应力圆上的点来表示 该截面上应力 和 对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内 abc截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面 a b c 1 2 1 2 3 结论 三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力 该点处的最大正应力 指代数值 应等于最大应力圆上A点的横坐标 1 最大切应力则等于最大的应力圆的半径 最大切应力所在的截面与 2所在的主平面垂直 并与 1和 3所在的主平面成45 角 例题9单元体的应力如图所示 作应力圆 并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位 解 该单元体有一个已知主应力 因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力 z无关 依据x截面和y截面上的应力画出应力圆 求另外两个主应力 由 x xy定出D点 由 y yx定出D 点 以DD 为直径作应力圆 A1 A2两点的横坐标分别代表另外两个主应力 1和 3 O 1 46MPa 3 26MPa 该单元体的三个主应力 1 46MPa 2 20MPa 3 26MPa 根据上述主应力 作出三个应力圆 7 5平面应变状态分析 Analysisofplanestrain state 平面应力状态下 已知一点的应变分量 x y xy 欲求 方向上的线应变 和切应变 可根据弹性小变形的几何条件 分别找出微单元体 长方形 由于已知应变分量 x y xy在此方向上引起的线应变及切应变 再利用叠加原理 一 任意方向的应变 Thestrainofanydirection 应力状态与应变状态 二 主应变数值及其方位 Theprincipalstrainsandit sdirection 。