动态电路分析1.ppt

第五章 正弦电路的稳态分析,5.1 动态电路概述 5.2 一阶电路的零输入响应 5.3 一阶电路的零状态响应 5.4 一阶电路的全响应 5.5 求解一阶电路的三要素法 5.6 二阶电路的零输入响应 5.7 直流源激励时二阶电路的全响应,,电容或电感上的压降除了与其本身的参数有关外，还与这一时刻的电流的积分或微分值有关，即取决于电流的动态特性，因此将电容和电感称为动态元件，将含有动态元件的电路称为动态电路如果动态元件是线性时不变的，电路的激励与响应的关系用一阶线性常微分方程描述，则该动态电路称为一阶电路，如果电路的激励与响应的关系用二阶线性常微分方程描述，则该动态电路称为二阶电路本章的主要内容是分析一阶RC、RL电路和二阶RLC电路，以及电路的零输入响应、零状态响应、全响应、暂态响应、稳态响应、阶跃响应、冲击响应等5.1动态电路概述 5.1.1动态电路元件,电路中只含有电阻和一个动态元件时，就构成了一阶电路分析一阶电路之前，首先要知道如何将几个动态元件（电容或电感）的串并联等效为一个动态元件 1、电感的串联 在第一章中讲过，电感两端的电压和流过电感的电流的方向为关联参考方向时，它们之间的关系为,图5－1（a）是 n 个电感串联的电路，根据KVL，有,图5－1 n 个电感串联,（a）,（b）,即,因此图5－1（a）可等效为图5－1（b），且,即：串联电感的总电感等于各电感之和。

总电感大于任一串联电感 每个电感上的压降为,上式也称为分压公式，对只有两个电感串联的情况，有,图5－2（a）是 n 个电感并联的电路，根据KCL，有,2、电感的并联,图5－2 n 个电感并联,（a）,（b）,假设每个电感上的初始储能为0，则,即并联电感的倒数等于各并联电感的倒数之和这样，图5－2（a）可等效为图5－2（b） 流过各支路的电流为,其中,上式称为并联电感的分流公式，对于只有两个电感并联的情况，有,3、电容的并联,图5－3 n个电容的并联,（a）,（b）,电容两端的电压和流过电容的电流为关联参考方向时，二者之间的关系为,图5－3（a）是 n 个电容并联的电路，根据KCL，有,即,因此图5－3（a）可等效为图5－3（b），且,即：并联电容的总电容等于各电容之和总电容大于任一并联电容 流过各支路的电流为,上式称为并联电容的分流公式 对只有两个电容并联的特殊情况，其分流公式为,图5－4是 n 个电容串联的电路，根据KVL，有,4、电容的串联,图5－4 n 个电容串联,（a）,（b）,即串联电容的倒数等于各串联电容的倒数之和这样，图5－4（a）可等效为图5－4（b） 各电容上的电压为,假设每个电容上的初始储能为0，则上式可简化为,其中,上式也称为分压公式，对只有两个电容串联的情况，有,5.1.2换路定理 对动态电路而言，当电路的结构或元件参数发生变化时，可能使电路从一种工作状态变换到另一种工作状态，这种转变所需要的过程称为过渡过程。

电路的结构或元件参数发生变化引起的电路的变化统称为“换路”由电感和电容的伏安特性、可知，流过电感的电流不能发生跃变，否则 ；同样，电容两端的电压也不能发生跃变，否则 我们将换路时刻定为0时刻，即t＝0，把换路前的最终时刻定为0－时刻，即t＝0－，把换路后的最初时刻定为0＋时刻，即t＝0＋这样，要保证电容上的电压不跃变，就必须有,要保证电感上的电流不跃变，就必须有,以上两式称为换路定理t＝0＋时刻电路中的电流、电压称为电路的初始电流和初始电压，统称为初始值求初始值时，可将电感用iL(0＋)＝I0 的电流源代替，将电容用uC(0＋)＝U0 的电压源代替若电感的iL(0＋)＝0，则电感用开路代替，若电容的 uC(0＋)＝0，则电容用短路线代替 例5.1电路如图例5.1（a）所示，开关S在t＝0时刻由1倒向2，换路前电路已经处于稳定状态，求：t＝0＋时刻电容和电感上的电流、电压解：在t＝0－时刻前，电路已经处于稳定状态，因此电感可视为短路，电容可视为开路，因此有,图例5.1,（a）,（b）,；；；,根据换路定理，有,因此只需求uL(0+)和iC(0+)将电感用4mA的流源代替，电容用12V的压源代替，如图例5.1（b）所示，由此可得,由此可见，换路后既使没有独立源激励，由于电容和电感有初始储能，电路中仍有电流或电压响应。

当电路中没有激励，但至少有一个动态元件的初始储能不为零时，该电路称为零输入电路，对应的响应称为零输入响应5.2一阶电路的零输入响应 一个电阻和一个电容或一个电阻和一个电感，都可构成一阶电路本节要讨论一阶电路的零输入响应 5.2.1一阶 RC 电路的零输入响应,图5－5（a）是一个一阶 RC 电路，t＝0时刻换路，在t＝0－前电路已经处于稳定状态因此有 换路后，电路变为图5－5（b）所示的零输入电路，根据KVL，由图5－5（b）可得,图 5-5一阶 RC 电路,（a）,（b）,又因为,所以,即,这就是一阶 RC 电路的微分方程该方程是一个一阶线性常微分方程，因为是齐次微分方程，所以其解的一般形式为,特征根方程,A 是与初始条件有关的常数，λ是方程的特征根在t＝0＋时刻，有,因为,所以,由此可得,τ＝RC 称为一阶 RC 电路的时间常数因此微分方程的解为,所以,上式换路后电路中各元件上的电压和电流的瞬时值表达式电流和电压的幅值都随着时间作指数衰减，如图5－6所示，这一过程称为电路的暂态过程当t＝∞时，电容上的电流和电压均为0，放电结束，电路的暂态过程也就宣告结束，电路进入了新的稳定状态，这种稳态和t0时的稳态是不同的。

时间常数τ反映了电容的放电速度，或者说反映了暂态过程的进展速度电容 C 越大，τ越大，电容内储存的电荷量越大，放电时间越长；同样，电阻 R 越大，τ越大，放电电流越小，放电时间越长；反之则放电时间越短图5－6一阶 RC 电路的暂态过程,尽管在理论上要经过无穷长时间电路中的电流和电压才能衰减到0，但工程上，在经历(3～5)τ的放电时间后，电路中的电流和电压就已经衰减至初始值的5％～0.7%，此时可近似认为放电结束5.2.2一阶 RL 电路的零输入响应,图5－7（a）是一阶RL电路，在t0时电路已经处于稳态，在t＝0时刻换路换路后的电路如图5－7（b）所示由图5－7（a）可知,图5－7一阶 RL 电路,（a）,（b）,应用与一阶零输入 RC 电路相同的解法，可求得,由图5－7（b）可得,又,因此,其中 τ＝L/R 是一阶 RL 电路的时间常数零输入响应的衰减特性如图5－8所示与一阶RC 电路一样，零输入响应随着时间而指数性衰减，直至为0图5－8零输入响应的衰减特性,比较式零输入响应的各表达式不难看出，它们具有相同的形式，若用f(t)表示响应，则可统一表示为,因为分析的是换路后的暂态过程，所以上式通常表示为,（5.2.1）,上式中的f(0)与f(0+)的物理意义是一致的。

如果电路中有一个动态元件和多个电阻，可将公式中的电阻 R 看作从动态元件两端看入的戴维南（诺顿）等效电阻例5.2电路如图例5.2（a）所示，已知：US＝30V，RS＝R1＝3Ω，R2＝2Ω，R3＝4Ω，C＝4.5F，t0式电路已经处于稳态，t＝0时开关断开求电路的零输入响应uC、i1、i3图例5.2,（a）,（b）,（c）,解：由图例5.2（a）可求得电容两端的初始电压为,换路后，电路变为图例5.2（b），将图（b）中的电阻等效到C两端，可得图（c），图中等效电阻 Req 为,图（c）的时间常数为,因此电容两端的电压为,利用图（b）可得,也可以先求 i1(0＋)和i3(0＋)，然后根据式（5.47）求得i1(t)和i3(t) 5.3一阶电路的零状态响应 如果电路中所有动态元件的初始储能均为零，这种电路称为零状态电路零状态电路的响应称为零状态响应零状态电路的激励不能为0，本节讨论一阶电路的零状态响应 5.3.1直流激励时一阶RC电路的零状态响应 图5-9（a）中，t0时电路已经处于稳态，t＝0时刻换路，因此电容上没有初始储能，即uC(0－)＝0＝uC(0＋)换路后的电路如图5-9（b）所示，根据KVL可得,其中 A 是待定常数。

不同激励下方程的特解是不同的，具体情况如表5.1所示因此方程的特解为,这就是一阶 RC 电路的微分方程根据对一阶 RC 电路的零输入响应的分析可知，该方程的齐次解为,,,图5-9零状态一阶 RC 电路,（a）,（b）,,,,(5.3.1),将特解代入式（5.3.1）可得,因此式（5.3.1）的完全解为,,,在t＝0＋时刻，有uC(0＋)＝0，因此有,,由此可得,,因此方程的完全解为,,由此可求得电路中的电流为,,电阻两端的电压为,,直流激励情况下一阶电路的零状态响应实际上就是零状态的电容充电的过程，充电时间常数仍为τ＝RC，同样地，τ越大，所需的充电时间越长，暂态过程进展越慢电容两端的电压和充电电流在过渡过程中随时间的情况如图5-10所示图5-10电容的充电过程,由图5-10可见，在 t＝∞时，有uC(∞)＝US，iC(∞)=0，即充电结束时，电容两端的电压为常量，充电电流为0uC(∞)＝US 和 iC(∞)=0称为电路的稳态解a）,（b）,5.3.2直流激励时一阶 RL 电路的零状态响应,,,图5-10一阶 RL 电路,（a）,（b）,图5-10（a）是一个一阶 RL 电路，t0时电路已经处于稳态，t＝0时刻换路，因此 ＝0。

换路后的电路如图5-10（b）所示，根据KCL，可得图5-10（a）的电路方程为,,即,其中A为待定常数 因为激励是直流，因此方程的特解是常数，即,该方程的齐次解为,,,,因此,,所以方程的完全解为,,根据初始条件 ＝0，可得,,,即,,因此方程的完全解为,,电路中其它量的解为,,,在t＝∞时，iL(∞)＝IS，uL(∞)＝0，iR(∞)＝0，即电感充电结束时，流过电感的电流为常量，电流，电感两端的电压为0iL(∞)＝IS，uL(∞)＝0，iR(∞)＝0称为方程的稳态解 比较一阶RC电路和一阶RL电路的零状态响应可以发现，它们具有相同的形式，即直流激励时，一阶电路的零状态响应 iL(t)和uC(t)均可表示为,,(5.3.1),例5.3电路如图例5.3（a）所示，t0时电路已处于稳态，t＝0时刻开关断开，求换路后的iL(t)、iL(t)和 iR(t)图例5.3,（a）,（b）,（c）,解：换路前电感中没有电流流过，根据换路定理，有 换路后的电路如图（b）所示，对图（b）中电感左边的电路作诺顿等效，可得图（c），图（c）中的等效电流和等效电阻分别为,时间常数为,,,,由图（c）可见，在t＝∞时，iL(∞)=1A，因为激励为直流，所以,,因此电感两端的电压为,,利用图（b）可得,5.3.3阶跃函数和阶跃响应 单位阶跃函数通常用 u(t)表示，其定义为,,,其波形如图5-11所示，在跳变点t＝0，函数值不定义或定义为 u(0)＝1/2。

图5-11阶跃函数,单位阶跃函数可以看作在t＝0时刻电路中接入了一个单位直流激励，这个激励将在电路中作用到t＝∞如果信号推迟到 t＝t0 时刻接入，则相当于单位激励延迟了t0，如图5-12所示 用阶跃函数可以鲜明地表现信号的单边特性，即信号在某接入时刻前幅值为0利用阶跃函数的这一特性，可以方便地描述各种信号的接入特性，如图5-13所示矩形脉冲（a）可表示为,,图5-12延迟的单位阶跃信号,,,图5-13用阶跃函数表示的信号,（a）,（b）,,定时长指数（b）可表示为,,阶跃响应指电路在阶跃信号作用下的零状态响应当电路中有多个不同延迟的阶跃信号作为激励时，可通过叠加定理求得在任一时刻电路的响应 例5.4电路如图例5.4（a）所示，求电感电流iL(t)图例5.4,（a）,（b）,时间常数为,解：。