七年级数学培优新帮手专题06有理数的计算试题新版新人教版.doc

专题课件专题06 有理数的计算阅读与思考 在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算．　　数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度．有理数的计算常用的技巧与方法有： 1．利用运算律． 2．以符代数． 3．裂项相消． 4．分解相约． 5．巧用公式等．例题与求解【例1】 已知m，n互为相反数，a，b互为负倒数，x的绝对值等于3，则的值等于______________．（湖北省黄冈市竞赛试题） 解题思路：利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算．【例2】 已知整数满足，且，那么等于（ ） A． 0 B． 10 C．2 D．12（江苏省竞赛试题） 解题思路：解题的关键是把25表示成4个不同的整数的积的形式．【例3】 计算：（1）（“祖冲之杯”邀请赛试题）（2）；（江苏省泰州市奥校竞赛试题）（3）．（“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：对于（1），若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于（2），由于相邻的后一项与前一项的比都是7，考虑用字母表示和式；（3）中裂项相消，简化计算．【例4】 都是正整数，并且，．(1)证明：，；(2)若，求和的值．（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题） 解题思路：（1）对题中已知式子进行变形．（2）把（1）中证明得到的式子代入，再具体分析求解．【例5】 在数学活动中，小明为了求的值（结果用表示），设计了如图①，所示的几何图形．（1）请你用这个几何图形求的值．（2）请你用图②，在设计一个能求的值的几何图形．（辽宁省大连市中考试题） 解题思路：求原式的值有不同的解题方法，二剖分图形面积是构造图形的关键．【例6】 记，令称为这列数的“理想数”，已知的“理想数”为2004．求的“理想数”．（安徽省中考试题） 解题思路：根据题意可以理解为为各项和，为各项和的和乘以．能力训练A级1．若互为相反数，互为倒数．，的值为____________．（湖北省武汉市调考试题）2．若，则=___________．（“希望杯”邀请赛试题）3．计算：（1）＝________________；（2）＝__________________．4．将1997减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，，依次类推，直至最后减去余下的，最后的答案是_______________．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．右图是一个由六个正方体组合而成的几何体，每个小正方体的六个面上都分别写着－1，2，3，－4，5，6六个数字，那么图中所有看不见的面上的数字和是___________．（湖北省仙桃市中考试题）6．如果有理数满足关系式，那么代数式的值（ ） A． 必为正数 B．必为负数 C．可正可负 D．可能为0（江苏省竞赛试题）7．已知有理数两两不相等，则，，中负数的个数是（ ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D．0个或2个（重庆市竞赛试题）8．若与互为相反数，则＝（ ） A． 0 B． 1 C． －1 D．1997（重庆市竞赛试题）9．如果，，则的值是（ ） A．2 B． 1 C． 0 D．-1（“希望杯”邀请赛试题）10．若是互为不相等的整数，且，则等于（ ） A．0 B． 4 C． 8 D．无法确定11． 把，3.7，，2.9，4.6分别填在图中五个Ο内，再在每个□中填上和它相连的三个Ο中的数的平均数，再把三个□中的平均数填在△中．找出一种填法，使△中的数尽可能小，并求这个数．（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）12．已知都不等于零，且的最大值为，最小值为，求的值．B级1．计算：＝________________．（“五羊杯”竞赛试题）2．计算：＝________________．（“希望杯”邀请赛试题）3．计算：＝____________________．4．据美国詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类的知识总量已达到每三年翻一翻，到2020年甚至要达每73翻番空前速度，因此，基础教育任务已不是“教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习”． 已知2000年底，人类知识总量，假入从2000年底2009年底每3年翻一翻；从2009年底到2019年底每1年翻一番；2020年是每73天翻一翻．（1）2009年底人类知识总量是：__________________；（2）2019年底人类知识总量是：__________________；（3）2020年按365天计算，2020年底类知识总量会是____________________．（北京市顺义区中考试题）5．你能比较和的大小吗？ 为了解决这个问题，我们首先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是自然数），然后我们从分析n=1，n=2，n=3…中发现规律，经归纳、猜想得出结论（1）通过计算，比较下列各组中两数的大小：（在横线上填写“＞”“=”“＜”） ①，②；③；④；⑤（2）从第（1）题的结果中，经过归纳，可以猜想出与的大小关系是_____________________________________________________________________________；（3）根据以上归纳．猜想得到的一般结论，试比较下列两数的大小_____：．（福建省龙岩市中考试题）6．有2009个数排成一列，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和．若第一个数是1，第二个数是－1，则这个2009个数的和是（ ） A． －2 B．－1 C．0 D．2（全国初中数学竞赛海南省试题）7．如果，那么的值为（ ） A． －1 B．1 C． D．不确定 （河北省竞赛试题）8．三进位制数201可用十进制数表示为；二进制数1011可用十进制法表示为．前者按3的幂降幂排列，后者按2的幂降幂排列，现有三进位制数，二进位制数，则与的大小关系为（ ）． A． B． C． D．不能确定（重庆市竞赛试题）9．如果有理数满足，则（ ） A． B． C． D．（“希望杯”邀请赛试题）10．有1998个互不相等的有理数，每1997个的和都是分母为3998的既约真分数，则这个1998个有理数的和为（ ） A． B． C． D．（《学习报》公开赛试题）11．观测下列各式：， ， ．．．回答下面的问题：（1）猜想＝______________．（直接写出你的结果）（2）利用你得到的（1）中的结论，计算的值．（3）计算①的值； ②的值．专题 06 有理数的计算例1 28或-26例2 D 提示 ：abcd=5×1×（-1）×（-5），a=-5，b=1，c=-1，d=-5.例3 （1） 提示：==. （2） 提示：设s=，则7s=（3）原式=+=1+1-=2-=例4 （1）A===同理B=由A-B=-==得∴m==13-，又∵m，n均为正整数，∴13+n为13×13的因数，∴13+n=∴n156，m=12.例5 （1）原式=1-，（2）例6 由题意知 ，即.又∴=2004×500.故8，，，…，的“理想数“为””==2008.A级1.2 提示：原式==1+1=2.2.2 提示：M-1+，解得 M=2.3.（1）；（2）-84. 1 提示：设a=1997，由题意原式== 5.-13 6.B 7.B 提示：不妨设x>y>z.8.B 9.D 10.A 11.提示：设○内从右到左填的数分别为，，，，则△内填的数为.要使△中填的数尽可能小，则，， 分别为2，9，3，7，而剩下的两个为，.12.1998 提示 ：时，m=4；时，n-4.B级1.612.5 提示：倒叙相加.2.6 提示：3. 4.（1） （2） （3）5.（1）略 （2）当n<3时，；当n≥3时， （3）>001-00076. A 提示：先写出前面一些数：1，－1，－2，－1，1，2，1，－1，…，经观察发现每6个数为一次循环，又2009＝334×6＋5.而每一组中1＋（－1）＋（－2）＋（－1）＋1＋2＝0，故这2009个数的和，等于最后五个数之和.为1＋（－1）＋（－2）＋（－1）＋1＝－2.7. A 8. A 9. A 10 A11.（1）×π2×（n＋1）2（2）原式＝×1002×（100＋1）2＝25 502 500（3）①原式＝×100×（100＋1）2－×102×（10＋1）2＝25 499 475; ②原式＝23×（13＋23＋33＋…＋493＋503）＝23××502×（50＋1）2＝13 005 000.。