2020年高考数学二轮复习（上海专版） 专题14 函数与方程思想（解析版）.docx
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专题14 函数与方程思想专题点拨函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的联系．函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，是历年高考的重点和热点．函数的思想是对函数概念的本质认识，就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想动中求静，研究运动中的等量关系．函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0.函数问题(例如求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点．(1)函数的零点与方程根的关系根据函数零点的定义可知：函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根．因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断相应的方程f(x)＝0是否有实数根，有几个实数根．(2)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．例题剖析一、函数与方程思想在求函数零点中的应用【例1】已知函数f(x)＝ 则函数g(x)＝2f(x)－2的零点个数为________个．【答案】 2 【解析】 g(x)＝2|x|f(x)－2的零点个数，即是方程f(x)＝的根的个数，也就是y＝f(x)与y＝的图像的交点个数，分别作出y＝f(x)与y＝的图像，如图所示，由图像知y＝f(x)与y＝的图像有两个交点，所以函数g(x)有2个零点．【变式训练1】 若定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，函数，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数为 .【答案】8【解析】∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，又x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，∴f(x)的图象如图所示，在同一坐标系中作出函数g(x)的图像，可见y＝f(x)(－5≤x≤5)与y＝2x(x≤1)有5个交点，y＝f(x)(－5≤x≤5)与y＝log3(x－1)(x>1)的图象有3个交点，∴共有8个交点．二、函数与方程思想在求最值或求参数范围中的应用【例2】已知a、b、c∈R，a＋b＋c＝0，a＋bc－1＝0，求a的取值范围．【解析】 把所要求的问题转化成一元二次方程求解．因为b＋c＝－a，bc＝1－a，∴b、c是方程x2＋ax＋1－a＝0的两根，∴Δ＝a2－4(1－a)≥0，即Δ＝a2＋4a－4≥0，解得a≥－2＋2或a≤－2－2.【变式训练2】已知a、b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．【解析】 方法一：(看成函数的值域)∵ab＝a＋b＋3，∴a≠1，∴b＝，而b>0，∴>0，即a>1或a<－3，又a>0，∴a>1，故a－1>0.∴ab＝a·＝＝(a－1)＋＋5≥9.当且仅当a－1＝，即a＝3时取等号．又a>3时，(a－1)＋＋5是关于a的单调增函数．∴ab的取值范围是[9，＋∞)． 方法二：(看成不等式的解集)∵a，b为正数，∴a＋b≥2，又ab＝a＋b＋3，∴ab≥2＋3.即()2－2－3≥0，解得≥3或≤－1(舍去)，∴ab≥9.∴ab的取值范围是[9，＋∞)． 方法三：(看成方程的根)若设ab＝t，则a＋b＝t－3，∴a、b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的两个正根．从而，即，解得t≥9，即ab≥9.∴ab的取值范围是[9，＋∞)．【例3】已知二次函数(R，0)．(1)当０＜＜时，(Ｒ)的最大值为，求的最小值；(2)如果[0，1]时，总有||．试求的取值范围．【解析】(1)可算得.，. 又，.(2), 解得.【变式训练3】已知函数f(x)＝2cos2x＋cosx－1，g(x)＝cos2x＋a(cosx＋1)－cosx－3.若y＝f(x)与y＝g(x)的图像在(0，π)内至少有一个公共点．试求a的取值范围．【解析】 y＝f(x)与y＝g(x)的图像在(0，π)内至少有一个公共点，即有解，即令g(x)＝f(x)，cos2x＋a(cosx＋1)－cosx－3＝2cos2x＋cosx－1，a(1＋cosx)＝(cosx＋1)2＋1.∵x∈(0，π)，∴0<1＋cosx<2.∴a＝1＋cosx＋≥2.当且仅当1＋cosx＝，即cosx＝0时等号成立．∴当a≥2时，y＝f(x)与y＝g(x)在(0，π)内有解，即y＝f(x)与y＝g(x)的图像在(0，π)内至少有一个公共点．三、函数与方程思想在数列、解析几何、立体几何中的应用【例4】设首项为正数的等差数列的前项和为公差为，若.(1)求公差的取值范围；(2)若，求满足的正整数的最大值.【解析】(1), 解得公差满足：.(2) ,, 可算得.所求的最大值为4035.【变式训练4】若等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为__________．【答案】64 【解析】 设等比数列的公比为q(q≠0)，由得，解得.所以a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝8n×()＝2－n2＋n，于是当n＝3或n＝4时，a1a2…an取得最大值26＝64.【例5】 若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．【答案】 6 【解析】 由题意，得F(－1，0)，设点P(x0，y0)，则有＋＝1，解得y＝3.因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x0(x0＋1)＋3＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－2，因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，·取得最大值(2＋2)2＋2＝6.【变式训练5】在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x 【解析】 由抛物线定义可得：|AF|＋|BF|＝yA＋＋yB＋＝4×⇒yA＋yB＝p， 因为⇒a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，所以yA＋yB＝＝p⇒a＝b⇒渐近线方程为y＝±x.故填y＝±x. 四、函数与方程思想在不等式、方程中的应用【例6】已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，对于f(t)值域内所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，求x的取值范围．【解析】 t∈[，8]，∴≤log2t≤3，∴≤m≤3.方法一：不等式可化为：(2－x)m
